I. Sistemas de coordenadas
II.Gráfica de una ecuación y lugares
geométricos
III.La línea recta
IV.Ecuación de la circunferencia
V.Transformación de coordenadas
VI.La parábola
VII.La elipse
VIII.La hipérbola
 Introducción
 Ecuación de la circunferencia; forma ordinaria
 Forma general de la ecuación de la circunferencia
 Determinación de una circunferencia sujeta a tres
condiciones dadas
 Familias de circunferencias
 Eje radical
 Tangente a una curva
 Tangente a una circunferencia
 Teoremas y problemas de lugares geométricos
relativos a la circunferencia
La sección cónica o simplemente cónica, es
el lugar geométrico o curva que se obtiene
por la intersección de un cono circular recto
con un plano.
Circunferencia
Parábola
Elipse
Hipérbola
L a sección cónica se puede expresar
m ediante una ecuación general de
segundo grado en x e y en la form a
siguiente :
A x  B xy  C y  D x  E y  F  0
2
2
D ependiendo de la sección cónica
algunos de los coeficientes se hacen cero.
La circunferencia es el lugar
geométrico del plano descrito por un
punto que se mueve a una distancia
constante de un punto fijo.
El punto fijo se llama centro de la
circunferencia y la distancia
constante se llama radio.
Definición:
Se llama ecuación de un lugar geométrico plano a una
ecuación de la forma
f  x, y   0
cuyas soluciones reales para valores correspondientes
de x e y son todas coordenadas de aquellos puntos,
y solamente de aquellos puntos, que satisfacen la
condición o condiciones geométricas dadas que
definen el lugar geométrico.
1. Se supone que el punto P, de
coordenadas (x, y), es un punto
cualquiera que satisface la
condición ó condiciones dadas, y,
por tanto, un punto del lugar
geométrico.
2. Se expresa, analíticamente, la
condición o condiciones
geométricas dadas, por medio de
una ecuación o ecuaciones en las
coordenadas variables x e y.
3. Se simplifica, si hace falta, la
ecuación obtenida en el paso
anterior (2) de tal manera que tome
la forma
f(x,y)=0
4. Se comprueba el reciproco: sean
(x1, y1) las coordenadas de cualquier
punto que satisfacen f(x.y)=0 de tal
manera que:
f(x1 ,y1 )=0
E n la práctica generalm ente se om ite el paso 4,
ya que la repetición del trabajo del pas o 3 al
paso 2 es, generalm ente, inm ediata.
N ótese que en el paso 1 que al tom ar P co m o
un punto cualquiera del lugar geom étrico,
estam os considerando todos los puntos de ese
lugar geom étrico.
T eorem a 1.
La circunferencia cuyo centro es el punto ( h , k )
y cuyo radio es la constante r , tiene po r ecuación
x  h
2
y  k  r
2
2
D em o stració n :
S ea P  x , y  u n p u n to cu alq u iera d e la
circu n feren cia d e cen tro C ( h , k ) y rad io r .
x  h
2
y  k  r
2
2
Por la definición de circunferencia, el punto P
debe satisfacer la condición geom étrica C P  r
x  h
2
y  k  r
2
2
x  h
Pero C P 
x  h
2
y  k  r
2
2
2
y  k
2
P or tanto, elevando al cuadrado encontra m os
x  h
2
y  k  r
2
2
que es lo que queríam os dem ostrar.
x  h
2
y  k  r
2
2
1. E scribir la ecuación de la
circunferencia de centro C (  3,  7 )
y radio 7.
2. L os extrem os de un diam etro
de una circunferencia son los puntos
A (2, 3)
y
B (  4, 5 ).
H allar la ecuación de la curva.
1. E scribir la ecuación de la circunfere ncia de centro C (  3,  7 ) y radio 7.
-10
-8
-6
-4
-2
2
y
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
4
x
2. Los extrem os de un diam etro de una circunferencia son los
puntos A (2, 3)
y
B (  4, 5). H allar la ec uación de la curva.
y
8
7
6
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
2
3
4
5
x
C orolario:
C uando el centro de la circunferencia
es el origen de coordenadas
h  k
la ecuación de la circunferencia
se expresa :
x  y r
2
2
2
 0
x  h
2
y  k  r
2
2
(2)
x  y r
2
2
2
(3)
U na circunferencia tiene su centro
en el origen y un radio igual a
¿C uál es su ecuación?
2.
E jem plo : H allar la ecuación de la circun ferencia que
pasa por el punto A  7,  5  y cuyo centro es e l punto
de intersección de las rectas
7 x  9 y  10  0
y
2x  5y  2 = 0
E jem p lo : H allar la ecu ació n d e la circu n feren cia q u e
p asa p o r el p u n to A  7 ,  5  y cu yo cen tro es e l p u n to d e
in tersecció n d e las rectas 7 x  9 y  1 0  0 y
2 x  5y  2  0
S olución: P ara hallar la ecuación de la circunferencia
necesitam os el centro y el radio.
E l centro se obtiene encontrando el punto de intersección
de las rectas antes m encionadas y una vez hallado
podem o s obtener el radio calculando la distancia entre el
centro y el punto A  7,  5  .
E jem p lo : H allar la ecu ació n d e la circu n feren cia q u e
p asa p o r el p u n to A  7 ,  5  y cu yo cen tro es e l p u n to d e
in tersecció n d e las rectas 7 x  9 y  1 0  0 y
2 x  5y  2  0
P ara encontrar el centro de la
circunferencia debem os resolver
el sistem a de 2 ecuaciones con
2 incógnitas:
7 x  9 y  10  0
2x  5y  2  0
R esolvem os el sistem a de 2 ecuaciones c on 2 incógnitas
m ediante el m étodo de sum as y restas:
7 x  9 y  10  0
(M ultiplicando por  2)
2x  5y  2  0
(M ultiplicando por  7 )
 14 x  18 y  20  0
14 x  35 y  14  0
S um andolas
 17 y  34  0
y despejando y ,
y2
7 x  9 y  10  0
2x  5y  2  0
S ustituyendo y  2 en la prim era ecuación, t enem os
7 x  9  2   10  0
P or tanto,
7 x  18  10  28
ó
x4
E l punto de intersección de las dos rectas, que
a su vez es el centro de la circunferenc ia, es
 4, 2 
E jem p lo : H allar la ecu ació n d e la circu n feren cia q u e
p asa p o r el p u n to A  7 ,  5  y cu yo cen tro es e l p u n to d e
in tersecció n d e las rectas 7 x  9 y  1 0  0 y
2 x  5y  2  0
S e calcula el radio com o la distancia del centro al punto A ;
es decir,
r 

( xC  x A )  ( y C  y A ) 
2
(  3)  7 
2
2
2
9  49 
(4  7 )  (2  (  5)) 
2
58
E l radio de la circunferencia es
58
2
E jem p lo : H allar la ecu ació n d e la circu n feren cia q u e
p asa p o r el p u n to A  7 ,  5  y cu yo cen tro es e l p u n to d e
in tersecció n d e las rectas 7 x  9 y  1 0  0 y
2 x  5y  2  0
S e calcula el radio com o la distancia de l centro al punto A
r 

( xC  x A )  ( y C  y A ) 
2
9  49 
2
(4  7 )  (2  (  5)) 
2
2
58
La ecuaci ó n de la circunferencia es :
( x  4)  ( y  2)  58
2
2
La ecuación de la circunferencia es:
( x  4)  ( y  2)  58
2
2
(  3)  7
2
2
E jem p lo : H allar la ecu ació n d e la circu n feren cia q u e
p asa p o r el p u n to A  7 ,  5  y cu yo cen tro es e l p u n to d e
in tersecció n d e las rectas 7 x  9 y  1 0  0 y
2 x  5y  2  0
R esu m ien d o :
a) E l cen tro d e la circu n feren cia es
 4, 2 
b ) E l rad io d e la circu n feren cia es
58
P o r lo tan to , la ecu ació n d e la circu n feren cia
es
 x  4
2

y
 2   58
2
ó b ie n
x  y  8 x  4 y  38  0
2
2
D esarro llan d o lo s cu ad rad o s en la ecu ació n
x  h   y  k   r
2
2
2
ten em o s
x  2 h x  h  y  2 ky  k
2
2
2
2
 r
2
y ag ru p an d o to d o s lo s térm in o s en el p rim er
m iem b ro :
x  y   2h  x   2k  y   h  k  r
2
2
2
2
2
0
x  y   2h  x   2k  y   h  k  r
2
2
2h,  2k , y
2
h  k  r
2
2
2
2
2
0

S on núm eros reales cualesquiera, por lo tanto podem os decir:
D  2h
E  2k
F h k r
2
2
2
S ustituyendo en la ecuación
x  y   2h  x   2k  y   h  k  r
2
2
tenem os:
x  y  Dx  Ey  F  0
2
2
2
2
2
0
La form a
x  y  Dx  Ey  F  0
2
2
es la form a general de la
ecuación de la circunferencia.
La form a
x  y  Dx  Ey  F  0
2
2
es la form a general de la
ecuación de la circunferencia.
O bservación: C uando la ecuación de una circunferencia
está expresada en su form a general, los dos térm inos de
segundo grado tienen coeficientes iguales, es decir, del
m ism o valor absoluto y del m ism o sig no.
D e m anera inversa, se puede obtener
la ecuación de la circunferencia a
partir de su form a general :
x  y  Dx  Ey  F  0
2
2
x  y  Dx  Ey  F  0
2
2
R eorganizando,
x
2
 Dx    y  Ey    F
2
C om pletando cuadrados, se obtiene:
2
2
2
2
 2



D
E
D
E
2

F
 x  Dx 
   y  Ey 

4  
4 
4
4

 2
D   2
E  D
E

F
 x  Dx 
   y  Ey 

4  
4 
4
4

2
2
2
2
A l facto rizar en el p rim er m iem b ro
y su m ar en el seg u n d o , se tran sfo rm a en :
2
2
D
E 
D  E  4F


x
 y
 
2 
2 
4


2
2
x  y  Dx  Ey  F  0
2
2

2
2
D
E 
D  E  4F


x
 y
 
2 
2 
4


2
2
P ara corresponder a la ecuación de
una circunferencia, hacem os
r 
1
2
D  E  4F
2
2
x  y  Dx  Ey  F  0
2

2
2
2
D 
E 
D  E  4F


x
 y
 
2 
2 
4


2
2
P o r lo q u e se p resen tan tres caso s p ara :
a)
D  E  4F  0
b)
D  E  4F  0
c)
D  E  4F  0
2
2
2
2
2
2
x  y  Dx  Ey  F  0
2

2
2
2
D 
E 
D  E  4F


x
 y
 
2 
2 
4


a)
2
2
D  E  4F  0
2
2
La ecuación corresponde a una circunfere ncia con centro en
E
 D
C   , 
2 
 2
y radio
r 
1
2
D  E  4F
2
2
x  y  Dx  Ey  F  0
2

2
2
2
D 
E 
D  E  4F


x
 y
 
2 
2 
4


b)
2
2
D  E  4F  0
2
2
La ecuación corresponde a una circunferencia
de radio cero; es decir, un punto de coo rdenadas
E 
 D
C   , 
2 
 2
x  y  Dx  Ey  F  0
2

2
2
2
D 
E 
D  E  4F


x
 y
 
2 
2 
4


c)
2
2
D  E  4F  0
2
2
L a ecu ació n co rresp o n d e a u n a
circu n feren cia im ag in aria y ,
p o r lo tan to , n o tien e
rep resen tació n real.
T eo rem a 2 . L a ecu ació n
x  y  Dx  Ey  F  0
2
2
rep resen ta u n a circu n feren cia,
so lam en te si
D
2
 E
2
 4F  0
L as co o rd en ad as d el cen tro so n , en to n ces ,
E 
 D
,


