El resultado de la suma de los n
primeros números impares es
siempre igual a n2.
2
1+3+5+7+…+(2n–1)=n
.
(n1)
Veamos lo que esto significa:
(2n–1) genera los números impares
Para n=1 tenemos 21–1= 1 primero
Para n=2 tenemos 22–1= 3 segundo
Para n=3 tenemos 23–1= 5 tercero
Para n=4 tenemos 24–1= 7 cuarto
El resultado de la suma de los n
primeros números impares es
siempre igual a
.
2
1+3+5+7+…+(2n–1)=n
2
n
(n1)
Queremos calcular la suma de los
diez primeros números impares
Para n=10
210–1=19
décimo
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 =100
2
n
.
=102
Haremos una demostración por
Inducción Completa de esta igualdad
2
2
=n
1+3+5+7+…+(2n–1)=n
n1 .
1- Inicio de la inducción
En este caso para n=1
2
21–1 = 2–1 = 1 = 1
Es válida para n=1
2
1+3+5+7+…+(2n–1)=n
n1
2- Paso de inducción
Suponiendo que se
Hipótesis cumple para un elemento
cualquiera k
Probaremos que se
Tesis cumple para su
sucesor k+1
2
1+3+5+7+…+(2n–1)=n
2- Paso de inducción
n1
.
La suponemos cierta y
2
1+3+5+7+…+(2k–1)=k
Hipótesis
la utilizamos para probar
la tesis
2
Tesis 1+3+5+7+…+ 2(k+1)–1 =(k+1)
2- Paso de inducción
Hipótesis: 1+3+5+7+…+(2k–1)=k2
.
Demostración
2
1+3+5+…+(2k–1)+ 2(k+1)–1 = k + 2(k+1)–1
2
1+3+5+7+…+ 2(k+1)–1 = k
+2k+2–1
2
= k +2k+1
= (k+1)2
Tesis: 1+3+5+7+…+ 2(k+1)–1 = (k+1)2
Es válida para n=k+1
1+3+5+7+…+(2n–1)=n2
n1
.
11- Inicio
Inicio de
de la
la inducción
inducción
Es válida para n=1
22- Paso
Paso de
de inducción
inducción
Suponiendo que
es válida para
n=k
Hemos probado
que es válida
para n=k+1
La
igualdad
es válida
para todos
*
los n N
Para toda n  N
3
n –n es siempre divisible por 3
Si n=0
3
0 –0=
0 div. por 3
Si n=1
3
1 –1=
0 div. por 3
Si n=2
3
2 –2=
8–2=6 div. por 3
Si n=3
3
3 –3=27–3=30
Si n=4
3
4 –4=64–4=60
.
div. por 3
div. por 3
Inducción empírica
Para toda n  N
3
n –n es siempre divisible por 3
1- Inicio de la inducción
Ya quedó probado en la parte empírica
2- Paso de inducción
Hipótesis:
3
k –k
es div. por 3
3
k –k = 3m ; m N
Tesis: (k+1)3–(k+1) es div. por 3
3
(k+1) –(k+1)
= 3p ; p  N
.
2- Paso de inducción
Demostración
(k+1)3–(k+1) = k3 +3k2+3k+1 –k –1
3
2
=
k
–k
+
3k
+3k
Usamos la
2
Hipótesis = 3m + 3k +3k
2
=3(m+k +k) = 3p ;p  N
Hip: k3–k = 3m ; m N
Tesis: (k+1)3–(k+1) = 3p ; p  N
2- Paso de inducción
Demostración
.
(k+1)3–(k+1) = k3 +3k2+3k+1 –k –1
3
2
=
k
–k
+
3k
+3k
Usamos la
2
Hipótesis = 3m + 3k +3k
2
=3(m+k +k) = 3p ;p  N
Se cumple para k+1
Se cumple que n3–n es siempre
divisible por 3 para todo n N
Para toda n  N
3
n –n es siempre divisible por 3
3
n –n
=n
2
(n –1) =
n (n–1) (n + 1)
= (n–1) n (n + 1)
En tres números naturales
consecutivos siempre existe uno
que es múltiplo de 3 , por tanto ese
producto es divisible por 3
3
n –n
Queda probado que
es
siempre divisible por 3 ; n  N
.
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