FUNCIONES
CUADRATICAS
► Todo
número elevado al cuadrado da
como resultado un valor de signo
positivo. Es así que la ecuación
x2
y = tiene como dominio a todos los
reales y como conjunto imagen los reales
positivos incluido el cero. El valor mínimo
(en la imagen) de esta función será para
x = 0, obteniendo el punto (0, 0), al que
denominaremos vértice de la parábola.
► Una
función cuadrática es toda función que
pueda escribirse de la forma f(x) = a x 2+ b x
+ c, donde a, b y c son números cualesquiera,
con la condición de que a sea distinto de 0 .
La función cuadrática más sencilla es
f(x)x = cuya gráfica es:
2
►x
=
-3 -2 -1 -0'5 0 0'5
1 2 3
► f(x) = x 2 9 4 1 0'25 0 0'25
1 4 9
► Esta curva simétrica se llama parábola.
► Trace
la gráfica de g(x) = x2 – 4
Al comparar las tablas de valores para g(x) = x2 4 y f(a) = x2 que se muestran en la figura 27,
podemos ver que para valores correspondientes
de x, los valores y de g son cada uno de 4 menos
que los de f.
Véase la figura 27. El vértice de esta parábola, en
este caso el punto más bajo, está en (0, -4). El eje
de la parábola es la recta vertical x = 0.
y
g(x) = x2 – 4
f(x) = x2
f(x) = x2
x y
-2
-1
0
1
2
0
-3
-4
-3
0
x y
-2
-1
0
1
2
4
1
0
1
4
(0.0)
1
x
-2
g(x) = x2 – 4
(0.-4)
► Trace
la gráfica de g(x) = (x - 4)2
Al comparar los valores que aparecen con la figura
28 se observa que la gráfica de g(x) = (x - 4)2es
la misma que la de f(x) = x2, pero trasladada 4
unidades a la derecha.
El vértice está en (4, 0). Como se muestra en la
figura 28, el eje de esta parábola es la recta
vertical x = 4.
y
g(x) = (x – 4)2
x y
2
3
4
5
6
0
-3
-4
-3
0
f(x) = x2
4
x=4
x y
-2
-1
0
1
2
4
1
0
1
4
x
(0.0)
f(x) = x2
(4,0)
g(x) = (x2 – 4)2
►
Trace la gráfica de la función cuadrática f(x) = x2
- x - 6.
Como a > 0, la parábola abrirá hacia arriba. Ahora encuentre
la intersección con el eje y.
f(x) = x2 - x – 6
f(0) = 02 - x - 6
Determine f(0)
f(0) = - 6
►
La intersección en el eje de y es (0, -6). Ahora encuentre las
intersecciones en el eje x.
f(x) = x2 - x – 6
0 = x2 - x – 6
sea f(x) = 0
0 = (x - 3) (x + 2)
Factorice
x-3=0 o x+2=0
Igual cada factor a 0 y resuelva
x = 3 o x = -2
►
►
Las intersecciones en el eje x son (3,0) y (-2,0). El
vértice, que se encontró en el ejemplo 6, es (1/2, 25/4). Localice los puntos encontrados hasta ahora, y
ubique cualquier punto adicional como sea necesario.
Aquí la simetría de la gráfica es útil. La gráfica se
muestra en la figura 30
y
x=½
0
(- 2,0)
(-1,-4)
f(x) = x2 - x – 6
x
(3,0)
(2,-4)
(0,-6)
1 25
(  )
2 4
Como hemos visto, el vértice de una parábola
vertical es el punto más alto o el punto más bajo de
la parábola. La ordenada del vértice da el valor
máximo o mínimo de y, mientras que la abscisa
indica en dónde ocurre ese máximo o mínimo.
► Resolución
de problemas
En muchos problemas prácticos necesitamos conocer
el valor más grande o el más pequeño de alguna
cantidad. Cuando esa cantidad puede expresarse por
medio de una función cuadrática f(x ) = ax2 + bx + c,
como en el ejemplo siguiente, el vértice puede usarse
para determinar el valor deseado.
FUNCIONES
CUBICAS
LA FUNCIÓN CÚBICA
Las funciones cúbicas son las que se expresan
mediante un polinomio de segundo grado:
Una función de tercer grado, es llamada función
cúbica, y tiene la forma
f(x)=ax3+bx2+cx+d
donde a (distinto de 0), b, c y d son números
reales que conocemos como coeficientes del
polinomio; y su gráfica recibe el nombre de
cúbica.
DOMINIO Y RECORRIDO DE
FUNCIONES CÚBICAS
► La
función cúbica f(x)= ax3+bx2+cx+d
tiene como dominio y como recorrido el
conjunto de los números reales ( . Para
graficar estas funciones, hay que elaborar
una tabla de valores.
EJEMPLO: Grafique y obtenga el dominio y el
recorrido de f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x.
Generamos una tabla de valores, graficamos y
verificamos el dominio y el recorrido.
x
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
f(x)
–32
9
20
13
0
–7
4
45
FUNCIONES POLINÓMICAS DE
GRADO TRES
► Todas
estas funciones tienen dominio y
recorrido R y son continuas. Respecto de
los puntos de corte con los ejes podemos
decir que la gráfica puede cortar al eje de
abscisas en 1, 2 ó 3 puntos y al eje de
ordenadas siempre en el punto (0,d)
Las gráficas de funciones cúbicas
► Las
gráficas de estas funciones cúbicas son de
cuatro tipos exclusivamente, que distinguiremos
por los extremos y los puntos de inflexión:
► - Sin extremos, el punto de inflexión separa la
región cóncava de la convexa o la convexa de la
cóncava.
► - Con dos extremos, un máximo y un mínimo, el
punto de inflexión separa la región convexa de la
cóncava o un mínimo y un máximo, separando el
punto de inflexión la región cóncava de la
convexa.
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