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Funciones
Pedro Godoy Gomez
Profesor de matemática
GRÁFICAS
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Las gráficas son medios potentes para tratar gran número de
problemas. Se utilizan en todas las disciplinas: física, biología,
economía, sociología, psicología, etc.
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RELACIÓN ENTRE LA HORA DEL DÍA Y LA SOMBRA
TIEMPO T
LONGITUD DE
LA SOMBRA
9:00
21 M
9:30
19 M
10:00
15,5 M
10:30
13 M
11:00
11 M
11:30
9M
12:00
8M
12:30
7M
13:00
6M
14:00
7M
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Grafique la tabla anterior
VEA ESTO
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¡Cuidado con
los medicamentos!
En las instrucciones de un medicamento, que hay que
administrar a un diabético, se establece que la dosis
del mismo, expresada en mg, está en función del
peso del paciente según la gráfica.
¿QUÉ CONLUSIONES PUEDES OBTENER DEL GRAFICO?
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Observa que a una persona de 50 Kg le corresponde una dosis
de 20 mg. Diremos que 20 es la imagen de 50 o que 50 es un
original de 20 y escribiremos 50 Kg → 20 mg.
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a. ¿Cuál es la imagen de 75?, es decir, ¿qué dosis hay que
suministrar a una persona de 75Kg?
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b. ¿Se puede administrar a bebés?¿Y a personas
obesas?.
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c. ¿Qué peso tenía una persona a la que
suministraron 40 mg?
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d. ¿Para qué peso la dosis es máxima?
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Diremos que la variable dosis depende (o es
función) de la variable peso: Peso → Dosis
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Después de bañarse en su casa, Ana dibuja un
esbozo de gráfica que muestra lo que ocurre con el
volumen de agua de su baño en función del tiempo
transcurrido.
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b.
Cuando
baño
se
está vaciando,
Ana
pone del
elalpie en
a.
amboselgrifos
(caliente
y el
frío)
se
abrieron
d.
c. Si
¿Cuándo
se
aumenta
alcanza
elvolumen
volumen
el agujero¿qué
del desagüe.
¿Qué ocurrido
parte de la
gráfica
muestra
principio,
puede
haber
en
A?
máximo
agua? ¿Cuándo
de agua?
disminuye?
¿Y el mínimo?
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esto?
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Vamos de Graneros a unas clases en Rancagua. La distancia
aproximada es de unos 10 Km. La clase comienza a las 8:15 y
salimos de casa a las 7:30.
Las siguientes gráficas muestran cómo las cosas son bastante
distintas para Antonio, Bernabé, Carlos y Alicia.
Antonio: Salgo con calma. En el camino comienzo a pedalear más
fuerte.
Bernabé: Acababa de salir cuando me di cuenta de que olvidé las
zapatillas y tuve que volver.
Carlos: Fui en moto, pero por el camino me quedé sin gasolina. Así
que pie al suelo y andando.
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¿Qué grafica corresponde a cada uno?
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Conclusiones
 Cada una de las situaciones anteriores nos muestra
que siempre existe una dependencia
 Existe una variable independiente y otra
dependiente
 Algunas de estas dependencias se pueden
representar algebraicamente
Por ejemplo el área del cuadrado depende
De la longitud de su lado
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X cm
A x
X cm
2
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Un grifo vierte 15 litros por minuto. Es evidente que Tiempo y
Volumen son en este caso dos magnitudes directamente
proporcionales. Si construimos una tabla y dibujamos la gráfica
obtendremos:
Observa que la
magnitud volumen V es
igual a la magnitud
tiempo t multiplicada por
15, que es la razón de
proporcionalidad.
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Dos magnitudes X e Y directamente proporcionales de
razón a dan lugar a gráficas del tipo anterior que son
rectas que pasan por el origen de coordenadas,
cuya ecuación es y = a · x. Al número a se le llama
pendiente.
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¿Qué hace variar la inclinación de la recta?
Si y = a x, el parámetro a será la pendiente de la recta
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Pendiente : Grado de inclinación que tiene una recta
respecto del eje x.
