Regresión lineal simple
©1997-Sep-06 Pedro Juan Rodríguez Esquerdo
Departamento de Matemáticas
UPR Río Piedras
Medidas de hojas

Ejemplo:




Toma una muestra de n=16 hojas.
Mide su ancho, largo y área.
¿Es posible usar el área de un rectángulo,
LxA, para predecir el área de una hoja sin
tener que medirla?
¿Cómo?
(c) 2006 Rodríguez Esquerdo
Busca la línea de mejor ajuste

La línea de mejor ajuste NO ES una
que:



tenga la misma cantidad de puntos a cada
lado.
pase por la mayor cantidad posible de
puntos.
La línea de mejor ajuste ES aquella que

está, en promedio, lo más cerca posible de
los puntos.
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Busca la línea de mejor ajuste
R e la c io n e n t r e L x A y e l a r e a d e la s
h o ja s d e l a r b o l A
16
A r e a d e la h o ja
14
12
10
e
8
6
4
2
0
4
6
8
10
12
14
16
18
20
L a r g o x A n c h o d e la h o ja
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22
24
26
Busca la línea de mejor ajuste

Para buscar la línea que esté, en
promedio, lo más cerca posible de los
puntos.



Calcula la distancia vertical de cada punto
a la línea.
Cuadra esas distancias y súmalas.
Usa el cálculo para obtener los coeficientes
de la línea que minimiza la suma de
cuadrados.
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Línea de Regresión


Y=mX+b
un punto observado es (xi ,yi), el punto
en la línea es (xi, mxi + b)
y
(xi, mxi+b)
ei2
ei = yi – (mxi + b)
(xi, yi)
x
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Suma de cuadrados
n
SS 
e
i 1



n
2
i

 y
i
 ( mx i  b ) 
2
i 1
Encuentra los valores de m y de b que
hacen que SS sea un valor mínimo.
Los datos xi , yi son valores conocidos.
Toma las derivadas de SS con respecto
a los desconocidos m y b.
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Minimiza la suma de cuadrados
Toma las derivadas de SS con respecto a m, b:

m

b
n
SS   2   y i  ( mx i  b )  x i  0
i 1
n
SS   2   y i  ( mx i  b )   0
i 1
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Ecuaciones normales
Usa álgebra para obtener las ecuaciones normales:
n

i 1
n

i 1
n
n
xi yi  m  xi  b xi  0
2
i 1
n
i 1
y i  m  x i  nb  0
i 1
Resuelve estas dos ecuaciones lineales por b y por m.
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Solución

Resuelve y nobtén:
 (x
m 
i
 x )( y i  y )
i 1
n
 (x
i
 x)
i 1
b  y  mx
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2
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Ejemplo de experimento