Conjuntos
Dra. Noemí L. Ruiz Limardo
Revisado 2011 © Derechos
Reservados
Objetivos de la lección
• Definir y dar ejemplos de conceptos
fundamentales relacionados con
conjuntos
– Conjunto
– Elementos
– Simbolismo para definir conjuntos y
elementos
– Conjuntos finitos e infinitos
– Cardinalidad de un conjunto
– Conjunto Nulo
– Conjuntos iguales
– Conjuntos equivalentes
Objetivos de la lección
• Comprender, identificar y aplicar los
conceptos fundamentales
relacionados con las operaciones con
conjuntos
–
–
–
–
–
–
–
–
Subconjunto
Subconjuntos propios e impropios
Conjunto universo
Unión e intersección
Disyunción
Complemento
Diferencia
Producto cartesiano o producto cruz
Introducción al
estudio de
conjuntos
Introducción
•
•
•
La teoría de conjuntos que
conocemos hoy día la debemos
principalmente al matemático
alemán Georg Cantor (1845-1918).
Algunas de las cosas que él
demostró se contrapuso a la teoría
aceptada en su época.
Tuvo un largo debate sobre el
concepto del infinito y trabajó el
concepto de cadinalidad de un
conjunto.
Introducción
•
•
Los conjuntos se aplican en
muchas áreas de la vida diaria ya
que la mayor parte de lo que
observamos a nuestro alrededor
se compone de elementos de un
conjunto.
Hay conjuntos que son
subconjunto de otros, hay
conjuntos que son finitos y otros
que son infinitos.
Introducción
•
Necesitamos entender bien
los conceptos de conjuntos
para poder entender mejor el
mundo que nos rodea y
entender mejor otros
conceptos matemáticos que
se fundamentan en el
conocimiento de los
conjuntos.
Definiciones
Básicas de
Conjuntos
Definiciones
1. Conjunto- Colección o grupo
de objetos que está bien definido
2. Bien definido- Se puede
determinar si un elemento
pertenece o no pertenece al conjunto
3. Símbolo para representar un
conjunto- { }
4. Elemento- Objeto que pertenece
a un conjunto
5. Símbolo para representar un elemento- є
Definiciones
6. Conjunto finito- Tiene un número
limitado de elementos por lo que
el proceso de contar sus
elementos tiene fin.
7. Conjunto infinito- Cuando el proceso
de contar los elementos nunca
termina, no tiene fin. Tiene un
número ilimitado de elementos.
Definiciones
8. Cardinalidad de un conjuntoNúmero de elementos de un
conjunto.
9. Conjunto Nulo- Conjunto que no
tiene elementos.
10. Símbolos de conjunto nulo- { } , 
Definiciones
11. Conjuntos iguales- Tienen
exactamente los mismos
elementos.
12. Conjuntos equivalentes- Tienen la
misma cardinalidad.
OPERACIONES
CON
CONJUNTOS
Subconjunto
• Un conjunto A es subconjunto de
B si cada elemento de A está
también en B.
• Para denotar que A es subconjunto
de B se usa el siguiente
simbolismo: A  B
Ejemplos
• Si A = {a, b, c} y B = {a, b, c, d}
entonces A  B
• ¿Será B  A ?
• Si C = { a, b, c, x}, ¿será C  B ?
• Si D = {a, b, c, d}, ¿será D  B ?
Subconjunto propio
• Si A es subconjunto de B y B tiene
por lo menos un elemento que no
está en A, entonces decimos que A
es subconjunto propio de B.
• En este caso, se usa el siguiente
simbolismo:
A B
Subconjunto impropio
• A es un subconjunto impropio de B si
A = B.
• No hay un símbolo especial para
subconjunto impropio.
• Cuando se sabe que A es subconjunto
de B, pero no se desea clasificar en
propio o impropio, se utiliza el
símbolo de subconjunto: A  B
Ejemplos
• A = {a, b, c} , B = {a, b, c, d}
• C = { a, b, c, x}, D = {a, b, c, d }
A B
CB
B A
DB
Reflexión
• Todo conjunto es subconjunto de sí
mismo.
• El conjunto nulo es subconjunto de
todo conjunto.
Ejercicio
• Haz una lista de todos los posibles
subconjuntos de cada conjunto
• A = {a, b, c}
• B = {a, b, c, d}
• C = { 1, 2 }
• D ={5}
• E={ }
• Observa que hay un patrón que relaciona el
número de elementos en un conjunto con los
posibles subconjuntos. ¿Cuál es el patrón?
Fórmula para hallar total de
Subconjuntos
Conjunto
A = {a, b, c, d}
B = {a, b, c}
C = { 1, 2 }
D ={5}
E={ }
Núm Elementos Total de
Subconjuntos
4
16
3
2
8
4
1
0
2
1
• La fórmula para hallar el total de subconjuntos de
un conjunto es: 2n
Donde n es el número de elementos del conjunto
Conjunto Universo
• El conjunto Universo de ciertos
conjunto dados, es el conjunto que
contiene todos los posibles
subconjuntos de los conjuntos en
cuestión.
