LA PARADOJA DEL CUMPLEAÑOS
¿Cuántas personas escogidas al azar hacen falta para tener la
certeza de que dos cumplen años el mismo día? Si un año tiene
365 días (pasemos de bisiestos), nos hacen falta a lo sumo 366
personas. ¿Y si quiero tener una probabilidad del 50%?
El número de posibles:
n fechas de 365 (casos posibles) es:
VR 365 , n  365
n fechas distintas de 365 (casos no favorables) es:
n
V 365 , n  365  364  ...  ( 365  n  1)
P ( n personas
no mismo cumple)

365  364  ...  ( 365  n  1)
365
P ( al menos dos de n mismo cumple)
1-
n
365  364  ...  ( 365  n  1)
365
n
Con n = 23 esta probabilidad se hace aproximadamente 0,5.
¿Y si fijamos la fecha? Por ejemplo, yo nací el 2 de julio,
¿cuántas personas son necesarias en un grupo para alcanzar
el 50% de probabilidad de que al menos una haya nacido el
mismo día que yo?
P ( no nacer el 2 de julio) 
364
365
P ( n personas
 364 
no hayan nacido el 2 de julio)  

 365 
n
 364 
P ( Al menos una persona de n haya nacido el 2 de julio)  1 - 

 365 
n
Para n = 253 esta probabilidad es aproximadamente del 50%.
Moraleja: mientras que es probable que ocurra algún hecho
improbable, lo es mucho menos que se dé un caso concreto.
(1) Probabilidad de que al menos haya
coincidencia en un cumpleaños
Calcularemos la probabilidad de que no haya ninguna coincidencia y
utilizaremos el complementario.
De las 365 urnas, ¿de cuántas
maneras podemos formar dos
grupos con 23 urnas de tipo 1 y 342
de tipo 0?
PR
23 , 342
365

365 !
23 ! 342 !
[1,...,1]
(23)
[0,...,0]
(342)
Ahora, para cada configuración anterior
tenemos: 23! formas distintas
de colocar las bolas en las urnas tipo 1.
Casos favorables
CF 
365 !
23 ! 
23 ! 342 !
Entonces, la probabilidad de que no haya coincidencia es:
P 
365 !
342 !
365 !
23 ! 342 !
365
23
 0 . 493
La probabilidad de que haya al menos un par de
1  P  1  0 . 493  0 . 507
personas con el mismo día de cumpleaños será:
(2) Probabilidad de que haya precisamente
una coincidencia y solo una
[2]
(1)
[1,...,1]
(21)
[0,...,0]
(343)
De las 365 urnas, ¿de cuántas maneras podemos formar tres grupos
con 1 urna de tipo 2, 21 urnas de tipo 1 y 343 de tipo 0?
PR
1 , 21 , 343
365

365 !
1! 21! 343 !
Ahora, para cada configuración anterior tenemos: 23! /2! formas distintas
de colocar las bolas:
Casos favorables
365 !
CF 
23 !
1! 21! 343 ! 2!
365 !
Entonces, la probabilidad de que
haya exactamente una coincidencia es:
P 
23 !
1! 21! 343 ! 2!
365
23
 0 . 363
(3) Probabilidad de que haya precisamente
dos coincidencias
[2,2]
(2)
[1,...,1]
(19)
[0,...,0]
(344)
De las 365 urnas, ¿de cuántas maneras podemos formar tres grupos
con 2 urnas de tipo 2, 19 urnas de tipo 1 y 344 de tipo 0?
PR
2 ,19 , 344
365

365 !
2! 19 ! 344 !
Ahora, para cada configuración anterior tenemos: 23! /(2!)2 formas
distintas de colocar las bolas:
Casos favorables
CF 
365 !
23 !
2! 19 ! 344 !  2!
2
365 !
Entonces, la probabilidad de que
haya exactamente dos coincidencias es: P 
23 !
2! 19 ! 344 !  2!
365
23
2
 0 . 111
(4) Probabilidad de que haya precisamente
tres coincidencias
[2,2,2]
(3)
[1,...,1]
(17)
[0,...,0]
(345)
De las 365 urnas, ¿de cuántas maneras podemos formar tres grupos
con 3 urnas de tipo 2, 17 urnas de tipo 1 y 345 de tipo 0?
PR
3 ,17 , 345
365

365 !
3! 17 ! 345 !
Ahora, para cada configuración anterior tenemos: 23! /(2!)3 formas
distintas de colocar las bolas:
Casos favorables
CF 
365 !
23 !
3! 17 ! 345 !  2!
3
365 !
Entonces, la probabilidad de que
haya exactamente dos coincidencias es: P 
23 !
3! 17 ! 345 !  2!
365
23
3
 0 . 018
(5) Probabilidad de que haya precisamente
una triple coincidencia
[3]
(1)
[1,...,1]
(20)
[0,...,0]
(344)
De las 365 urnas, ¿de cuántas maneras podemos formar tres grupos
con 1 urna de tipo 3, 20 urnas de tipo 1 y 344 de tipo 0?
PR
1 , 20 , 344
365

365 !
1! 20 ! 344 !
Ahora, para cada configuración anterior tenemos: 23! /3! formas
distintas de colocar las bolas:
Casos favorables
365 !
CF 
23 !
1! 20 ! 344 ! 3!
365 !
Entonces, la probabilidad de que
haya exactamente dos coincidencias es:
P 
23 !
1! 20 ! 344 ! 3!
365
23
 0 . 007
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Presentación en PowerPoint sobre la Paradoja del Cumpleaños