2 
 2
y el rad io
1
2
D
2
 E
2
 4F
N O T A . S i se da la ecuacion de una circun ferencia
en la form a general, se aconseja no proceder
m ecanicam ente, usando las fórm ulas dadas en el
teorem a 2 para obtener el centro y el radio.
E n vez de esto, es conveniente reducir la ecuación
a la form a ordinaria por el m étodo de co m pletar
cuadrados, tal com o se hizo en la deduccion del
teorem a m ism o.
E s la ecu ació n 3 x  3 y  1 2 x  2 4 y  1 5  0
2
2
la ecu ació n d e u n a circu n feren cia.
E n caso afirm ativo , en co n trar d ó n d e está su cen tro
y cu ál es su rad io
E s la ecuación  2 x ²  2 y  28 x  6 y  188  0
2
la ecuación de una circunferencia.
E n caso afirm ativo, encontrar dónde está su centro
y cuál es su radio.
T eorem a 1.
La circunferencia cuyo centro es el punto ( h , k )
y cuyo radio es la constante r , tiene po r ecuación
x  h
2
y  k  r
2
2
E jem plo: H állese la ecuación
de una circunferencia que
pasa por los puntos
  3, 3 
y 1, 4 
y su centro está
sobre la recta 3 x  2 y  23  0.
E jem p lo : H állese la ecu ació n d e u n a circ u n feren cia
p asa p o r lo s p u n to s
  3, 3 
y 1, 4 
y su cen tro está so b re la recta 3 x  2 y  2 3  0 .
S olución:
1) L a ecuación de la circunferencia es d e la form a:
( x  h)  ( y  k )  r
2
2
2) C om o su centro es
2
 h, k 
y está sobre la recta
dada, satisface la ecuación de dicha rec ta; es decir,
se cum ple que
3 h  2 k  23  0
E jem p lo : H állese la ecu ació n d e u n a circ u n feren cia
p asa p o r lo s p u n to s
  3, 3 
y 1, 4 
y su cen tro está so b re la recta 3 x  2 y  2 3  0 .
3) Los puntos   3, 3  y 1, 4  están en la
circunferencia y por tanto satisfacen su ecuación.
S ustituyendo los puntos en ésta , se obtienen
dos ecuaciones de la form a :
(  3  h )  (3  k )  r
2
2
(1  h )  (4  k )  r
2
2
2
2
E jem p lo : H állese la ecu ació n d e u n a circ u n feren cia
p asa p o r lo s p u n to s
  3, 3 
y 1, 4 
y su cen tro está so b re la recta 3 x  2 y  2 3  0 .
L as ecu acio n es an terio res p u ed en ig u alar se :
(  3  h )  (3  k )  (1  h )  ( 4  k )
2
2
2
2
y o b ten em o s
9  6h  h  9  6k  k
2
2
 1  2h  h  16  8k  k
18  6h  6k  17  2h  8k
18  17  6h  2h  6k  8k  0
8h  2k  1  0
2
2
T enem os dos ecuaciones, la de la línea r ecta,
en la cual la circunferencia tiene su ce ntro
3 h  2 k  23  0
y la que acabam os de obtener 8 h  2 k  1  0
R esolviendo el sistem a de ecuaciones
form ado por ellas, tenem os
8h  2k  1  0
3 h  2 k  23  0
11h  0 k  22  0
h2
8h  2k  1  0
3 h  2 k  23  0
h 2
S ustituyendo h  2 en la prim era ecuación,
8(2)  2 k  1  0
ó sea
2 k   1  16
de donde
k 
17
2
17

1) S abem os que el centro está en  2, 
2


.

2) S abem os que el punto 1, 4  está en la c ircunferencia.
P or lo tanto, la distancia entre ellos s erá
el valor del radio de la circunferencia; es decir,
2
r 
1  2 
2
ó finalm ente
r 
629 / 2

 17  
 4  
 
 2 

  1
2
 25 


 2 
2
E jem p lo : H állese la ecu ació n d e u n a circ u n feren cia
p asa p o r lo s p u n to s
  3, 3 
y 1, 4 
y su cen tro está so b re la recta 3 x  2 y  2 3  0 .
R esu m ien d o :
17 

i) E l cen tro está en  2, 

2 

ii) E l rad io es
r 
629 / 2
P o r lo tan to , la ecu ació n d e la circu n fe ren cia es:
2
 x  2
2
17 
629

y
 
2 
4

E jem p lo : H állese la ecu ació n d e u n a circ u n feren cia
p asa p o r lo s p u n to s
  3, 3 
y 1, 4 
y su cen tro está so b re la recta 3 x  2 y  2 3  0 .
2
L a ecu ació n d e la circu n feren cia es
x  2
2
17 
629

y
 
2 
4

P o d em o s p o n erla en la fo rm a g en eral sim p lifican d o :
x  4 x  4  y  17 y 
2
2
x  y  4 x  17 y  4 
2
2
289

629
4
4
289
629

4
4
289
4

629
4

16  289  629
4
0
4
 
324
4
 81
E jem p lo : H állese la ecu ació n d e u n a circ u n feren cia
p asa p o r lo s p u n to s
  3, 3 
y 1, 4 
y su cen tro está so b re la recta 3 x  2 y  2 3  0 .
La ecuación de la circunferencia es
2
 x  2
2
629
17 

y
 
4
2 

O en su form a genera l
x  y  4 x  17 y  81  0
2
2
E jem p lo : H állese la ecu ació n d e u n a circ u n feren cia
p asa p o r lo s p u n to s
  3, 3 
y 1, 4 
y su cen tro está so b re la recta 3 x  2 y  2 3  0 .
L a ecuación general de la circunferencia es
x²  y²  Dx  Ey  F  0
L os puntos (-3,3) y (1,4) están en la circunferencia
y por tanto cum plen su ecuación; es decir,
(  3)²  (3)²  D (  3)  E (3)  F  F  3 D  3 E  18  0
(1)²  (4)²  D (1)  E (4)  F  F  D  4 E  17  0
T enem os entonces dos ecuaciones con tres incógnitas,
D , E , F y nos hace falta otra ecuación.
E jem p lo : H állese la ecu ació n d e u n a circ u n feren cia
p asa p o r lo s p u n to s
  3, 3 
y 1, 4 
y su cen tro está so b re la recta 3 x  2 y  2 3  0 .
S abem os que el centro de la circunferenc ia está en
(
D
2
,
E
)
2
y que dicho centro está sobre la recta
3 x  2 y  23  0
así que debe satisfacer su ecuación y as í obtenem os
una tercer ecuación, que es
3( 
D
2
)  2( 
E
2
)  23  E  (3 / 2) D  23  0
E jem p lo : H állese la ecu ació n d e u n a circ u n feren cia
p asa p o r lo s p u n to s
  3, 3 
y 1, 4 
y su cen tro está so b re la recta 3 x  2 y  2 3  0 .
T enem os ya tres ecuaciones con tres incó gnitas:
 3 D  3 E  F  18  0
D  4 E  F  17  0

3
D  E  23  0
2
y la solución al problem a estará dada co n la
solución de este sistem a de ecuaciones
sim ultaneas.
T enem os tres ecuaciones con tres incógni tas:
 3 D  3 E  F  18  0
D  4 E  F  17  0
 (3 / 2) D  E  23  0
L as resolvem os por sustitución.
D espejando E en la tecera
E  (3 / 2) D  23
S ustituyendo en la otras dos
 3 D  3(
3
D  23)  F  18  0
2
D  4(
3
D  23)  F  17  0
2
obtenem os un sistem a de dos ecuaciones con dos incógnitas
F 
3
D  87  0
2
F  7 D  109  0
F 
3
D  87  0
2
F  7 D  109  0
R estam o s la p rim era d e la seg u n d a
11
D  22  0
2
y d esp ejam o s D , o b ten ien d o
D  4
S u stitu im o s ah o ra d e reg reso
F  7(4)  109  0
F  81  0
F  81
Y fin alm en te sacam o s a E d e la ecu ac ió n
E  (3 / 2 ) D  2 3  (3 / 2 )(  4 )  2 3  1 7
E jem p lo : H állese la ecu ació n d e u n a circ u n feren cia
p asa p o r lo s p u n to s
  3, 3 
y 1, 4 
y su cen tro está so b re la recta 3 x  2 y  2 3  0 .
R esum en
D   4,
E  17
y
F   81
y la ecuación de la circunferencia es
x ²  y ²  4 x  17 y  81  0
E jem p lo : H állese la ecu ació n d e u n a circ u n feren cia
p asa p o r lo s p u n to s
  3, 3 
y 1, 4 
y su cen tro está so b re la recta 3 x  2 y  2 3  0 .
La ecuación de la circunferencia es
2
 x  2
2
629
17 

y
 
4
2 

O en su form a genera l
x  y  4 x  17 y  81  0
2
2
A hora considerarem os fam ilias o haces de
circunferencias de la m ism a m anera que
consideram os fam ilias de rectas.
Y a señalam os que una circunferencia y su
ecuación se determ inan cada una por tres
condicione s independientes.
U na circunferencia que satisface m enos d e
tres condiciones independient es no es única.
L a ecuación de una circunferencia que
satisface solam ente dos condiciones
contiene una constante arbitraria llam ad a
parám etro.
S e dice entonces que tal ec uación r eprese n ta
una fam ilia de circu nferen c i as d e un parám etro .
P or ejem plo , la fam ilia de todas las
circunferencias concéntricas cuyo centro
com ún es el punto (1, 2) tiene por ecuac ión
 x  1
2
  y  2  k
2
2
en donde el parám etro k es cualquier
núm ero real positivo.
k 1/ 2
k 1
k 2
k 3
k 4
k 5
k 6
P ara entender lo que sucede con esta
fam ilia de circunferencias que estam os
por crear, debem os tener claro cuáles
son las posibilidades de intersección de
dos circunferencias dadas, com o la
C 1 y C 2 de la transparencia anterior y com o
determ inar dichas intersecciones.
H acem os, por lo tanto, un paréntesis para
estuciar la intersección de dos circunfe rencias.
L as d o s circu n feren cias,
C1 :
x  y  D 1 x  E 1 y  F1  0
2
2
C 2 : x  y  D 2 x  E 2 y  F2  0
2
2
p u ed en :
a) In tersectarse en d o s p u n to s
b ) In tersectarse en u n so lo p u n to y
ser tan g en tes en tre ellas
c) N o in tersectarse
  y  2  5
2
 x  1
 x  2    y  1  3
2
2
2
2
2
S e in tersectan
 x  1
2
  y  3  3
2
2
 x  2    y  1  2
2
2
2
S on tangentes
x   y  2
2
 x  1
2
2
1
 
2
  y  3
2
2
 7 
 
 10 
2
N o se in tersectan
2
3
2

2
x


y

3

1




2

 x  1
2
  y  3  2
2
2
N o se in tersectan
P ara determ inar la intersección de dos c ircunferencias,
C1 :
x  y  D1 x  E 1 y  F1  0
2
2
C 2 : x  y  D 2 x  E 2 y  F2  0
2
2
debem os encontrar las soluciones sim ulta neas de las dos
ecuaciones.
S i tiene soluciones puede tener
a ) D os y las circunferencias se intersectan en dos puntos
b) U na y las circunferencias se intersec tan en un solo punto
y son tangentes una a la otra
c) N inguna y las circunferencias no se intersectan
  y  2  5
2
 x  1
 x  2    y  1  3
2
2
2
2
2
S e in tersectan
E jem p lo :
E n co n trar to d o s lo s p u n to s
d e in tersecció n d e las
circu n feren cias
 x  1
2
 x  2
2
  y  2  5
2
  y  1  3
2
2
2
 x  1
2
  y  2  5
2
 x  2
2
2
  y  1  3
2
2
S e tom a la prim era circunferencia,
 x  1
2
  y  2  5
2
2
se pone en su form a general
x  y  2 x  4 y  20  0
2
2
S e despeja de esta form a general y ,
y se obtienen dos soluciones
y 2
24  2 x  x
2
 x  1   y  2   5
2
2
y2
 x  2    y  1  3
2
2
24  2 x  x
2
2
2
S e sustituye la prim era solución , la del + , en la
ecuación de la segunda circunferencia y se obtiene

 x  2  2 
2
24  2 x  x  1
2

2
3
2
que al reducirse queda com o
28  6 x  6 2 4  2 x  x
2
0
E sta ecuación de segundo grado no ti ene solución
 x  1
  y  2  5
2
 x  2    y  1  3
2
2
2
2
2
E stam os eligiendo
la parte de arriba
 x  1   y  2   5
2
2
2
y2
 x  2    y  1  3
2
24  2 x  x
2
2
2
A h o ra se su stitu ye la seg u n d a so lu ció n , la d el  , en la
ecu ació n d e la seg u n d a circu n feren cia y se o b tien e

 x  2  2 
2
24  2 x  x
2
1

2
3
2
q u e al red u cirse q u ed a co m o
28  6 x  6
24  2 x  x
2
 0
E sta ecu ació n d e seg u n d o g rad o se resu elve
o b ten ien d o se las d o s raices:
x1 
11
6

