Funciones reales de variable real
x
x
f(x)
y = f(x)
José Manuel Reyes Brito
I.E.S. ‘Albert Einstein’
Sevilla
Elementos básicos en el estudio de una función.
DOMINIO o CAMPO DE EXISTENCIA
RECORRIDO o IMAGEN
GRÁFICA o GRAFO
DOMINIO o CAMPO DE EXISTENCIA
Df = {x 
/ f(x)  }
Es el conjunto de valores que puede tomar x,
de manera que f(x) sea un número real:
Valores para los que se puede calcular f(x)
RECORRIDO o IMAGEN
Rf = {y 
/ y = f(x), x  Df}
Es el conjunto de valores que puede tomar y,
como transformados mediante f(x) de los
valores del dominio.
GRÁFICA o GRAFO
{(x, y) 
2/
x  Df, y  Rf}
Es el conjunto de puntos del plano de
manera que la segunda coordenada sea
transformada de la primera mediante f(x).
Representados estos puntos en un sistema de
ejes cartesianos, nos proporcionarán
información gráfica de la función.
Clasificación de las funciones de variable real
F. Lineal: y = mx + n
Enteras o Polinómicas F. Cuadrática: y = ax2+bx+c
Otras funciones polinómicas
ALGEBRAICAS Racionales fraccionarias Pn(x)
Qm(x)
Irracionales o radicales: x aparece bajo una raíz
TRASCENDENTES
Exponencial
Logarítmica
Trigonométricas
··· ··· ···
Funciones Lineales: y = mx + n
Funciones algebraicas enteras o polinómicas
Todas las funciones polinómicas tienen dominio
2ª) y = x + 3 1ª) y = x
3ª) y = x - 2
Df =
1ª) y = 2x +1
2ª) y = 5x +1
3ª) y = (1/3)x +1
A mayor pendiente, mayor ángulo con la horizontal
Ordenada en el origen no cambia
Df =
1ª) y = -3x + 1
2ª) y = -3x + 5
3ª) y = -3x + 2
Igual pendiente: paralelas
Obsérvese el efecto de la
ordenada en el origen
Df =
RESUMEN:
Funciones lineales: y = mx + n
Gráfica: RECTA
Rf =
Rf =
Df =
R f = {-2}
¡Ojo!
Si m=0, R f = {n}
Ejemplos de aplicaciones de la función lineal:
A) Movimiento uniforme: e = e0 + vt
B) 2ª Ley de Newton: F = ma (m constante)
C) Dilatación: L = L0(1 + kt)
D) Potencia de un salto de agua: P = Caudal·Altura
E) Ley de Ohm: V = IR
F) Cambio de escala termométrica: C = 5/9·(F-32)
Funciones cuadráticas
y = ax2 + bx + c
Funciones algebraicas enteras o polinómicas
Como todas las funciones polinómicas
Df =
y 
4
x 
2
5
32
5
x
36
5
Ahora
Las claves
observamos
están en
la
gráfica
los siguientes
con toda su
significación
elementos:
Cortes con el
eje OX
Apreciamos el
unrango
aspecto
Cambiamos
de
de la gráfica que no es
representación y
significativo
que
observamosy las
puede llamar
variaciones
que ase
confusiones
producen
Vértice
Funciones cuadráticas
Df =
y = ax2 + bx + c
Es aconsejable seguir las siguientes pautas en el
estudio de una función cuadrática:
1. Hallar los puntos de corte con el eje OX
ax2 + bx + c = 0  x1 y x2  (x1, 0) y (x2, 0)
2. Hallar las coordenadas del vértice V(xv, yv)
3. Completar, si es necesario, con una tabla
Sólo 1 ó 2 valores. (Corte con el eje OY)
Ejemplos de funciones cuadráticas
Df =
1) y = x2 -8x - 9
R f = [-25, +)
Vértice (4, -25)
Df =
Ejemplos de funciones cuadráticas
Tres parábolas que cortan en los mismos puntos al eje OX
Obsérvense los coeficientes de x2
V(2, -9) R f = [-9, +)
y  x  4x  5
2
y 
5
x 
2
20
9
y 
20
9
x
9
x 
2
V(2, -5) R f = [-5, +)
25
9
80
9
x
100
9
V(2, -20) R f = [-20, +)
Ejemplos de funciones cuadráticas
y = x2 - 3x + 2
y = 3x2 + 2x +1
y = 20x2 - 20x + 5
Df =
Ejemplos de funciones cuadráticas
Df =
Si el coeficiente del término de mayor grado es negativo,
las ramas infinitas de la parábola se dirigen hacia abajo:
y = - 3x2 – x + 2
¡Ojo! En este caso:
Rf = (-∞, yv]
y = - x2 + 7x - 10
y = - 3x2 + x - 2
Ejemplos de aplicaciones de la
función cuadrática:
A) Movimiento uniformemente acelerado
s = s0 + v0t + ½·at2
B) Teorema de Torricelli
v2 = 2gh
Funciones polinómicas
Grado >2
Df =
y=
2x3
y = x3
Df =
Rf =
y = 5x3
Obsérvese el efecto y = c·f(x)
Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d
y = x3 + 1
y = x3
y = x3 - 2
y = x3 + 3
Df =
Rf =
Obsérvese el efecto y = f(x) + c
Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d
y = (x + 1)(x - 2)(x - 3) = x3 - 4x2 + x +6
Df =
Rf =
Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d
y = (x + 1)2(x - 2) = x3 - 3x - 2
Solución doble
Df =
Rf =
Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d
y = (x2 + 1)(x - 2) = x3 - 2x2 + x - 2
Raíces
complejas
Df =
Rf =
Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d
Df =
Rf =
y = (x -1)(x - 2)(3 - x) = -x3 + 6x2 -11x + 6
Obsérvese el efecto del coeficiente líder negativo
Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d
y = (x +1)x(x - 1)(x -2) = x4 - 2x3 - x2 + 2x
Df =
Funciones cuárticas: y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
Funciones fraccionarias
Pn(x)
y=
Df =
Qm(x)
- {x/ Qm(x) = 0}
Funciones fraccionarias
Asíntota horizontal y = 0
x=0
x=3
Rf =
- {0}
x = -3/4
Gráfica: HIPÉRBOLA
Asíntotas verticales
Funciones fraccionarias
Asíntota
vertical
5x + 10 = 0 x = -2
Asíntota horizontal
Gráfica: HIPÉRBOLA
Df =
- {-2}
Rf =
- {3/5}
Funciones fraccionarias
Asíntotas verticales
x = -1
Asíntota horizontal y = 1
Df =
- {-1, 4}
x=4
Ejemplos de aplicaciones de
funciones fraccionarias:
A. Principio de continuidad hidrodinámica
S1V1 = S2V2 = G (Gasto)  S = G/V
B. Ley de Boyle: PV = k  V = k/P
C. Ley de Gravitación Universal:
D. Ley de Coulomb:
Funciones trascendentes
Exponencial
Logarítmica
Trigonométricas
··· ··· ···
Función exponencial
y = ax
a>0
Función exponencial
y = 10x y = ex
y = 2x
Df =
R f = (0, +)
Asíntota horizontal y = 0
e  2’718281828459045235360...
Función monótona creciente
Función exponencial
y = 0’5x
y = (1/e)x y = 0’1x
Df =
R f = (0, +)
Asíntota horizontal y = 0
Función monótona decreciente
Función exponencial
y = ax
RESUMEN
a>0
Df =
R f = (0, +)
f(0) = 1
Monótona creciente si a> 1
Monótona decreciente si 0 < a < 1
Ejemplos de aplicaciones de la función exponencial
A. Crecimiento malthusiano: P(t) = P0·akt
B. Crecimiento logístico:
C. Presión atmosférica:
a = 8 Km; p(0) = presión a nivel del mar; h en Km
Función logarítmica
y = loga(x)
a>0
Función logarítmica
como función inversa de la función exponencial
Función exponencial y = ax
Df =
R f = (0, +)
a0 = 1
Loga(1) = 0
Función logarítmica y = loga(x)
Bisectriz y = x
D f = (0, +)
Rf =
Función logarítmica
y = log2(x)
y = ln(x)
y = log(x)
Función logarítmica
y = log0’1(x)
y = log1/e(x)
y = log0’5(x)
Ejemplos de aplicación de la función logarítmica
A. Ley de Fechner: logI2 - logI1 = 2(logP2 - logP1)
Unidad de medida: BEL (divisor DECIBEL)
Pi = Potencia sonora;
Ii = Intensidad de sonido (unidad de medida: FON)
B. Escala de Richter: M = LogA + C
A = Amplitud de las ondas superficiales
C = 3’3 + 1’66·LogD - LogT
T = Período de las ondas registradas en el sismógrafo
D = Distancia (en grados) desde el sismógrafo al epicentro
Funciones trigonométricas
y = cos(x)
y = sen(x)
Df =
R f = [-1, 1]
La función y = sen(x) es periódica:
Período = 2  sen(x + 2) = sen(x)
La función y = cos(x) es periódica:
Período = 2  cos(x + 2) = cos(x)
y = tg(x) : función periódica
Asíntotas verticales
Df =
- {(2k+1)/2; kZ}
Período =   tg(x + ) = tg(x)
Rf =
RAMA
PRINCIPAL
Algunas correspondencias inversas de las funciones trigonométricas
RAMA
RAMA
PRINCIPAL
PRINCIPAL
y = arc sen(x)
y = arc cos(x)
y = arc tg (x)
Ejemplos de aplicaciones de funciones trigonométricas
A. Intensidad de corriente alterna:
i = im·sen(ωt + φ)
B. Movimiento vibratorio armónico simple:
x = a·sen(ωt + φ)
C. Desarrollos de Fourier
FIN
DEL
ESTUDIO GENERAL
SOBRE
FUNCIONES REALES
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