• Para denotar el conjunto Universo se
utiliza la letra U mayúscula.
Ejemplos
• A = {maestros de matemáticas en
escuela X}
B = {maestros de inglés en escuela X}
¿Cuál es el conjunto Universo?
• U = {maestros de la escuela X}
• A = {números enteros positivos},
B = {números enteros negativos},
C = {0}, ¿cuál es el Universo?
• U = {números enteros}
Unión de Conjuntos
• La unión del conjunto A con el
conjunto B, denotado A U B, es el
conjunto de todos los elementos que
están en A ó en B , ó en ambos.
Ejemplos
• A = {a, b, c} B = {1, 2, 4, 6, a, b}
A U B = {1, 2, 4, 6, a, b, c}
• C = {1, 3, 5} D = {2, 4}
C U D = {1, 2, 3, 4, 5}
Intersección
• La intersección de A y B,
denotado A  B es el
conjunto de todos los elementos
de A que también están en B.
• O sea, los elementos que tienen
A y B en común.
Ejemplos
• A = {a, b, c} B = {1, 2, 4, 6, a, b}
A  B = {a, b}
• C = {1, 3, 5} D = {2, 4}
C D = 
Conjuntos disyuntos
• Dos conjuntos A y B son disyuntos si
no tienen ningún elemento en común
entre sí.
• Esto es: A  B  
Ejemplos
• A = {a, b, c} B = {1, 2, 4, 6, a, b}
A y B no son disyuntos.
• C = {1, 3, 5} D = {2, 4}
C y D son disyuntos.
Complemento de un
Conjunto
• El complemento de un conjunto A,
denotado A´, es el conjunto de todos
los elementos del conjunto Universo
que no están en el conjunto A.
Ejemplos
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 4, 6, 8, 9}
A´= {2, 3, 5, 7, 10}
U = {hombres} A = {hombres que
tienen pelo}
A´= {hombres calvos}
U = {personas} A = {varones}
A´= {hembras}
Ejemplos
• U = {vocales}
• Halla A´ = { }
A = { a, e, i, o, u}
• U = {vocales} A = { }
• Halla A´ = {vocales}
Diferencia
• La diferencia entre el conjunto A y
el conjunto B, denotado A – B, es
el conjunto de todos los
elementos de A que no están en
B.
• Esto es, a los elementos de A,
restarle los elementos que tenga
en común con B.
Ejemplos
A = {a, b, c} B = {1, 2, 4, 6, a, b}
A – B = {c}
B – A = {1, 2, 4, 6}
C = {1, 3, 5} D = {2, 4}
C–D= C
D–C= D
C = {1, 3, 5} E = {1, 3, 5}
C–E= 
Par ordenado
• Un par ordenado es cuando se
escriben dos elementos en un orden
específico usando la siguiente
notación:
(primer elemento, segundo elemento)
Ejemplos
•
•
•
•
•
(a, b)
(b, a)
(1, 3)
(2, 4)
¿Es (a, b) = (b, a) ?
Producto Cartesiano
• El producto cartesiano de dos
conjuntos A y B , denotado A x B,
es el conjunto de todos los pares
ordenados que se pueden formar
tomando el primer elemento del
primer conjunto A y el segundo
elemento del segundo conjunto B.
Ejemplos
•
•
•
•
•
•
•
C = {6, 8, 9}
Halla C x D
Halla D x C
C = {6, 8, 9}
Halla C x F
E = {∆, O}
Halla E x E
D = {x, y, z}
F = {w, x, y, z}
Hacer ejercicios
en la pizarra
Diagramas de Venn
• Desarrollados por John Venn (18341923)
• Se utilizan para ilustrar conjuntos y
resolver problemas de lógica.
• Se representa el Universo con un
rectángulo y los conjuntos con
regiones circulares.
• Se sombrea el área que se desea
ilustrar.
Ejercicio
• Ilustrar en diagrama de Venn
– Un conjunto
– Complemento de un conjunto
– Dos conjuntos donde uno es
subconjunto del otro (propio e
impropio)
– Unión de dos conjuntos
– Intersección de dos conjuntos
– Diferencia de dos conjuntos
Hacer
ejercicios
en la
pizarra
Ejercicio
• Ilustrar en diagrama de Venn
Hacer
– Unión de tres conjuntos
ejercicios
– Intersección de tres conjuntos
en la
– Complemento de la unión
– Complemento de la intersección pizarra
– Diferencia de conjuntos
Fin de la lección
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Operaciones con Conjuntos - MATH 116 | Just another