161
6
 3 .9 5
x2 
11
6

161
6
=  0 .2 8
 x  1
2
  y  2  5
2
2
y 2
x1 
11

6
 3.95
6
 11
24  2 

 6

y1  2 
 2
161
61

3
161
3
 x  2
24  2 x  x
x2 
11
  y  1  3
2
2
2
161

6
2
2
161 
 
6 
161 
  1 .2 8
6 
A sí q u e u n p u n to d e in tersecció n es
 3 .9 5,1 .2 8 
=  0.28
6
161   11

  
6   6
 11


 6

2
 x  1
2
  y  2  5
2
2
y 2
x1 
11

6
 3.95
6
 11
24  2 

 6

y1  2 
 2
161
61

161
3
3
 x  2
24  2 x  x
x2 
11
  y  1  3
2
2
2
161

6
2
2
161 
 
6 
161 
   2 .9 5
6 
A sí q u e u n p u n to d e in tersecció n es
  0 .2 8,  2 .9 5 
=  0.28
6
161   11

  
6   6
 11


 6

2
E jem plo:
E ncontrar todos los puntos de intersección de las
circunferencias
 x  1
2
 x  2
2
  y  2  5
2
  y  1  3
2
2
2
S oluc ión :
 3.95,1.28 
y
  0.28,  2 .9 5 
  y  2  5
2
 x  1
 x  2    y  1  3
2
2
2
2
2
 3.95,1.28 
  0.28,  2.95 
S e in tersectan
 x  1
2
  y  3  3
2
2
 x  2    y  1  2
2
2
2
S on tangentes
E jem p lo :
E n co n trar to d o s lo s p u n to s
d e in tersecció n d e las
circu n feren cias
 x  1
2
 x  2
2
  y  3  3
2
2
  y  1  2
2
2
 x  1
2
  y  3  3
2
x  2
2
2
  y  1  2
2
2
S e to m a la p rim era circu n feren cia,
 x  1
2

 y  3
2
3
2
se p o n e en su fo rm a g en eral
x  y  2x  6 y  1  0
2
2
S e d esp eja d e esta fo rm a g en eral y ,
y se o b tien en d o s so lu cio n es
y 3
8  2x  x
2
 x  1
2
  y  3  3
2
x  2
2
y 3
8  2x  x
2
  y  1  2
2
2
2
S e sustituye la prim era solución , la del + , en la
ecuación de la segunda circunferencia y se obtiene
 x  2
2

 3
8  2x  x  1
2

2
 4
que al reducirse queda com o
24  6 x  8 8  2 x  x
2
 0
E sta ecuación de segundo grado no tiene solución
 x  1
2
  y  3  3
2
2
 x  2    y  1  2
2
2
2
E stam os eligiendo
la parte de arriba
 x  1   y  3   3
2
2
 x  2    y  1  2
2
2
y 3
8  2x  x
2
2
2
A h o ra se su stitu ye la seg u n d a so lu ció n , la d el  , en la
ecu ació n d e la seg u n d a circu n feren cia y se o b tien e
 x  2
2

 3
8  2x  x
2
1

2
 4
q u e al red u cirse q u ed a co m o
24  6 x  8 8  2 x  x
2
 0
E sta ecu ació n d e seg u n d o g rad o se resu elve
o b ten ien d o se u n a so la raíz:
x 
4
5
 0 .8 0
 x  1
2
  y  3  3
2
x  2
2
y 3
8  2x  x
x
2
  y  1  2
2
2
2
4
5
2
y 3
12 15  12
3
4 4
8  2      3 


5
5
5
5 5
4 3
E l punto de intersección es  , 
5 5
E jem plo: E ncontrar todos los puntos
de intersección de las circunferencias
 x  1
2
 x  2
2
  y  3  3
2
2
  y  1  2
2
2
S olución:
S olo hay un punto de inte rsección y e s
4 3
 , 
5 5
 x  1
2
  y  3  3
2
2
 x  2    y  1  2
2
2
4 3
 , 
5 5
2
x   y  2
2
 x  1
2
2
1
 
2
  y  3
2
2
 7 
 
 10 
2
N o se in tersectan
E jem plo: E ncontrar todos los puntos de
intersección de las circunferencias
x   y  2
2
 x  1
2
2
1
 
2
  y  3
2
2
 7 


 10 
2
x   y  2
2
2
1
 
2
2
 x  1
2
  y  3
2
 7 


10


2
S e tom a la prim era circunferencia,
x   y  2
2
2
1
 
2
2
se pone en su form a general
x  y  4y 
2
2
15
0
4
S e despeja de esta form a general y , y se obtienen dos soluciones
y2
1
2
1 4x
2
x   y  2
2
2
1
 
2
2
 x  1
y2
1
2
  y  3
1  4x
2
 7 


10


2
2
2
S e su stitu ye la p rim era so lu ció n , la d el + , en la
ecu ació n d e la seg u n d a circu n feren cia y se o b tien e
2

1
2
1  4x  2   

2

x  2 
2

1
2
2
q u e al red u cirse q u ed a co m o
44
 2x 
1  4x
2
 0
25
L as so lu cio n es d e esta ecu ac ió n so n
x1  
11
25

7
14
100
y x2  
11
25

7
14
100
x   y  2
2
2
1
 
2
2
y2
 x  1
1
2
  y  3
1  4x
2
 7 


10


2
2
2
L as so lu cio n es d e esta ecu ació n so n
x1  
11

7
25
14
100
y x2  
11
25

7
14
100
q u e n o so n n ú m ero s reales, así q u e co n
esta p rim era o p ció n n o ex iste n in g u n a
in ter secci ó n .
x   y  2
2
2
1
 
2
2
 x  1
y  2
1
2
  y  3
1  4x
2
 7 


10


2
2
2
S e su stitu ye la seg u n d a so lu ció n , la d el  , en la
ecu ació n d e la seg u n d a circu n feren cia y se o b tien e
1

x  2 
2

2
2
1

1  4x  2   
2

2
2
q u e al red u cirse q u ed a co m o
44
 2x 
1  4x
2
0
25
E sta ecu ació n n o tien e so lu c io n es.
E jem plo: E ncontrar todos los puntos
de intersección de las circunferencias
x   y  2
2
 x  1
2
2
1
 
2
  y  3
2
2
 7 


 10 
2
S olución :
E stas dos circunferencias no se interse cta n .
x   y  2
2
 x  1
2
2
1
 
2
  y  3
2
2
 7 
 
 10 
2
N o se in tersectan
Y a vim os que para determ inar si dos
circunferencias se intersectan hay que
resolver sim ultaneam ente sus ecuaciones.
E sta solución nos da las coordenadas de
los puntos de intersección, en caso que
existan.
S in em bargo, se puede saber si dos
circunferencias se intersectan, utilizan do
criterios geom étricos. E n efecto, tenem o s:
 S i d  r1  r2 las circunferencias no se intersecta n
 S i d  r1  r2 las circunferencias son tangentes ex teriores
 S i d  r1  r2
r2  r1  d las circunferencias se intersectan en dos puntos
d  r2  r1 las circunferencias no se intersectan
d  r2  r1 las circunferencias son tangentes interiores
D e las ecuaciones de las dos circunferen cias,
C1 :
x  y  D1 x  E 1 y  F1  0
2
2
C 2 : x  y  D 2 x  E 2 y  F2  0
2
2
podem os form ar, m ediante una com binación lineal,
la ecuación
x  y  D1 x  E 1 y  F1  k  x  y  D 2 x  E 2 y  F2   0
2
2
2
2
en donde el p arám etro k puede tom ar todos los valores
reales.
P ara determ inar la naturaleza de las cur vas de esta fam ilia,
escribim os la ecuación
x  y  D 1 x  E 1 y  F1  k  x  y  D 2 x  E 2 y  F 2   0
2
2
2
2
com o
x  y  D 1 x  E 1 y  F1  kx  ky  kD 2 x  kE 2 y  kF 2  0
2
2
2
2
x  kx  y  ky  D 1 x  kD 2 x  E 1 y  kE 2 y  F1  kF 2  0
2
2
2
2
 1  k  x  1  k  y   D1  kD 2  x   E 1  kE 2  y  F1  kF 2  0
2
2
 1  k  x  1  k  y   D1  kD 2  x   E 1  kE 2  y  F1  kF 2  0
2
2
S i k   1, la ecu ació n
 se red u ce a u n a d e p r im er g rad o y,
p o r lo tan to , rep resen ta u n a lín ea recta . E n efecto ,
 1    1   x  1    1   y   D1    1  D 2  x 
2
2
  E 1    1  E 2  y  F1    1  F2  0
0 x2
  0  y   D1  D 2  x   E 1  E 2  y  F1  F 2  0
 D1 
D 2  x   E 1  E 2  y  F1  F2  0
2
q u e efectivam en te es u n a ecu ació n lin eal y
rep resen ta u n a lín ea re cta.
1  k  x  1  k  y   D1  kD 2  x   E1  kE 2  y  F1  kF2  0
2
2
k  1
2
  y  2  5
2
 x  1
 x  2
  y  1  3
2
2
2
2
1  k  x  1  k  y   D1  kD 2  x   E1  kE 2  y  F1  kF2  0
2
2
k  1
2
 x  1
  y  3  3
 x  2
  y  1  2
2
2
2
2
2
1  k  x  1  k  y   D1  kD 2  x   E1  kE 2  y  F1  kF2  0
2
2
k  1
x   y  2
2
 x  1
2
2
1
 
2
  y  3
2
2
 7 
 
 10 
2
 1  k  x  1  k  y   D1  kD 2  x   E 1  kE 2  y  F1  kF 2  0
2
2
S i k  0, la ecu ació n

se red u ce a
1   0   x  1   0   y   D   0  D  x 
  E  0 E  y  F  0 F  0
2
2
1
1
2
1
2
2
x  y  D 1 x  E 1 y  F1  0
2
2
q u e es la ecu ació n d e la circu n feren cia 1 .
P ara cualquier otro valor de k , la ecuaci ón
1  k  x  1  k  y   D1  kD 2  x   E 1  kE 2  y  F1k  F2  0
2
2
representa una circunferencia de acuerdo con el teorem a 2
del artículo 40.
T eo rem a 2 . L a ecu ació n
x  y  Dx  Ey  F  0
2
2
rep resen ta u n a circu n feren cia, si y so la m en te si
D
2
 F
2
 4F  0
L as co o rd en ad as d el cen tro so n , en to n ces ,
E 
 D

