Estadística
2010
Maestría en Finanzas
Universidad del CEMA
Profesor: Alberto Landro
Asistente: Julián R. Siri
Clase final
1. Predicción en series cronológicas
2. No - Estacionariedad
1. Predicción en series cronológicas
Usualmente, el criterio de aproximación utilizado para predecir es el del
 t ,l 
error medio cuadrático, según el cual la función f
elegida debe ser un
estimador insesgado y tal que minimice la expresión correspondiente a la
varianza del error de la predicción para l períodos (e(l,t)):

 t ,l 
  l , t   e   E  Yt  l  f
Yt , Yt  1 , ..., Yt  n 


2

2


 t ,l 
Siendo f el predictor definido como la esperanza matemática de Yt  l
condicionada por el conjunto de realizaciones
1. Predicción en series cronológicas
Para que se cumpla la condición de varianza mínima del error de
predicción, el predictor debe ser de la forma:
f
 t ,l 
 E  Yt  l Yt , ..., Yt  n 
Este resultado es aplicable sólo si se conoce la función de probabilidades
conjunta de la variable multidimensional Yt  l , Yt , ..., Yt  n  , o si se cuenta
con una representación para Yt  que involucre un número finito de
coeficientes, a partir de la cual los valores esperados condicionados
pueden ser calculados en forma recursiva.
1. Predicción en series cronológicas
Teniendo en cuenta que:
E  Yt  l Yt , ..., Yt  n  
p
  E Y
i
q
t l i
i 1
Yt , ..., Yt  n   E   t  l Yt , ..., Yt  n     j   t  l  i Yt , ..., Yt  n 
j 1
Y que,
E   t  j Yt , ..., Yt  n 

0


 t  j
para j  0
para j  0
Se puede concluir que el valor esperado condicionado es lineal en
Yt  l , Yt , ..., Yt  n  :
f
 t ,l 
 a 0 Yt  ...  a n Yt  n
1. Predicción en series cronológicas
• Suponiendo un conjunto infinito de realizaciones del proceso Yt 
se puede escribir (este resultado constituye la aproximación de
Kolmogorov):
Yt  l  e  l , t   a  B  Yt  e  l , t   f
 l ,t 
 Yt , Yt 1 , ... 
•Donde:
–i) a(B) denota la función generatriz del predictor;
–ii) e(l,t) –que involucra a shocks futuros- representa la parte no-predecible
 t ,l 
de Y t (o error de la predicción f
con origen en el punto t);
 t ,l 
–iii) f
representa la parte predecible de Y t .
1. Predicción en series cronológicas
• A partir de estos resultados y suponiendo una distribución
Normal de los residuos, se puede construir el siguiente intervalo de
confiabilidad:

pf
t ,l 
 z  2   l , t  e   Y t  l  f
t ,l 

 z  2   l , t  e   1  
•El error de predicción para el período siguiente al de la última
observación (e(1,t)) debe ser incorrelacionado con los residuos. El
no cumplimiento de esta condición significaría que el error de
predicción podría ser predicho por los residuos y, en consecuencia,
f
t ,1 
 e 1, t 
resultaría mejor predictor de Y t  1 que f
 t ,1 
.
1. Predicción en series cronológicas
Aún en el caso en que los errores de predicción óptimos para un
período sean incorrelacionados, los errores de predicción para
períodos mayores serán, en general, correlacionados. Luego, dado
un conjunto de información disponible al momento t, se puede
asegurar que:

t , l 
p f
 z 2 


l 1

j0
2
b j  Yt l  f
t , l 

2
bj  1

j0

l 1
 z 2 

2. No-Estacionariedad
• Hasta aquí trabajamos con los siguientes supuestos:
– Estructura de E  Y   Y  ,... es aditiva.
t
t 1
– Varianzas constantes
– Variables normalmente distribuidas.
• Sin embargo, los procesos pueden presentar
comportamientos no-estacionarios en los valores
medios o en las varianzas.
• Por lo tanto, es necesario estabilizar las series antes
de intentar su modelización.
2. No-Estacionariedad
• La eliminación de la tendencia en una serie empírica deberá
realizarse de acuerdo con el proceso estocástico que le dio
origen:
– Si la serie proviene de un proceso estacionario en torno a una
tendencia, deberá ajustarse la función de tiempo que corresponda y
quitar la tendencia así ajustada a la serie original. La serie residual
mostrará un comportamiento ruido blanco
– Si la serie proviene de un proceso estacionario en diferencias, la
metodología apropiada será la diferenciación de la serie.
2. No-Estacionariedad
• Sin embargo, para todo esto, lo importante es, como primera
fase de la investigación, detectar la naturaleza del proceso
generador de la serie.
• Es aquí donde entra en juego el problema de las “raíces
unitarias”, abordado y modelizado por Dickey y Fuller en
los años ´70 y ´80.
2.1. Tests de Raíz Unitaria
• Tienen por objeto contrastar el carácter de no
estacionariedad de una serie. Supongamos el siguiente
proceso generador de datos:
2
yt   yt  1  u t ; y0  0 y u t
IID  0 ;  u 
• Si se desea contrastar H 0 :   1 para   1 , puede
estimarse la ecuación y utiliza el estadístico
 
