Sesión
Contenidos:
↘Función cuadrática.
> Elementos de la función
cuadrática.
10
↘Gráfico de funciones
cuadráticas en el plano
cartesiano.
Profesor: Víctor Manuel Reyes F.
Asignatura: Matemática para Ciencias de la Salud (MAT-011)
Primer Semestre 2012
Aprendizajes esperados:
> Determinar la concavidad de la parábola y los
ceros de la función a partir de la función
cuadrática dada algebraicamente.
> Determinar el vértice de la parábola.
> Grafica funciones cuadráticas.
> Determinar dominio, recorrido, intervalos de
crecimiento y decrecimiento, a partir de la
función dada algebraicamente y/o su gráfica.
> Resolver ejercicios de aplicación (con enunciado
verbal), que se comportan cuadráticamente.
Ejemplo función cuadrática
Ejemplo función cuadrática
Cambios en la fuerza máxima de extensión de rodillas en hombres
entrenados (azul) y sedentarios (rojos) a distintas edades.
Ejemplo de aplicación función cuadrática:
Un investigador en fisiología ha
estudiado el número de impulsos
emitidos después que se ha
estimulado un nervio y ha
decidido que la función
r(s ) = -s2 + 12s -20
es un modelo matemático
aceptable para describir la
situación. Aquí, r es el número de
respuestas por milisegundo (ms) y
s es el número de milisegundos
transcurridos desde que es
estimulado el nervio.
Ejemplo de aplicación función cuadrática:
r(s) = -s2 + 12s -20
r = número de respuestas por
milisegundo (ms).
s = número de milisegundos
transcurridos desde que es
estimulado el nervio.
Definición función cuadrática:
Una función cuadrática es una expresión descrita algebraicamente
por:
y = f (x) = ax2 + bx + c
donde a, b, c son números reales y a ≠ 0 .
Concavidad función cuadrática:
El gráfico de esta función cuadrática es una curva llamada PARÁBOLA,
la que puede estar “abierta hacia arriba o hacia abajo”, lo que
denominaremos concavidad positiva y concavidad negativa
respectivamente.
Concavidad (+)
Concavidad (-)
Se da cuando a > 0
Se da cuando a < 0
Intersección con los ejes:
La intersección de la parábola con el eje y es un punto (0, c) donde c
es el valor dado en la expresión funcional
y = f (x) = ax2 + bx + c
Ejemplo: la función f (x) = 2x2 + 3x - 5 corta al eje y en el punto
(0,-5) porque c = -5.
y
y = 2x^2+3x-5
10
8
6
4
2
x
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
-2
-4
-6
-8
Además está abierta hacia arriba (concavidad positiva) porque
a=2 >0.
Intersección con los ejes:
La intersección con el eje x, se determina cuando la gráfica
intercepte el eje x, debe ocurrir que y = 0; si reemplazamos en la
ecuación, obtenemos:
0= ax2 + bx + c,
por lo tanto las intersecciones de la función cuadrática con el eje x se
obtienen resolviendo las ecuación de segundo grado.
» Por factorización
» Utilizando la fórmula
» Por completación de cuadrados
y
Intersección con los ejes:
Por factorización:
Resolver la ecuación:
x2 - 12x - 28 = 0
Factorizamos el trinomio buscando dos
números que multiplicados den -28 y sumados
den -12; estos son -14 y 2, por lo tanto la
factorización es:
(x - 14)(x + 2) = 0
A partir de esto se deduce que las soluciones
son
x = 14 y x = -2
y = x^2-12x-28
6
4
2
-2
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
-16
-18
-20
-22
-24
-26
-28
-30
-32
-34
-36
-38
-40
-42
-44
-46
-48
-50
-52
-54
-56
-58
-60
-62
-64
x
2
4
6
8 10 12 14
Intersección con los ejes:
Utilizando la fórmula:
Para resolver la ecuación cuadrática: ax2+bx+c=0 (con a ≠ 0), podemos
utilizar la fórmula:
x 
b
Ejemplo:
Resolver la ecuación:
x2 – 10x +24 = 0
b  4 ac
2
y
2a
y = x^2-10x+24
5
4
3
En esta ecuación: a = 1; b = -10 y c = 24,
reemplazando
en
la
fórmula,
obtenemos:
2
1
x
-1
x
 (  10 ) 
(  10 )  4  1  24
2
2 1

1
10  2
-1
2
-2
Por lo tanto x = 6 ó x = 4
2
3
4
5
6
7
Intersección con los ejes:
Las soluciones de una ecuación ax2+bx+c=0 dependen del signo del
discriminante que es la cantidad subradical de la fórmula
x 
b
b  4 ac
2
2a
Lo que se denota
 
b  4 ac
2
Así tenemos que:
1. Si Δ > 0, la ecuación tiene soluciones reales y distintas, por lo tanto la
parábola corta en dos puntos al eje x.
2. Si Δ = 0, la ecuación tiene soluciones reales iguales, por lo tanto la
parábola es tangente al eje x.
3. Si Δ < 0, la ecuación no tiene soluciones reales, por lo tanto la parábola
no corta el eje x.
Intersección con los ejes:
Si se tienen dos soluciones reales distintas x1 , x2 , la gráfica corta al
eje x en los dos puntos (x1 ,0) y (x2 , 0) .
y = x2 + 4x + 3
y
y = (x+1)(x+3)
y = (-2x-1)(x-2)
4
3
2
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
 
b  4 ac  0
2
y = -2x2 + x + 2
Intersección con los ejes:
Si se tienen dos soluciones reales e iguales x1 , x2 , la gráfica corta al
eje x en un solo punto de coordenadas (x1 ,0)
y
y = (x+2)(x+2)
y = -(x-1)(x-1)
4
y = x2 + 4x + 4
3
2
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
 
b  4 ac  0
2
y = -x2 + 2x -1
Intersección con los ejes:
Si se tienen dos soluciones no reales x1 , x2 , la gráfica no corta al eje
x.
y = x2 + 2
y
y = x^2+2
y = -x^2-1
5
4
3
2
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
-3
-4
-5
 
b  4 ac  0
2
y = -x2 -1
4
Coordenadas del vértice de la parábola:
Otro de los elementos importantes para elaborar una buena gráfica
de la parábola es conocer las coordenadas del vértice de una
parábola, que es el punto donde “da la vuelta”. La fórmula del
vértice, en función de los coeficientes a,b,c es:
2

b 4 ac  b
V   
,
4a
 2a




Si la parábola tiene concavidad positiva, decimos que V es un punto
mínimo de la función. Si la parábola tiene concavidad negativa, V es
punto máximo de la función.
Coordenadas del vértice de la parábola:
Esto se aprecia en la gráfica, si analizamos la función
f (x) = 2x2 - 3x – 2
y
y = 2x^2-3x-2
y = (2x+1)(x-2)
6
Como tiene concavidad positiva,
por ser a = 2 > 0, en la gráfica el
vértice de esta parábola debe ser
punto mínimo.
5
4
3
2
Ocupando la fórmula, para a=2,
b=-3 y c=-2, se tiene:
1
x
 b 4 ac  b 2
V   
,
4a
 2a
  3
25 
  
,



4
8 
 
-2
-1
1
-1
-2
  0 , 75 ,  3 ,125

-3
2
3
Actividad:
Observemos la gráfica de las siguientes funciones
Indica, en cada caso, las intersecciones con los ejes x e y, y las
coordenadas del vértice.
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