,



2 
 2
y el rad io
1
2
D
2
 E
2
 4F
C onsiderem os prim eram ente el caso
en que los círculos C 1 y C 2 se cortan
en dos puntos distintos
P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y 2 ).
Supongam os que los círculos C 1 y C 2 se corta n
en dos puntos distintos P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y 2 ).
C om o las coordenadas
C1 :
 x1 , y1 
d e P1 satisfacen am bas e cuaciones
x  y  D1 x  E 1 y  F1  0
2
2
C 2 : x  y  D 2 x  E 2 y  F2  0
2
2
tam bién satisfacen a la ecuación
x  y  D1 x  E 1 y  F1  k  x  y  D 2 x  E 2 y  F2   0
2
2
2
2
y ésta se reduce entonce s a la form a 0  k  0  0, que es
verdadera para todos los valores de k .
A nalogam ente, com o las coordenadas
 x2 , y2 
C1 :
de P2 satisfacen am bas ecuaciones
x  y  D 1 x  E 1 y  F1  0
2
2
C 2 : x  y  D 2 x  E 2 y  F2  0
2
2
tam bién satisfacen a la ecuación
x  y  D1 x  E 1 y  F1  k  x  y  D 2 x  E 2 y  F 2   0
2
2
2
2
y ésta se re duce entonces a la form a 0  k  0  0, que es
verdadera para todos los valores de k .
P or tanto, la ecuación
x  y  D1 x  E 1 y  F1  k  x  y  D 2 x  E 2 y  F 2   0
2
2
2
2
representa una fam ilia de curvas que pasa por las dos
intersecciones de las dos circunferencia s
C1 :
x  y  D1 x  E 1 y  F1  0
2
2
C 2 : x  y  D 2 x  E 2 y  F2  0
2
2
  y  2  5
2
 x  1
 x  2    y  1  3
2
2
2
2
2
S e in tersectan
  y  2  5
2
 x  1
 x  2    y  1  3
2
2
2
2
2
k  5
k
1
2
k5
k5
k  10
C onsiderem os ahora, en segundo lugar,
el caso en que los círculos C 1 y C 2
se cortan en un solo punto P3 ( x 3 , y 3 );
es decir, las circunferencias son
tangentes entre si en el punto P3 .
Las circunferencias C1 y C 2 se cortan en un solo punto P3 ( x 3 , y 3 ).
P or un razonam iento análogo al de dos circunferencias
que se intersectan en dos puntos diferen tes, podem os
dem ostrar que para cada valor de k difere nte de  1,
la ecuación
x  y  D1 x  E 1 y  F1  k  x  y  D 2 x  E 2 y  F 2   0
2
2
2
2
representa una circunferencia tangente a C 1 y C 2 en P3 .
 x  1
2
  y  3  3
2
2
 x  2    y  1  2
2
2
2
S on tangentes
 x  1   y  3   3
2
 x  2
2
2
2
2
  y  1  2
2
k  5
k 
1
2
k 3
k 8
k  20
Finalm ente considerarem os el
caso en que C 1 y C 2 no tengan
ningún punto en com ún; es decir,
las circunferencias no se intersectan.
C1 y C 2 no tienen ningún punto en com ún.
E ntonces las coordenadas de un punto que satisfacen la ecuación
C 2 : x  y  D 2 x  E 2 y  F2  0
2
2
no pueden satisfacer la ecuación
C1 :
x  y  D1 x  E 1 y  F1  0
2
2
y por lo tanto , tam poco pueden satisfacer la ecuación
x  y  D1 x  E 1 y  F1  k  x  y  D 2 x  E 2 y  F2   0
2
2
2
para ningun valor del parám etro k .
2
C1 y C 2 no tienen ningún punto en com ún.
A nálogam ente, las coordenadas de un punto que satisfacen
C1 :
x  y  D1 x  E 1 y  F1  0
2
2
no pueden satisfacer
C 2 : x  y  D 2 x  E 2 y  F2  0
2
2
ya que no tienen ningún punto en com ún, no se intersectan.
P or lo tanto , tam p oco puede satisfacer la ecuación
x  y  D1 x  E 1 y  F1  k  x  y  D 2 x  E 2 y  F 2   0
2
2
2
2
para ningún valor de k excepto k  0, en cuyo caso
obtenem os la circunferencia C 1 .
C1 :
x  y  D1 x  E 1 y  F1  0
2
2
y
C 2 : x  y  D 2 x  E 2 y  F2  0
2
2
no tienen puntos en com ún.
E n resum en, ninguna circunferencia de la fam ilia
x  y  D 1 x  E 1 y  F1  k  x  y  D 2 x  E 2 y  F 2   0,
2
2
2
2
excepto C 1 , tiene un punto en com ún con C 1 y C 2 .
A ún m ás, sea P4 un punto cualquiera que es té sobre
cualquier elem ento de la fam ilia
x  y  D 1 x  E 1 y  F1  k  x  y  D 2 x  E 2 y  F 2   0,
2
2
2
2
excepto sobre C 1 . A cabam os de dem ostrar que P4 no
puede estar sobre C 2 . P or tanto , si se sustituyen las
coordenadas de P4 en las ecuaciones de las circunferencias
C1 :
x  y  D 1 x  E 1 y  F1  0
2
2
C 2 : x  y  D 2 x  E 2 y  F2  0
2
2
los prim eros m iem bros no se reducirán a cero, sino que tendrán
valores dif erentes de cero, digam os k 1 y k 2 , respectiva m ente.
P o r lo tan to , si se su stitu yen en
x  y  D 1 x  E 1 y  F1  k  x  y  D 2 x  E 2 y  F 2   0,
2
2
2
2
las co o rd en ad as d e P4 la ecu acio n to m a la fo rm a
k 1  kk 2  0
d e d o n d e k tien e el ú n ico valo r k  
k1
.
k2
E sto sig n ifica q u e h ay so lam en te u n a circu n feren cia d e la
fam ilia
x  y  D 1 x  E 1 y  F1  k  x  y  D 2 x  E 2 y  F 2   0,
2
2
q u e p asa p o r el p u n to P4 .
2
2
H ay solam ente una circunferencia de la f am ilia
x  y  D 1 x  E 1 y  F1  k  x  y  D 2 x  E 2 y  F 2   0,
2
2
2
2
que pasa por el punto P4 .
C o m o P4 se elig ió co m o cu alq u ier p u n to so b re cu alq u ier
elem en to d e la fam ilia
x  y  D 1 x  E 1 y  F1  k  x  y  D 2 x  E 2 y  F 2   0,
2
2
2
2
ex cep to C 1 , se d ed u ce q u e n in g ú n p ar d e c ircu n feren cias
d e la fam ilia tien en u n p u n to en co m ú n .
x   y  2
2
 x  1
2
2
1
 
2
  y  3
2
2
 7 
 
 10 
2
N o se in tersectan
x   y  2
2
 x  1
2
  y  3
2
1
 
2
2
 7 
 
 10 
2
2
k3
k  20
k 8
k  5
k   0 .5
E n los dos prim eros casos considerados
anteriorm ente, es decir, cuando
C1 :
x  y  D 1 x  E 1 y  F1  0
2
2
C 2 : x  y  D 2 x  E 2 y  F2  0
2
2
tienen dos o un puntos com unes, la ecuac ión
x  y  D1 x  E 1 y  F1  k  x  y  D 2 x  E 2 y  F 2   0
2
2
2
2
repre senta una circunferencia real para todo valor de k ,
ya que por lo m enos existe un punto del lugar geom étrico.
P ero esto no ocurre cuando
C1 :
x  y  D 1 x  E 1 y  F1  0
2
2
C 2 : x  y  D 2 x  E 2 y  F2  0
2
2
no tienen ningún punto en com ún.
E ntonces no se puede asegurar que la ecu acion
x  y  D1 x  E 1 y  F1  k  x  y  D 2 x  E 2 y  F 2   0
2
2
2
2
represente un a circunferencia real para todo valor de k .
V eam os un ejem plo de esto:
E jercicio 1 8 , g ru p o 1 7 , cap ítu lo IV , p ág in a 1 1 9 .
1 8 . D em o strar q u e las circu n feren cias
C 1: x  y  2 x  2 y  2  0
2
2
y
C 2: x  y  10 x  6 y  33  0
2
2
n o se co rtan .
D em o strar q u e p ara k   2 el elem en to co rresp o n d ien te d e
la fam ilia C 1 + k C 2  0 es u n a circu n feren cia q u e n o co rta a
n in g u n a d e las d o s circu n feren cias C 1 y C 2 y cu yo cen tro
está so b re la recta d e lo s cen tro s d e C 1 y C 2 .
D em u estrese tam b ién q u e n o ex iste n in g u n a cir cu n feren cia
real si k to m a u n o cu alq u iera d e lo s valo res 1 , 2 , 3 .
H allen se o tro s valo res d e k p ara lo s cu al es n o ex ista
u n a circu n feren cia real.
E jercicio 1 8 , g ru p o 1 7 , cap ítu lo IV , p ág in a 1 1 9 .
1 8 . D em o strar q u e las circu n feren cias
C 1: x  y  2 x  2 y  2  0
2
2
y
C 2: x  y  10 x  6 y  33  0
2
2
n o se co rtan .
D em o strar q u e p ara k   2 el elem en to co rresp o n d ien te d e
la fam ilia C 1 + k C 2  0 es u n a circu n feren cia q u e n o co rta a
n in g u n a d e las d o s circu n feren cias C 1 y C 2 y cu yo cen tro
está so b re la recta d e lo s cen tro s d e C 1 y C 2 .
D em u estrese tam b ién q u e n o ex iste n in g u n a cir cu n feren cia
real si k to m a u n o cu alq u iera d e lo s valo res 1 , 2 , 3 .
H allen se o tro s valo res d e k p ara lo s cu al es n o ex ista
u n a circu n feren cia real.
 S i d  r1  r2 las circunferencias no se intersecta n
 S i d  r1  r2 las circunferencias son tangentes ex teriores
 S i d  r1  r2
r2  r1  d las circunferencias se intersectan en dos puntos
d  r2  r1 las circunferencias no se intersectan
d  r2  r1 las circunferencias son tangentes interiores
C 1: x  y  2 x  2 y  2  0
2
2
y
C 2 : x  y  10 x  6 y  33  0
2
2
x  y  2x  2 y  2  0
2
2
x  2x  y  2 y  2
2
2
x  2x  1  y  2 y  1  2  1  1
2
 x  1
2
2

C en tro en
y
 1  2
1,1 
R ad io ig u al a 2
2
2
C 1: x  y  2 x  2 y  2  0
2
2
y
C 2 : x  y  10 x  6 y  33  0
2
2
x  y  10 x  6 y  33  0
2
2
x  10 x  y  6 y  33
2
2
x  10 x  25  y  6 y  9  33  25  9
2
 x  5
2
2

C en tro en
y
 3  1
2
  5, 3 
R ad io i g u a l a 1
C 1: x  y  2 x  2 y  2  0
2
2
 x  1
ó
2
  y  1  2
2
2
C entro en 1,1  y radio igual a 2
y
C 2 : x  y  10 x  6 y  33  0
2
C entro en
2
  5, 3 
ó
 x  5   y  3  1
2
2
y radio igual a 1
1 ) L a d istan cia d en tre lo s cen tro s es
1    5     1  3  
2
d 

d 
6   2  
2
2
2
36  4 
1  5 
40
40
2 ) L a su m a d e lo s rad io s es 2 + 1 = 3
2
 1  3  
2
S i d  r1  r2 las circunferencias no se intersectan
S i d  r1  r2 las circunferencias son tangentes
S i d  r1  r2
r2  r1  d las circunferencias se intersectan en dos puntos
d  r2  r1 las circunferenci as no se intersectan
C 1: x  y  2 x  2 y  2  0
2
2
 x  1
ó
2
  y  1  2
2
2
C entro en 1,1  y radio igual a 2
y
C 2 : x  y  10 x  6 y  33  0
2
C entro en
2
  5, 3 
 x  5   y  3  1
2
ó
2
y radio igual a 1
1) La distancia d entre los centros es
1    5     1  3  
2
d 

d 
6   2  
2
2
2
36  4 
1  5 
2
 1  3  
2
40
40
2) La sum a de los radios es 2+ 1= 3
P or lo tanto, las dos circunferencias no se intersectan.
E jercicio 1 8 , g ru p o 1 7 , cap ítu lo IV , p ág in a 1 1 9 .
1 8 . D em o strar q u e las circu n feren cias
C 1: x  y  2 x  2 y  2  0
2
2
y
C 2: x  y  10 x  6 y  33  0
2
2
n o se co rtan .
D em o strar q u e p ara k   2 el elem en to co rresp o n d ien te d e
la fam ilia C 1 + k C 2  0 es u n a circu n feren cia q u e n o co rta a
n in g u n a d e las d o s circu n feren cias C 1 y C 2 y cu yo cen tro
está so b re la recta d e lo s cen tro s d e C 1 y C 2 .
D em u estrese tam b ién q u e n o ex iste n in g u n a cir cu n feren cia
real si k to m a u n o cu alq u iera d e lo s valo res 1 , 2 , 3 .
H allen se o tro s valo res d e k p ara lo s cu al es n o ex ista
u n a circu n feren cia real.
C 1: x  y  2 x  2 y  2  0
2
2
y
C 2 : x  y  10 x  6 y  33  0
2
2
D espejam os y en la
prim era ecuación y
obtenem os
y 1
3  2x  x
2
C 1 : x  y  2 x  2 y  2  0 y C 2 : x  y  10 x  6 y  33  0
2
2
2
y 1
3  2x  x
2
2
E leg im o s el sig n o  p rim ero , y su stitu im o s este resu ltad o
en la seg u n d a ecu ació n , o b ten ien d o

x  1
2
3  2x  x
2


2
 10 x  6 1 
3  2x  x
2
  33  0
q u e se red u ce a
31  12 x  4 3  2 x  x
2
 0
q u e es u n a ecu ació n d e seg u n d o g rad o , cu yas d o s raices so n :
x1  
89
40