N 0;1

• Para muestras pequeñas, puede utilizarse la distribución t de
Student, aún cuando la estimación de  es levemente
sesgada hacia abajo.
2.1. Tests de Raíz Unitaria
• Caso de los AR(1):
– Dado un proceso AR(1) con  t  : WN  N 0 ,    , como el orden de
autorregresividad es conocido, el coeficiente 1 puede ser
estimado por MCO. En consecuencia, este estimador debería
permitir testear la hipótesis nula 1  1 , contra la alternativa 1  1
2
2.1. Tests de Raíz Unitaria
• Caso de los AR(1):
– Pero, bajo el supuesto que la hipótesis nula es verdadera, Y t 
admite una representación MA no-estacionaria de la forma:

Yt 

t j
j0
A partir de la cual se puede concluir que la varianza del proceso será
infinita.
2.1. Tests de Raíz Unitaria
• Caso de los AR(1):
– Una aparente solución a este problema es utilizar una forma
equivalente del test anterior que se obtiene a partir de una
expresión de la representación AR(1) anterior en términos de las
diferencias primeras de la forma:
Yt  Yt  1   Yt  1  1Yt  1   t
2.1. Tests de Raíz Unitaria
• Caso de los AR(1):
– Sin embargo, el estadístico convencional para contrastar la
hipótesis nula H 0 : 1  1 , contra la alternativa, H 1 : 1  1  0 , es
de la forma:
ˆ1  1
ˆ1  1
T 

ˆ 
ˆ ˆ1
 
n

t2
2
Yt  1
2.1. Tests de Raíz Unitaria
• Caso de los AR(1):
– Donde,
ˆ  
2


n2
1
n
Y t  ˆ1Y t  1

2
t2
Es el estimador consistente de  2 , obtenida de aplicar MCO.
– Dado que cuando  1  1 el estadístico T no converge en-distribución a la
función normal, resulta conveniente expresar el estadístico T de la siguiente
forma:
n
1
 


n 1 ˆ
1
1  1
ˆ 
n 1
Y

n 1
n

t2
t 1 t
t2
2
Y t 1 
ˆ 
n
1
n  1
2

t2
2
Y t 1
2.1. Tests de Raíz Unitaria
• Caso de los AR(1):
– Dickey y Fuller, basaron su test en el estadístico:
ˆ1  1
T 
ˆ ˆ
 
1
– Asimismo, demostraron que la definición de la zona crítica para testear la
hipótesis nula depende, además del tamaño de la muestra, de la forma de la
ecuación autorregresiva, y definieron tres clases de valores críticos ( ,   y   )
para ser utilizados, respectivamente, en el test según que la ecuación
autorregresiva:
• I) no incluya término independiente ni término lineal;
• II) incluya término independiente pero no término lineal;
• III) incluya ambos términos.
2.1. Tests de Raíz Unitaria
• Caso de los AR(1):
– Suponiendo que el estimador es positivo, se trata de un test de una cola, la
hipótesis nula de no-estacionariedad no deberá ser aceptada si el valor del
estadístico:
ˆ1  1
T 

ˆ ˆ1
– En los casos en que la representación incluya componentes determinísticos, el
test para detectar la presencia de raíces unitarias se denomina Dickey-Fuller
aumentado.
 
• Si el proceso es tal que admite una representación de la forma:
Yt  a 0   1Yt 1   t
Entonces el correspondiente estadístico del test es tal que   converge a un cociente
entre una variable chi-cuadrado de 1 grado de libertad y una distribución no estándar.
2.1. Tests de Raíz Unitaria
• Caso de los AR(1):
– Si la representación del proceso puede estar afectada por una tendencia
estacionaria, entonces será necesario incluir en ésta tantos regresores
determinísticos como componentes determinísticos involucre dicha tendencia.
En el caso particular de una hipótesis alternativa que suponga la presencia de
una tendencia estacionaria lineal, será:
 Yt  a 0  a1t   1  1Yt 1   t
– El valor del estadístico T debería ser contrastado con el valor crítico   .
– D&F diseñaron, además, tres estadísticos para testear en forma conjunta la
significatividad de los coeficientes de la ecuación autorregresiva. Éstos están
definidos de la siguiente forma:
i 

1  
r 


2
ˆ t
t






 CR 


nk 

1

t

2
ˆ t
t
2
ˆ t






 SR ( i ) 