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Pendiente de una recta
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Pendiente
Pendiente
también se
define como
la razón
entre la
elevación
de un punto
y el avance
del mismo
punto
Pendiente
4
Hagamos
la grafica de la función lineal
y
x
7
4 elevación
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7 avance
¿Qué es una Función?
Una función es una relación entre dos variables , donde
cada elemento del dominio posee una única imagen en
el recorrido.
y = 5x
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Recorrido
-1
-2
0
1
2
3
4
5
-2
-4
-5
-10
0
5
10
12
15
20
25
Dominio
Codominio
-5, -10, 0, 5,
10, 15, 20,
25
Funciones
Algunas cuestiones especialmente importantes
DOMINIO : Conjunto de números reales que generan una imagen
en la función.
Toda función vive gracias al DOMINIO
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RECORRIDO: Es el conjunto de números reales que se obtiene
a partir de cada elemento del dominio
El recorrido depende del dominio y de la función que se tenga.
Notaciones importantes
Cuando queramos indicar una función y distinguirla de otra
la anotaremos f(x), g(x), H(x), etc
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f(x)
se lee f de x, o también
imagen de x en f
Función
Cada función señala una relación de
dependencia entre dos variables.
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Consideremos la siguiente situación
Un cilindro de radio r y
altura h. Asi el volumen se
convierte en una función en
dos variables
V (r , h )  r h
2
Pero si dejamos la radio fijo, y solo
variamos la altura nos queda una
función que depende en una sola
variable, y si consideramos que el
radio mide 10 cm. El volumen queda
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V ( h )  100  h
Lo cual nos lleva a la forma anterior
y = ax
¿Cuál será el volumen de un cilindro
cuya altura mida 12 cm?
Osea h = 12 cm, reemplacemos
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V(12) = 100 12 = 3768 cm3
A este proceso lo llamamos calcular la
imagen de 12
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Detalles a considerar,
Solo se pueden calcular volumen de
números positivos
h  0
El volumen es siempre positivo
A pesar que es posible calcular el
valor cuando h = -20, este carece de
absoluto sentido.
Los elementos reflexionados
anteriormente los conocemos como
DOMINIO Y RECORRIDO
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DOMINIO CONTIENE A LOS Números
REALES QUE PODEMOS REEMPLAZAR
RECORRIDO LOS RESULTADOS
OBTENIDOS
EL DOMINIO DEPENDE DE DOS
COSAS FUNDAMENTALES
EL CONTEXTO
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LA EXPRESION ALGEBRAICA
Considera la función
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f (x)  x
2
pero si x representa el
lado de un cuadrado y f(x)
representa su área
entonces el dominio serán
los números reales positivos
x
x
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Quitemos el contexto, y pensemos
2
que
no tiene un
f (x)  x
contexto necesariamente, en ese
caso, la expresión algebraica manda y
nos señala que no existe dificultad
para elevar un número al cuadrado,
en ese caso el dominio serán los
números reales.
Dom f = R
Cálculo de imágenes
si f(x) 
2x
x3
Calcular el valor de f( 6)
Se reemplaza el 6 en cada lugar donde esta x
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f(x) 
2 6
6 3

12
9

4
3
f(x) 
2x
x3
¿Qué números no podemos
reemplazar en la x?
No olvides que la división por cero NO EXISTE
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Dom f = R – {-3}
Esto nos indica que podemos reemplazar cualquier
valor excepto el -3
Dadas las siguientes funciones calculen en cada una las
Imágenes que se indican
1) f ( x )  3 x  2
4) f ( x) 
3
2) f ( x)  3 x  6
5) f ( x ) 
x
x
7) f ( x) 
x4
a ) f (  3)
b ) f (5 )
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c ) f (8 )
d ) f (0)
e) f (4)
f ) f (  1)
3) f ( x )  3 x
6) f ( x) 
3
x4
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ACTIVIDAD GRUPAL
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ACTIVIDAD 2
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ACTIVIDAD 3
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ACTIVIDAD 4
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ACTIVIDAD 5
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