1209
40
q u e n o so n reales.
x1  
89
40

1209
40
C 1 : x  y  2 x  2 y  2  0 y C 2 : x  y  10 x  6 y  33  0
2
2
2
y 1
3  2x  x
2
2
E leg im o s ah o ra el sig n o  , y su stitu im o s este resu ltad o
en la seg u n d a ecu ació n , o b ten ien d o

x  1
2
3  2x  x
2


2
 10 x  6 1 
q u e se red u ce a
31  12 x  4 3  2 x  x
2
 0
q u e es u n a ecu ació n d e seg u n d o g rad o ,
q u e n o t i en e so lu cio n es.
3  2x  x
2
  33  0
C 1: x  y  2 x  2 y  2  0
2
2
y
C 2 : x  y  10 x  6 y  33  0
2
2
N o existe una solución real sim ultanea
al sistem a de ecuaciones
x  y  2x  2 y  2  0
2
2
x  y  10 x  6 y  33  0
2
2
P or lo ta nto,
las circunferencias C 1 y C 2 no se intersecta n.
C 1: x  y  2 x  2 y  2  0
2
2
 x  1   y  1  2
2
ó
2
2
C entro en 1,1  y radio igual a 2
C 2 : x  y  10 x  6 y  33  0
2
C entro en
2
  5, 3 
ó
y radio igual a 1
 x  5
2
  y  3  1
2
E jercicio 1 8 , g ru p o 1 7 , cap ítu lo IV , p ág in a 1 1 9 .
1 8 . D em o strar q u e las circu n feren cias
C 1: x  y  2 x  2 y  2  0
2
2
y
C 2: x  y  10 x  6 y  33  0
2
2
n o se co rta n .
D em o strar q u e p ara k   2 el elem en to co rresp o n d ien te d e
l a fam ilia C 1 + k C 2  0 es u n a circu n feren cia q u e n o co rta a
n i n g u n a d e las d o s circu n feren c ias C 1 y C 2 y cu yo cen tro
es tá so b re la recta d e lo s cen tro s d e C 1 y C 2 .
D em u est rese t am b ién q u e n o ex iste n in g u n a cir cu n feren cia
real si k to m a u n o cu alq u iera d e lo s valo res 1 , 2 , 3 .
H allen se o tro s valo res d e k p ara lo s cu al es n o ex ista
u n a circu n feren cia real.
H acem o s k   2 en la ecu ació n d e la fam ilia
x  y  2 x  2 y  2  2  x  y  10 x  6 y  33   0
2
2
2
2
 x  y  22 x  10 y  68  0
2
2
x  y  22 x  10 y  68  0
2
2
x  22 x  y  10 y   68
2
2
x  22 x  121  y  10 y  25   68  121  25
2
 x  11 
C entro
2
2
  y  5   78
  11, 5 
2
R adio 
78
C 1: x  y  2 x  2 y  2  0
2
2
 x  1   y  1  2
2
ó
2
2
C en tro en  1,1  y rad io ig u al a 2
C 2: x  y  10 x  6 y  33  0
2
C en tro en
2
  5, 3 
2
C en tro en
 x  5
  y  3  1
2
y rad io ig u al a 1
x  y  22 x  10 y  68  0
2
ó
2
  1 1, 5 
ó
y rad io ig u al a
 x  11
78
2
  y  5   78
2
C 1: x  y  2 x  2 y  2  0
2
2
 x  1 
2
ó
 y  1  2
2
2
C en tro en  1,1  y rad io ig u al a 2
x  y  22 x  10 y  68  0
2
2
C en tro en
d 

  1 1, 5 
y rad io ig u al a
1    1 1     1  5  
2
12  16 
2
4 10  2 
 x  11
ó
144  16 
2

 y  5
78
1  1 1 
160 
2
2
  4  
2
16  10  4 10
78
es d ecir, d  r1  r2
y las circu n feren cias n o se in tersectan
2
 78
C 2: x  y  10 x  6 y  33  0
2
C en tro en
2
  5, 3 
2
C en tro en

  1 1, 5 
  5    1 1     3  5  
6  16 
2
2 13  1 
2
 x  1 1
ó
y rad io ig u al a
2
d 
 x  5   y  3  1
2
y rad io ig u al a 1
x  y  22 x  10 y  68  0
2
ó
2
36  16 
52 
2
  y  5   78
2
7 8  8 .8 3 1 8
  5  1 1    2  
2
2
4  1 3  2 1 3  7 .2 1 1 1
78
7 .2 1 1 1  1  8 .8 3 1 8  9 .8 3 1 8
es d ecir, d  r1  r2
r2  r1  1 
78 
7 8  1  8 .8 3 1 8  1  7 .8 3 1 8  7 .2 1 1 1
r2  r1  d
y las circu n feren cias n o se in tersectan
E jercicio 1 8 , g ru p o 1 7 , cap ítu lo IV , p ág in a 1 1 9 .
1 8 . D em o strar q u e las circu n feren cias
C 1: x  y  2 x  2 y  2  0
2
2
y
C 2: x  y  10 x  6 y  33  0
2
2
n o se co rtan .
D em o strar q u e p ara k   2 el elem en to co rresp o n d ien te d e
la fam ilia C 1 + k C 2  0 es u n a circu n feren cia q u e n o co rta a
n i n g u n a d e las d o s circu n feren cias C 1 y C 2 y cu yo cen tro
es tá so b re la recta d e lo s cen tro s d e C 1 y C 2 .
D em u estrese tam b ién q u e n o ex iste n in g u n a cir cu n feren cia
real si k to m a u n o cu alq u iera d e lo s valo res 1 , 2 , 3 .
H allen se o tro s valo res d e k p ara lo s cu al es n o ex ista
u n a circu n feren cia real.
C 1: x  y  2 x  2 y  2  0
2
2
 x  1   y  1  2
2
ó
2
2
C en tro en  1,1  y rad io ig u al a 2
C 2: x  y  10 x  6 y  33  0
2
C en tro en
2
  5, 3 
2
C en tro en
 x  5
  y  3  1
2
y rad io ig u al a 1
x  y  22 x  10 y  68  0
2
ó
2
  1 1, 5 
ó
y rad io ig u al a
 x  11
78
2
  y  5   78
2
La recta que pasa por dos puntos dados
P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y 2 ) tiene por ecuación :
y  y1 
y1  y 2
x1  x 2
x 
siem pre que x1  x 2
x1 
C 1: x  y  2 x  2 y  2  0
2
2
 x  1
ó
2
  y  1  2
2
2
C en tro en 1,1  y rad io ig u al a 2
C 2: x  y  10 x  6 y  33  0
2
2
C en tro en
y 1
y 1
1 3
1   5 
2
6
y 1 
1
3
y  
1
3
  5, 3 
x
 x  1
4
3
y rad io ig u al a 1
 x  1
 x  1
ó
 x  5
2
  y  3  1
2
 x  y  22 x  10 y  68  0
2
2
C entro en
 y
1
3
x
  11, 5 
5
3
5
y radio igual a
  y  5   78
78
3
1
4
3
3

 x  11 
4
 5      11  
11
ó
2
4
3
15
3
55
E l centro está en la línea recta que une los centros.
2
E jercicio 1 8 , g ru p o 1 7 , cap ítu lo IV , p ág in a 1 1 9 .
1 8 . D em o strar q u e las circu n feren cias
C 1: x  y  2 x  2 y  2  0
2
2
y
C 2: x  y  10 x  6 y  33  0
2
2
n o se co rtan .
D em o strar q u e p ara k   2 el elem en to co rresp o n d ien te d e
la fam ilia C 1 + k C 2  0 es u n a circu n feren cia q u e n o co rta a
n in g u n a d e las d o s circu n feren cias C 1 y C 2 y cu yo cen tro
está so b re la recta d e lo s cen tro s d e C 1 y C 2 .
D em u estrese tam b ién q u e n o ex iste n in g u n a c ir cu n feren cia
rea l si k to m a u n o cu alq u iera d e lo s valo res 1 , 2 , 3 .
H allen se o tro s valo res d e k p ara lo s cu ales n o ex ista
u n a circu n feren cia real .
x  y  2 x  2 y  2  1  x  y  10 x  6 y  33   0
2
2
2
2
2 x  2 y  8 x  8 y  31  0
2
2
x  y  4x  4 y  
2
2
31
2
x  4x  y  4 y  
2
2
31
2
x  4x  4  y  4 y  4  
2
2
31
44
2
 x  2
com o
2
  y  2  
2

15
2
15
2
es im aginario la circunferencia no existe
x  y  2 x  2 y  2  2  x  y  10 x  6 y  33   0
2
2
2
2
3 x  3 y  18 x  14 y  64  0
2
2
x  y  6x 
2
2
14
y   64
3
x  6x  y 
2
2
14
y   64
3
x  6x  9  y 
2
2
14
3
y
49
9
  64  9 
49
9
2
 x  3
com o
2
7
446

y  
3
9


446
9
es im aginario la circunferencia no existe
x  y  2 x  2 y  2  3  x  y  10 x  6 y  33   0
2
2
2
2
4 x  4 y  28 x  20 y  97  0
2
2
x  y  7x  5y  
2
2
97
4
x  7x  y  5y  
2
2
97
4
2
2
2
97  7 
7
5
5
2
x  7x     y  5y     
   
4
2
2
2
2
2
2
2
2
7
5
97 49 25  97  49  25
33






x  y   
2
2
4
4
4
4
4


c om o

33
4
es im aginario la circunferencia no exis te
E jercicio 1 8 , g ru p o 1 7 , cap ítu lo IV , p ág in a 1 1 9 .
1 8 . D em o strar q u e las circu n feren cias
C 1: x  y  2 x  2 y  2  0
2
2
y
C 2: x  y  10 x  6 y  33  0
2
2
n o se co rtan .
D em o strar q u e p ara k   2 el elem en to co rresp o n d ien te d e
la fam ilia C 1 + k C 2  0 es u n a circu n feren cia q u e n o co rta a
n in g u n a d e las d o s circu n feren cias C 1 y C 2 y cu yo cen tro
está so b re la recta d e lo s cen tro s d e C 1 y C 2 .
D em u estrese tam b ién q u e n o ex iste n in g u n a cir cu n feren cia
rea l si k to m a u n o cu alq u iera d e lo s valo res 1 , 2 , 3 .
H allen se o tro s valo res d e k p ara lo s cu ales n o ex ista
u n a circu n feren cia real .
x  y  2 x  2 y  2  k  x  y  10 x  6 y  33   0
2
2
2
2
1  k  x  1  k  y  10 k  2  x    6 k  2  y  33 k  2  0
2
x  y 
2
2
x 
2
x 
2
2
10 k  2
k 1
10 k  2
k 1
x
x y 
2
6k  2
k 1
6k  2
k 1
y 
y
33 k  2
k 1
33 k  2
k 1
2
10 k  2
2
6k  2
 1 10 k  2 
 1 6 k  2 
2
x
y
  y 
 
k 1
k 1
 2 k 1 
 2 k 1 
33k  2
2
 1 10 k  2 
 1 6k  2 


 

k 1
2
k

1
2
k

1




2
2
33 k  2
2
 1 10 k  2 
 1 6 k  2 


 
 
k 1
 2 k 1 
 2 k 1 
 4  k  1   33 k  2   10 k  2     6 k  2 
2

4  k  1
2
2
2
 132 k  8 k  132 k  8  100 k  40 k  4  36 k  24 k  4
2
4  k  1
4 k  140 k  16
2