 SR ( i )
~  t ,n  k
i  1, 2 ,3 
2.1. Tests de Raíz Unitaria
• Caso de los AR(1):
– Donde:
• I)
 ˆ 
2
t
CR
denota la SCR de
 Yt   1  1Yt 1   t
• II)
 ˆ 
denota la SCR de  Y t
 a 0   1  1 Y t 1   t
• III)
 ˆ 
denota la SCR de  Y t
 a 0  a 1 t   1  1 Y t 1   t
• IV)
 ˆ 
2
t
2
t
2
t
SR (1 )
SR ( 2 )
SR ( 3 )
denota la SCR de


*


*


 Y t  a 1 t   1  1 Y t 1   t
*
• Y r denota el número de restricciones, n el número de observaciones y k el número
de coeficientes incluidos en la representación sin restricciones.
2.1. Tests de Raíz Unitaria
• Caso de los AR(1):
– El estadístico  1 se utiliza para testear la hipótesis:
H 0 : a 0  1  1  0
– El estadístico  2 se utiliza para testear la hipótesis:
H 0 : a 0  a1   1  1  0
– El estadístico  3 se utiliza para testear la hipótesis:
H 0 : a1   1  1  0
estadísticos  y  
• D-F generaron también los
para contrastar,
respectivamente, las hipótesis de significatividad del término
tendencia y del término independiente bajo el supuesto que la
hipótesis  1  1  0 es verdadera. Sus definiciones son:
2.1. Tests de Raíz Unitaria
• Caso de los AR(1):
  

1 

r 


2
ˆ t
t






 CR 


nk 

1
Donde
 ˆ 
2
t
t



 SR





2 
ˆ
t

 SR

t
denota la SCR de  Yt  aˆ 0 y
CR

2
ˆ t
 ˆ 
2
t

denota la SCR de:
SR

 Yt  aˆ 0  aˆ1t  ˆ1  1 Yt 1
Y
  

1 

r 

  Y 
2
t
t






 CR 


nk 

1

t
2
ˆ t

2
ˆ t
t
2
t








 SR
 ˆ 
Donde  ˆ t2 CR denota la SCR de  Yt  aˆ1t y



 SR

SR
 Yt  a 0  a1t  ˆ1  1 Yt 1
denota la SCR de:
2.1. Tests de Raíz Unitaria
•
Caso de los AR(1):
–
Perron propuso la siguiente secuencia de tests:
a) Partiendo de:  Yt  a 0  a1t   1  1Yt 1   t se contrasta la hipótesis H 0 :  1  1  0
contra la alternativa H 1 : 1  1  0 (valor crítico:  ). Si se rechaza la hipótesis nula,
la secuencia se detiene.
b) Si se acepta la H0 del punto a), entonces, se testea H 0 : a1  0 / 1  1  0 con respecto a la
alternativa H 1 : a1  0 /  1  1  0 (se utiliza el estadístico   ).La decisión sobre
aceptación o rechazo puede ser reforzada testeando H 0 : a1   1  1  0 (valor crítico:  3)
c) Si se rechaza la última hipótesis nula de b), se contrasta H 0 :  1  1  0 contra la
alternativa H 1 : 1  1  0 (valor crítico el que resulte de las distribuciones “t” o
Normal). Si se rechaza la H0, se detiene la secuencia.
d) Si se acepta la hipótesis nula del punto b), entonces, utilizando la representación:
 Yt  a 0   1  1Yt 1   t
Se contrasta la hipótesis H 0 :  1  1  0 contra H 1 : 1  1  0 (valor crítico   ).
2.1. Tests de Raíz Unitaria
•
Caso de los AR(1):
e) Si se acepta la hipótesis nula de d), entonces, utilizando la misma representación, se testea
la hipótesis H 0 : a 0  0 / 1  1  0 con respecto a la alternativa H 1 : a 0  0 / 1  1  0
(el valor crítico es    ). La decisión sobre la aceptación o rechazo de esta hipótesis
nula puede ser reforzada testeando H 0 : a 0  1  1  0 (el valor crítico es  1 ).
f) Si se rechaza la hipótesis nula del punto e), se contrasta la hipótesis H 0 : 1  1  0
contra la alternativa H 1 : 1  1  0 (el valor crítico será de las distribuciones “t” o
Normal). Si se rechaza la hipótesis nula, se puede concluir que  Y t  no posee raíces
unitarias.
g) Si se acepta la hipótesis H 0 : a 0  1  1  0 del punto e), entonces se contrasta la
hipótesis H 0 : 1  1  0 contra la alternativa H 1 : 1  1  0 (el valor crítico está dado
por  ). Si se rechaza la hipótesis nula se puede concluir que  Y t  no posee raíces
unitarias.
FIN
Me pueden escribir a:
[email protected]
Las presentaciones estarán colgadas en:
www.cema.edu.ar/u/jrs06
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