2
4  k  1
2


 4  33 k  2 k  33 k  2   100 k  40 k  4  36 k  24 k  4
2

2
4  k  1
2
k  35 k  4
2

k
 1
2

2
2

k  35 k  4  0
2
y
4 000
3 000
2 000
1 000
35

2
-50
1209
 0.115
35
2
-40

1209
2
-30
-20
-10
10
20
30
40
50
 34.885
2
60
70
80
x
k  35 k  4  0
2
P ara todos los valores de k en el interva lo
 35


 2
1209 35
,

2
2
1209 
   0.115, 34.885 
2

las circunferencias de la fam ilia no existen.
P ara todos los valores de k fuera del intervalo
 35


 2
1209 35
,

2
2
1209 
   0.115, 34.885 
2

las circunferencias de la fam ilia existe n .
E jercicio 1 8 , g ru p o 1 7 , cap ítu lo IV , p ág in a 1 1 9 .
1 8 . D em o strar q u e las circu n feren cias
C 1: x  y  2 x  2 y  2  0
2
2
y
C 2: x  y  10 x  6 y  33  0
2
2
n o se co rtan .
D em o strar q u e p ara k   2 el elem en to co rresp o n d ien te d e
la fam ilia C 1 + k C 2  0 es u n a circu n feren cia q u e n o co rta a
n in g u n a d e las d o s circu n feren cias C 1 y C 2 y cu yo cen tro
está so b re la recta d e lo s cen tro s d e C 1 y C 2 .
D em u estrese tam b ién q u e n o ex iste n in g u n a cir cu n feren cia
real si k to m a u n o cu alq u iera d e lo s valo res 1 , 2 , 3 .
H allen se o tro s valo res d e k p ara lo s cu al es n o ex ista
u n a circu n feren cia real.
Y a vim os que la ecuación de la fam ilia d e circunferencias
x  y  D1 x  E 1 y  F1  k  x  y  D 2 x  E 2 y  F 2   0
2
2
2
2
se puede escribir tam bién com o
 k  1  x   k  1  y   D1  kD 2  x   E 1  kE 2  y  F1  kF2  0
2
2
T eorem a:
La fam ilia de circunferencias
k
 1  x   k  1  y   D 1  kD 2  x   E 1  kE 2  y  F1  kF 2  0
2
2
tiene su centro en
 ( D1  kD 2 )  E 1  kE 2  
,
 

2  k  1
2  k  1 

La fam ilia de circunferencias tiene la e cuación
k
 1  x   k  1  y   D 1  kD 2  x   E 1  kE 2  y  F1  kF 2  0
2
2
P or tanto,
 k  1 x
2

k 1
x  y 
2
x 
2
2
 k  1 y
2

k 1
 D1  kD 2  x
k 1
 D1  kD 2  x
k 1

 y 
2
 D1  kD 2  x
k 1
 E 1  kE 2  y
k 1
 E 1  kE 2  y
k 1


 E 1  kE 2  y
k 1
F1  kF

k 1
0
F1  kF
k 1

F1  kF
k 1
0
x 
2
x 
2
 D1 
k 1
 D1 
 
kD 2  x
k 1
y 
2
kD 2  x
 E1 
k 1
 E1 
kE 2  y
k 1
 
F1  kF
k 1
2
 ( D1  kD 2 ) 
 
 
 2  k  1  
kE 2  y
k 1
F1  kF
 y 
2
2
  E 1  kE 2  
 
 
 2  k  1  
2
 ( D 1  kD 2 ) 
  E 1  kE 2  
 
  

 2  k  1  
 2  k  1  
2
x 
2
 
 D1  kD 2  x
k 1
F1  kF
k 1
2
 ( D1  kD 2 ) 
2
 
  y 
 2  k  1  
2
 E 1  kE 2  y
 ( D1  kD 2 ) 
  E 1  kE 2  
 
  

2
k

1
2
k

1

   
 

k 1
2
  E 1  kE 2  
 
 
 2  k  1  
2
2
2


 E1  kE 2  
( D1  kD 2 ) 
x 
  y 
 
2  k  1  
2  k  1  



F1  kF
k 1
2
 ( D1  kD 2 ) 
  E 1  kE 2  

 

 2  k  1  
 2  k  1  
2
T eorem a:
La fam ilia de circunferencias
k
 1  x   k  1  y   D 1  kD 2  x   E 1  kE 2  y  F1  kF 2  0
2
2
tiene su centro en
 ( D1  kD 2 )  E 1  kE 2  
,
 

2  k  1
2  k  1 

S ean dos circunferencias no concéntricas
x  y  D1 x  E 1 y  F1  0
2
2
y
x  y  D 2 x  E 2 y  F2  0
2
2
S us centros C tro1 y C tro 2 son:
E1 
 D1
C tro1  
,

2
2


y
E2 
 D2
C tro 2  
,

2
2


respectivam ente .
La recta que pasa por los centros d e dos circunferencias
no concéntricas se llam a recta de los centros .
La recta que pasa por los centros de dos circunferencias no concéntricas
se llam a recta de los centros.
E1 
 D1
Los centros C 1 y C 2 son: C tro1  
,

2
2 

y
E2 
 D2
C tro 2  
,

2
2 

L a ecu ació n d e la recta q u e co n tien e a l o s d o s
E1 
E2 
 D1
 D2
cen tro s C tro1  
,
,
 y C tro 2  
 es:
2
2 
2
2 



E1

E2
D1 

2
y 

x


D2 
2
2 


2
2
E1
2
D1
E 1   D1
D 2   E1
E2  
D1 



y 
 
  
 x 

2 
2
2  
2
2 
2 

La recta que pasa por los centros de dos circunferencias no concéntricas
se llam a recta de los centros.
E 
 D
Los centros C 1 y C 2 son: C tro1   1 ,  1 
2
2 

y
E 
 D
C tro 2   2 ,  2 
2
2 

E 1   D1
D 2   E1
E2  
D1 



y
 
  
 x 

2
2
2
2
2
2


 


D esarro llan d o la
E 
D 
E
 E
 D
 1  2 x   1  2  y  1
2 
2 
2
 2
 2
D 2  D1
 D1




2 
2
 2
E2 
 E1



0
2 
 2
que da
2  E 1  E 2  x  2  D1  D 2  y  E 1 D 1  E 1 D 2  D 1 E 1  D1 E 2  0
y fin alm en te
2  E 1  E 2  x  2  D1  D 2  y  D 2 E 1  D1 E 2  0
S ean d o s circu n feren cias n o co n cén tricas
x  y  D 1 x  E 1 y  F1  0
2
2
y
x  y  D 1 x  E 1 y  F1  0
2
2
E1 
 D1
S u s cen tro s so n :  
,

2
2


y
E2 
 D2
,


2
2


resp ectivam en te.
L a recta q u e p asa p o r lo s cen tro s d e d o s circu n feren cias
n o co n cén tricas se llam a recta d e lo s ce n tro s .
L a ecu ació n d e d ich a recta e s:
2  E 1  E 2  x  2  D1  D 2  y  D 2 E 1  D1 E 2  0
T eorem a:
La fam ilia de circunferencias
k
 1  x   k  1  y   D 1  kD 2  x   E 1  kE 2  y  F1  kF 2  0
2
2
tiene su centro en
 ( D1  kD 2 )  E 1  kE 2  
,
 

2  k  1
2  k  1 

La recta que pasa por los centros de dos circunferencias
no concéntricas se llam a recta de los centros .
La ecuación de dicha recta es: 2  E 1  E 2  x  2  D 1  D 2  y  D 2 E 1  D 1 E 2  0
L a ecuación
2  E 1  E 2  x  2  D1  D 2  y  D 2 E 1  D1 E 2  0
se satisface con las coordenadas
 ( D1  kD 2 )
 E 1  kE 2  
,
 

2  k  1
2  k  1 

del centro de cualquier circunferencia d efinida por la ecuación
k
 1  x   k  1  y   D 1  kD 2  x   E 1  kE 2  y  F1  kF 2  0
2
2
L a ecu ació n 2  E 1  E 2  x  2  D 1  D 2  y  D 2 E 1  D 1 E 2  0
 ( D1  kD 2 )
 E 1  kE 2 
se satisface co n las co o rd en ad as  
,

2  k  1
2  k  1




  E 1  kE 2  
 ( D1  kD 2 ) 
2  E1  E 2   
  D 2 E 1  D1 E 2  0
  2  D1  D 2   
2  k  1  
2  k  1  



( D1  kD 2 )  E 1  E 2 
k 1

 D1  D 2   E 1  kE 2 
k 1
 D 2 E 1  D1 E 2  0
 D1 E 1  D1 E 2  kD 2 E 1  kD 2 E 2  D1 E 1  kD 1 E 2  D 2 E 1  kD 2 E 2
k 1
 D1 E 1  D1 E 2  kD 2 E 1  kD 2 E 2  D1 E 1  k D1 E 2  D 2 E 1  kD 2 E 2
k 1
kD1 E 2  D1 E 2  kD 2 E 1  D 2 E 1
k 1
 D 2 E 1  D1 E 2  0
 D 2 E 1  D1 E 2  0
 D 2 E 1  D1 E 2  0
L a ecu ació n 2  E 1  E 2  x  2  D 1  D 2  y  D 2 E 1  D 1 E 2  0
 ( D1  kD 2 )
 E 1  kE 2 
se satisface co n las co o rd en ad as  
,

2  k  1
2  k  1

kD1 E 2  D1 E 2  kD 2 E 1  D 2 E 1
k 1
k
 1  D1 E 2   k  1  D 2 E 1
k 1
k
 1  D1 E 2
k 1

k
 1  D 2 E1
k 1



 D 2 E 1  D1 E 2  0
 D 2 E 1  D1 E 2  0
 D 2 E 1  D1 E 2  0
D1 E 2  D 2 E 1  D 2 E 1  D1 E 2  0
La fam ilia de circunferencias
x  y  D1 x  E 1 y  F1  k  x  y  D 2 x  E 2 y  F 2   0
2
2
2
2
ó bien
k
 1  x   k  1  y   D1  kD 2  x   E 1  kE 2  y  F1  kF 2  0
2
2
tienes sus centros en la recta de los ce ntros
2  E 1  E 2  x  2  D1  D 2  y  D 2 E 1  D1 E 2  0
S ean dos circunferencias diferentes con ecuaciones,
C1 :
x  y  D1 x  E 1 y  F1  0
C2 :
x  y  D 2 x  E 2 y  F2  0
2
2
2
2
A partir de estas ecuaciones form am os la ecuación:
x  y  D1 x  E 1 y  F1  k  x  y  D 2 x  E 2 y  F 2   0
2
2
2
2
que es una fam ilia de circunferencias para todos los
valores de k , excepto k   1.
Y a vim o s q u e p ara
k  1
la ecu ació n
x  y  D 1 x  E 1 y  F1  k  x  y  D 2 x  E 2 y  F 2   0
2
2
2
2
se red u ce a
 D1 
D 2  x   E 1  E 2  y  F1  F2  0
S i C 1 y C 2 n o so n co n cén tricas se verificará q u e
D 1  D 2 o E 1  E 2 o am b as, d e m an era q u e p o r lo
m e n o s u n o d e lo s c o eficien tes d e x e y será
d iferen te d e cero , y la ecu ació n rep r esen ta
en to n ces u n a lín ea recta llam ad a eje rad ical d e C 1 y C 2 .
S i C 1 y C 2 se cortan en dos puntos diferentes,
tenem os lo que ya discutim os, el eje rad ical
pasa por estos 2 puntos y, por tanto, co incide
con la cuerda com ún.
y
Eje Radical
P1
P2
x
Recta de los
centros
1  k  x  1  k  y   D1  kD 2  x   E1  kE 2  y  F1  kF2  0
2
2
k  1
2
  y  2  5
2
 x  1
 x  2
  y  1  3
2
2
2
2
S i C 1 y C 2 so n tan g en tes en tre sí,
su eje rad ical es la tan g en te co m ú n
a am b as circu n feren cias.
y
Eje Radical
Recta de los
centros
x
1  k  x  1  k  y   D1  kD 2  x   E1  kE 2  y  F1  kF2  0
2
2
k  1
2
 x  1
  y  3  3
 x  2
  y  1  2
2
2
2
2
2
S i C 1 y C 2 N O se cortan, el eje radical no t iene ningún
punto com ún con ninguna de las 2 circunferencias.
y
Recta de los centros
x
Eje Radical
1  k  x  1  k  y   D1  kD 2  x   E1  kE 2  y  F1  kF2  0
2
2
k  1
x   y  2
2
 x  1
2
2
1
 
2
  y  3
2
2
 7 
 
 10 
2
El eje radical de dos circunferencias cu alesquiera
es perpendicular a la recta de sus centros.
y
Recta de los
centros
x
Eje Radical
E l eje radical de dos circunferencias cu alesquiera
es perpendicular a la recta de sus centros.
La ecuación de recta de los centros es :
2  E 1  E 2  x  2  D1  D 2  y  D 2 E 1  D1 E 2  0
S u pendiente es:
E1  E 2
D1  D 2
, si D1  D 2
La ecuación del eje radical es:
 D1  D 2  x   E 1  E 2  y 
S u pendiente es: 
F1  F2  0
D1  D 2
E1  E 2
, si E 1  E 2
E l eje radical de dos circunferencias cu alesquiera
es perpendicular a la recta de sus centros.
L a pendiente de la recta de los centros es:
L a pendiente del eje radical es: 
D1  D 2
E1  E 2
E1  E 2
D1  D 2
, si E 1  E 2
P or tanto, el prod ucto de sus pendientes es  1,
E1  E 2
D1  D 2

D1  D 2
E1  E 2
  1,
y la s rectas son perpendiculares.
, si D1  D 2
E l eje radical de dos circunferencias cu alesquiera
es perpendicular a la recta de sus centros.
S i D1  D 2 la ecuación del eje radical es:
 E 1  E 2  y  F1  F2
0
es decir, el eje radical es paralelo al eje X .
E n este caso tam bién, la ecuación de la recta de los centros es:
2  E 1  E 2  x  D 2 E 1  D1 E 2  0
es decir, la rect a de los centros es paralela al eje Y .
P or lo tanto, cuando D1  D 2 tam bién son perpen diculares el eje
radical y la recta de los centros.
E l eje radical de dos circunferencias cu alesquiera
es perpendicular a la recta de sus centros.
S i E 1  E 2 la ecuación del eje radical es:
 D1  D 2  x 
F1  F2  0
es decir, el eje radical es paralelo al eje Y .
E n este caso tam bién, la ecuación de la recta de los centros es:
 2  D1  D 2  y  D 2 E 1  D1 E 2  0
es decir, la rec ta de los centros es paralela al eje X .
P or lo tanto, cuando E 1  E 2 tam bién son perpen diculares el eje
radical y la recta de los centros.
El eje radical de dos circunferencias cu alesquiera
es perpendicular a la recta de sus centros.
y
Recta de los
centros
x
Eje Radical
D em ostrarem os ahora que:
E l eje radical de dos circunferencias no
concéntricas es el lugar geom étrico de
un punto que se m ueve de tal m anera
que las longitudes de las tangentes
trazadas desde él a las dos
circunferencias son iguales.
E l eje radical de dos circunferencias no concéntricas es el
lugar geom étrico de un punto que se m ueve de tal m anera
que las longitudes de las tangentes trazadas desde él a las
dos circunferencias son igu ales.
P ara dem ostrar esto es necesario
dem ostrar prim ero el siguiente
teorem a:
T eorem a 5. S i t es la longitud de la tang ente
trazada del punto exterior P1 ( x1 , y1 ) a la circ unferencia
x  h
t 
2
  y  k   r , entonces
 x1  h 
2
2
2
  y1  k   r
2
2
T eo rem a 5 . S i t es la lo n g itu d d e la tan g en te
trazad a d el p u n to ex terio r P1 ( x1 , y1 ) a la circ u n feren cia
x  h 
2
t 

y  k   r , en to n ces
 x1  h 
2
2

2
 y1  k 
2
r
2
N O T A . E videntem ente,
se pueden trazar dos
tangentes del punto P1
al círculo, pero sus
longitudes son iguales.
E jem plo : H allar la longitud de la tangen te
trazada del punto P1   3, 2  a la circunferencia
9 x  9 y  30 x  18 y  2  0
2
2
T eo rem a 5 . S i t es la lo n g itu d d e la tan g en te
trazad a d el p u n to ex terio r P1 ( x1 , y1 ) a la
circu n feren cia
t 
 x1  h 
2
x  h
2
  y  k   r , en to n ces
2
  y1  k   r
2
2
2
D ividiendo entre 9 tenem os :
x  y 
2
2
10
x  2y 
3
2
0
9
S ustituyendo x por  3 y y por 2
en el prim er m iem bro de esta
ecuación obtenem os :
t   3   2  
2
2
t 
169
9
2

13
3
10
3
 3  2  2  
2
9

169
9
U tilizando el teorem a 5, ya podem os dem o strar
que el eje radical de dos circunferencia s no
concéntricas es el lugar geom étrico de u n punto
que se m ueve de tal m anera que las long itudes
de las tangentes trazadas desde él a las dos
circunferencias son iguales.
S ean dos circunfencias no concéntricas d adas por las
ecuaciones
C 1 : x  y  D1 x  E 1 y  F1  0
2
2
C 2 : x  y  D 2 x  E 2 y  F2  0
2
2
S ea P  x , y  el punto m óvil y sean t1 y t 2 , las
longitudes de las tangentes trazadas de P  x , y 
a C 1 y C 2 . E ntonces , por el teorem a 5,
t1  x  y  D1 x  E 1 y  F1
2
2
2
t  x  y  D 2 x  E 2 y  F2
2
2
2
2
t  x  y  D1 x  E 1 y  F1
2
1
2
2
t 2  x  y  D 2 x  E 2 y  F2
2
2
2
P or hipótesis t1  t 2 , así que
x  y  D1 x  E 1 y  F1  x  y  D 2 x  E 2 y  F2
2
2
2
2
ó bien
 D1  D 2  x   E 1  E 2  y 
F1  F2  0
que es la ecuación del eje radical de la s
circunferencia s C 1 y C 2 .
P odem os dem ostrar, reciprocam ente,
que si P1 ( x1 , y1 ) es un punto que está
sobre el eje radical, las longitudes de
las tangentes trazadas de P1 ( x1 , y1 ) a
C 1 y C 2 son iguales.
2
2
f1 := ( x , y ) x  y  1
S ean las tres
circunferencias:
2
2
f2 := ( x , y ) ( x  2 )  ( y  2 )  2
2
2
f3 := ( x , y ) ( x  1 )  ( y  2 )  4
La ecuación del eje radical es:
 D1  D 2  x   E 1  E 2  y 
F1  F2  0
r1 := ( x , y ) 4 x  4 y  7
Las ecuaciones de
los ejes radicales son:
r2 := ( x , y )  2 x  4 y  1
r3 := ( x , y )  6 x  6
L a tangente a una curva en un punto dado es
una línea recta; la pendiente de esa lín ea recta
nos dice que tan rápido está cam biando l a
curva en ese punto.
P or eso es im portante la línea tangent e:
S u p endiente nos da la razón
de cam bio de la curva .
Ilustración y repetición de todo lo anterior
con una animación de Maple
f ( x, y )  0
(1)
f ( x, y )  0
(1)
y  mx  k
(4)
f ( x, y )  0
(1)
y  mx  k
(4)
ax  bx  c  0
2
a  0
(5)
f ( x, y )  0
(1)
y  mx  k
(4)
f ( x, y )  0
(1)
y  mx  k
(4)
ax  bx  c  0
2
a  0
(5)
f ( x, y )  0
(1)
y  mx  k
(4)
Longitud de
la tangente
Longitud de
la norm al
S ubtangente
S u b n o rm al
E n el trián g u lo  T Q P1 ,
ten em o s
tan   m 
y1
TQ
D esp ejan d o T Q ,
q u e es la su b tan g en te,
ten em o s
TQ 
y1
m
E n el trián g u lo  Q N P1 ,
ten em o s
tan   m 
QN
y1
D esp ejan d o Q N ,
q u e es la su b n o rm al,
ten em o s
Q N  m y1
E n el trián g u lo  T Q P1 ,
ten em o s
2
TQ
 y   L o n g T an g 
2
1
y1
p ero T Q 
m
m
 0,
así q u e
2
L o n g T an g 
y1
m

y1
m
1 m
2
2
 y1 
2
2
E n el trián g u lo  Q N P1 ,
ten em o s
2
QN
 y   L o n g N o rm al 
2
1
2
p ero Q N  m y1
así q u e
L o n g N o rm al 
 y1 1  m
2
m y1  y1 
2
2
2
S i se verifica q u e m m '   1, d e tal m an era q u e
am b o s án g u lo s sean recto s, se d ice q u e las
cu rvas so n o rto g o n ales en tr e si .
T am b ien , si cad a elem en to d e u n a fam ilia d e
cu rvas es o rto g o n al a cad a u n o d e lo s elem en to s
d e u n a seg u n d a fam ilia, las cu rvas d e cu alq u iera
d e las d o s fam ilias se llam an las trayecto rias
o rto g o n ales d e las cu rvas d e la o tra f am ilia .
E l p ro b lem a d e la o rto g o n alid ad es d e co n sid era b le
im p o rtan cia en la M atem ática S u p erio r y en la F ísica.
L a d eterm in ació n d e la ecu ació n d e u n a
tan g en te a u n a circu n feren cia se sim p lifica
co n sid erab lem en te p o r la p ro p ied ad d e la
circ u n feren cia, q u e d ice: la tan g e n te a u n a
circu n feren cia es p erp en d icu lar al r ad io
trazad o al p u n to d e co n tacto .
E n esta secció n d eterm in arem o s la ecu ació n
d e la tan g en te a u n a circu n feren cia sin u sar
esta p ro p icd ad p articu lar ; lo h arem o s p o r el
m éto d o g en eral recien d iscu t id o .
1) H allar la ecuación de la tangente a u na circunferencia dada
en un punto dado de contacto
2) H allar la ecuación de la tangente a u na circunferencia dada
y que tiene una pendiente dada
3) H allar la ecuación de la tangente a una circunferencia dada
y que pasa por un punto exterior dad o.
P ara obtener la tangente a una circunferencia
se sustituye la ecuación de la recta
y  mx  k
en la ecuación de la circunferencia
x  y  Dx  Ey  F  0
2
2
obteniendose
x  (m x  k )  D x  E (m x  k )  F  0
2
2
ó bien
 m  1 x   2 m k  D  E m  x  k  E k  F  0
2
2
2
L a ecuación que resulta
m
2
 1 x   2 m k  D  E m  x  k  E k  F  0
2
2
es de segundo grado y las raíces que se obtienen
son de tres tipos:
1) R eales e iguales, si la recta es la tangente a la
circunferencia  el discrim inante se hace cero 
2) R eales y desiguales, si la recta es u na secante
a la circunferencia
3) C om plejas si la recta y la circunfere ncia no se
cortan
E jercicio 1 del grupo de ejercicios 18,
página 127.
E jem plo: H allar la ecuación de
la tangente a la circunferencia
x  y  2x  6 y  3  0
2
2
en el punto
  1, 6  .
Ejem plo: H allar la ecuación de la tangen te a la circunferencia
x  y  2x  6 y  3  0
2
2
en el punto
  1, 6  .
S olución: La ecuación de la fam ilia de rectas que pasa por el
punto
  1, 6 
es:
y  6  m  x  1 ,
en donde el parám etro m es la pendiente d e la tangente buscada.
D espejando en la ecuación de la recta y
y sustitu yendo en la
ecuación de la circunferencia
x  y  2x  6 y  3  0
2
2
obtenem os
x  mx  m  6  2x  6 mx  m  6  3  0
2
2
E jem plo: H allar la ecuación de la tangen te a la circunferencia
x  y  2x  6 y  3  0
2
2
en el punto
  1, 6  .
x  mx  m  6  2x  6 mx  m  6  3  0
2
2
que se reduce a
x  m x  m  36  2 m x  12 m x  12 m  2 x  6 m x  6 m  36  3  0
2
2
2
2
2
ó finalm ente
 m  1 x   2 m  6 m  2  x  m  6 m  3  0
2
2
2
2
P ara que la ecuación de segundo grado
 m  1 x   2 m  6 m  2  x  m  6 m  3  0
2
2
2
2
tenga una única solución y sea real, deb em os tener
 2 m  6 m  2   4  m  1  m  6 m  3   0
2
2
2
2
D esarrollando el prim er m iem bro de la ec uación,
4 m  36 m  4  24 m  8 m  24 m  4 m 
4
2
3
2
 24 m  12 m  4 m  24 m  12  0
3
2
2
4
4 m  36 m  4  24 m  8 m  24 m  4 m 
4
2
3
2
 24 m  12 m  4 m  24 m  12  0
3
2
2
R educiendo los térm inos sem ejantes
36 m  48 m  16  0
2
y factorizando el 4,
9 m  12 m  4  0
2
cuya solución única es
m 
2
3
4
L a fam ilia d e rectas q u e p asa p o r el p u n to
  1, 6 
es:
y  6  m  x  1 ,
y en co n tram o s q u e la p en d ien te es
m 
2
3
así q u e la ecu ació n d e la tan g en te es y  6 
2
3
q u e se red u ce a
y 
2
3
x
20
3
ó
2 x  3 y  20  0
 x  1
E jem p lo : H allar la ecu ació n d e
la tan g en te a la circu n feren cia
x  y  2x  6 y  3  0
2
2
en el p u n to
  1, 6  .
L a ecuación de la tangent e es
y 
2
3
x
20
3
ó
2 x  3 y  20  0
E jem p lo : H allar la ecu ació n d e
la tan g en te a la circu n feren cia
x  y  2x  6 y  3  0
2
2
en el p u n to
  1, 6  .
La ecuación de la tangent e es
y 
2
3
x
20
3
ó
2 x  3 y  20  0
L a dem ostración analítica de cualquier t eorem a
sobre la circunferencia se efectúa sigui endo el
procedim iento general. M ientras el teore m a no
se particularice, debe colocarse la circ unferencia
con su centr o en el origen, para usar la ecuación
m ás sim ple de la circunferencia, la ecua ción
canonica:
x  y  r
2
2
2
C o n lo s resu ltad o s o b ten id o s en este cap ítu lo
es p o sib le d em o strar m u y fácilm en te m u ch o s
teo rem as d e la G eo m etría elem en tal p o r lo s
m éto d o s d e la G eo m etria an alitica.
S e co m p ren d erá el alcan ce d e la G eo m e tría
an alítica co m p aran d o la d em o stració n an a litica
d e u n teo rem a co n la d em o stració n d el m i sm o
teo rem a d ad a en G eo m etria elem en tal.
E n relación con la dem ostración analític a de
un teorem a, son necesarias ciertas preca uciones.
C om o en la dem ostración se em plea un sis tem a
coordenado , es m uy útil construir la fi gura de
m anera que se fac ilite la dem ostración.
U na figura debe colocarse siem pre
en la posición m ás sim ple; es decir,
en una posición tal que las
coordenadas de los puntos de la
figura sim plifiquen lo m ás posible
los cálculos algebraicos.
P or ejem plo, en un
teorem a relativo a un
triángulo cualquiera,
la figura puede suponerse
tal com o se indica en la
figura 17(a), teniendo los
vertices las coordenadas
que se indican.
P ero es m ás sencillo suponer el triángulo en la posición
indicada en la figura 17(b); en efecto, para esta posición
solam ente tenem os tres cantidades, a , b y c que considerar,
m ientras que si
consideram o s el
triángulo dado en la
figura 17(a) serán
seis las cantidades
que entrarán en
nuestros cálculos.
U na posición análoga a la dada en la fig ura 17(b)
es aquella en que ningún vértice está en el origen,
pero un vértice está sobre uno de los ejes
coordenados y los otros dos están sobre el otro
eje coordenado.
P o r afán d e sim p lificació n n o
se d eb e caer, sin em b arg o , en
el ex trem o o p u esto y situ ar la
fig u ra d e tal m an era q u e el
teo rem a q u ed e restrin g id o .
P o r ejem p lo , las co o rd en ad as p ara lo s v ertices d el
trián g u lo d e la fig u ra 1 7 (c) co n tien en s o lam en te d o s
can tid ad es a y b ,
p ero está fig u ra es el caso
esp ecial d e u n trián g u lo
rectán g u lo y n o servirá
p ara l a d em o stració n d e
u n teo rem a relativo a
u n trián g u lo cu alq u iera.
P ara todas las variables
se deben usar letras,
sim bolos, no se deben
usar núm eros concretos.
C om o prim er paso en la dem ostración
analítica de un teorem a , se debe dibuja r
un sistem a de ejes coordenados y, despue s,
colocar la figura en una de las posicion es
m ás sim ples, sin particularizar el teore m a,
tal com o se explicó en el párrafo anterior.
A continuación todos los puntos com prend idos
por el teorem a deberán designarse por
coordenadas apropiadas m arcadas sobre la figura.
E l procedim iento a seguir después de esto
depende de la propiedad o prop iedades particulares
que van a dernostrarse y se com prenderá m ejor
por m edio de ejem plos.
E jem plo: D em ostrar, an alíticam en te ,
que cualquier ángulo inscrito en una
circunferencia es un ángulo recto.
E jem plo: D em ostrar, analíticam ente, que cualquier
ángulo inscrito en una circunferencia es un ángulo recto.
D em o stració n . T o m an d o la circu n feren cia co n cen tro
en el o rig en p ara ten er la ecu ació n o rd in aria d e la
circu n feren cia ten em o s:
S ea P1 ( x1 , y1 ) un punto cualquiera de la
sem icircunferencia , y sean A y B los extrem os de
su diám etro. C om o r es el radio es eviden te que las
coordenadas de A y B son:
A r,0 y B r,0 
T enem os que dem ostra r que el segm ento A P1 es
perpendicular al segm ento B P1 .
P ara d em o strar q u e el seg m en to A P1 es p erp en d icu lar
al seg m en to B P1 , ten em o s q u e en co n trar las p en d ien tes
d e A P1 y B P1 .
E s claro q u e
m AP 
1
y1  0
x1  (  r )

y1
x1  r
y que
m BP 
1
0  y1
r  x1

 y1
r  x1

y1
x1  r
así q u e
2
m AP m BP 
1
1
y1
 x1  r   x 1  r 
2

y1
x1  r
2
2
C om o P1 ( x1 , y1 ) está sobre la sem icircunferencia,
sus coordenadas ( x1 , y1 ) satisfacen la ecuaci ón
x  y r
2
x1  y 1  r
2
2
2
2
2
de donde se obtiene trivialm ente que
y 1  r  x1
2
2
2
S u stitu yen d o
y  r  x
2
1
2
2
1
en la ecu ació n
m AP m BP 
1
1
y
2
1
 x1  r   x 1  r 

y
2
1
x r
2
1
2
q u e ya h ab íam o s o b ten id o , ten em o s
m AP m BP 
1
1
y
2
1
x r
2
1
r  x
2
1
x r
2
2
2

2
1
 1
E jem p lo : D em o strar, an alíticam en te, q u e cu alq u ier
án g u lo in scrito en u n a circu n feren cia es u n án g u lo recto .
R esum iendo,
2
m AP m BP 
1
1
x r
2
1
x1  r
2
x r
2
2
y1
2
 
2
1
 1
y el segm ento A P1 es perpendicular al segm ento B P1 .
E jem p lo 2 : U n p u n to se m u eve d e tal m an e ra q u e la
su m a d e lo s cu ad rad o s d e su s d istan cias a d o s p u n to s
fijo s d ad o s es co n stan te. H allar la ecu a ció n d e su lu g ar
g eo m étrico , y d em u estre q u e es u n a circu n fe ren cia.
S o lu ció n : P ara sim p lificar se to m a al o rig en co m o u n
p u n to y el o tro p u n to sería A  a , 0 
a
 0  so b re e l
eje X , co m o se o b serva en la sig u ien te fig u ra:
S ea P  x , y  u n p u n to cu alq u iera d el lu g ar g eo m étrico .
E n to n ces P d eb e satisfacer la co n d ició n g eo m étrica
2
2
PO  PA  k
E n d o n d e k es u n n ú m ero p o sitivo .
P o r la d istan cia en tre d o s p u n to s ten em o s:
2
PO  x  y
2
2
2
PA   x  a   y
2
2
E jem p lo 2 : U n p u n to se m u eve d e tal m an e ra q u e la
su m a d e lo s cu ad rad o s d e su s d istan cias a d o s p u n to s
fijo s d ad o s es co n stan te. H allar la ecu a ció n d e su lu g ar
g eo m étrico , y d em u estre q u e es u n a circu n fe ren cia.
S o lu ció n : P ara sim p lificar se to m a al o rig en co m o u n
p u n to y el o tro p u n to sería A  a , 0 
a
 0  so b re e l
eje X , co m o se o b serva en la sig u ien te fig u ra:
S ea P  x , y  u n p u n to cu alq u iera d el lu g ar g eo m étrico .
E n to n ces P d eb e satisfacer la co n d ició n g eo m étrica
2
2
PO  PA  k
E n d o n d e k es u n n ú m ero p o sitivo .
P o r la d istan cia en tre d o s p u n to s ten em o s:
2
PO  x  y
2
2
2
PA   x  a   y
2
2
2
2
S i se su stitu ye lo an terio r en P O  P A  k n o s d a:
x  y  x  a  y  k
2
2
2
2
Q u e se red u ce a:
x  y  ax 
2
2
a
2

2
k
0
2
L a ecu ació n an terio r rep resen ta a u n a circu n feren cia
cu yo cen tro es C  a / 2, 0  y cu yo rad io tien e u n a
lo n g itu d
PC 
1
2k  a ,
2
2
k
a
2
,
2
S iem p re y cu an d o :
Si k 
a
2
, E l lu g ar g eo m étrico se red u ce a u n p u n to
2
Si k 
a
2
2
 a2 
,0 

 2

, N o ex iste n in g ú n lu g ar g eo m étrico.
Para encontrar una propiedad importante del eje
radical tomemos la siguiente figura:
P1 (x1, y1)
y
t
T
.
r
C ( h, k )
x´
x
y´
S i t es la longitud de la tangente traza d a
del punto exterior P 1( x1, y1)a la
circunferencia
x  h
2
y  k  r
2
2
entonces :
t 
 x1  h 
2
  y1  k   r
2
2
Tangente a una curva.
Y
La tangente se define como una recta que tiene un solo
punto común con la curva.
Si m es la pendiente de la
tangente a una curva plana
l´
C
continua C en el punto P1(x1, y1) ,
P1 (x1, y1)
tenemos las siguientes y  y  m  x  x ,
ecuaciones y fórmulas:

1
1
y  y1  

X´
Y´
T
1
Q
M
X
Ecuación de la tangente a C:
Ecuación de la normal a C:
Longitud de la tangente:

y1
m
m
 x  x1 ,
1 m ,
2
m 0
m 0
tan   
Longitud de la normal
 y1 1  m ,
Longitud de la subtangente:

Longitud de la subnormal.
 my 1
2
y1
,
m 0
m
Si tenemos 2 circunferencias C y C´ , se llama ángulo de dos curvas
en uno de sus puntos de intersección, a cualquiera de los 2 ángulos
suplementarios formados por las dos tangentes a las curvas en
mdicho
 m ' punto.
1  mm '
,
mm '   1
Si mm´ = - 1 , es decir ambos ángulos son rectos, entonces se
dice que las curvas son ortogonales entre sí.
E jem p lo : H allar la ecu ació n d e la tan g en te a la circu n feren cia x  y  8 x  6 y  2 0  0 en el p u n to
2
2
 3 ,5  .
La ec. de la tangente a una circunferencia dada está
perfectamente determinada cuando se conocen su
pendiente y su punto de contacto ( o algún otro de sus
puntos ). Si se tiene uno de estos datos, el otro debe
determinarse a partir de las condiciones del problema. Se
pueden considerar tres casos:
a) Tangente a una circunferencia dada en un punto dado de
contacto.
b) Tangente a una circunferencia dada que tiene una
pendiente dada.
c) Tangente a una circunferencia dada que pasa por un
punto exterior dado.
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