MÉTODO DE MüLLER
Raíces de Polinomios
Prof. Ing. Marvin Hernández C.
Agenda
 Comparación entre el Método de Müller con el Método
de la Secante.
 Procedimiento para desarrollar el Método de Müller.
 Ventajas y Desventajas del método.
 Estrategias para desarrollar el método.
 Desarrollo de ejemplos.
 Presentación del Método Müller en Matlab.
Método de Müller vs.
Método de la Secante
Método de la Secante: usa una línea recta hasta
el eje X con 2 valores de la función.
Método de Müller: se hace con una parábola de
3 puntos. Consiste en obtener coeficientes de la
parábola que pasa por los puntos, estos se
sustituyen en la fórmula y se obtiene el valor
donde la parábola interseca el eje X.
Método de Müller vs.
Método de la Secante
Método de la Secante
Método de Müller
Procedimiento
 Se determina un X0, X1 y un X2.
 Segundo paso :
h0 = X1 – X0
h1 = X2 – X1
 Tercer paso:
δ0 = F (X1) - F (X0)
h0
δ1 = F (X2) - F (X1)
h1
Procedimiento
 Cuarto paso:
Se obtienen:
a = δ1 – δ0
h1 + h 0
b = a * h1 + δ0
c = F (X2)
 Quinto paso:
X3 = X2 +
-2*c
b±
b  4 ac
2
Procedimiento
 Sexto paso:
Si | b + b 2  4 ac
| >
Se escoge: b +
| b-
b  4 ac
2
b  4 ac
2
Si no, se escoge : b - b 2  4 ac
 Calculo del Error.
Єa = X3 – X2 * 100%
X3
|
Ventajas
Por medio de este método se encuentran
tanto raíces reales como complejas.
Desventajas
En el Método de Müller se escoge el signo que
coincida en el signo de “b”, esta elección
proporciona como resultado el denominador
mas grande, lo que dará la raíz estimada mas
cercana a X2. Una vez q se determino X3 el
proceso se repite, esto trae de que un valor es
descartado.
Estrategias Comúnmente Usadas
Si sólo se localizan raíces reales, elegimos los 2
valores originales más cercanos a la nueva raíz.
Si tenemos raíces reales y complejas, se usa un
método secuencial.
Ej.
X1, X2, X3 = X0, X1, X2
Ejemplo 7.2
F(x) = x^3 – 13x -12
X0 = 4.5
Iteraciones
X3
Ea (%)
0
5
---------------
1
3.9765
25.7391
2
4.0011
0.6139
3
4.0000
0.0262
4
4.0000
1.7631 * 10 ^ - 5
X1 = 5.5
X2 = 5
Problema 7.3
Parte A.
F(x) = x^3 + x^2 – 4x - 4
X0 = 1
Iteraciones
X3
Ea (%)
0
1.75
---------------
1
2.0112
12.9863
2
1.999882423
0.5648
3
1.99999997
0.0059
4
2
1.3686 * 10 ^ - 6
X1 = 1.5
X2 = 1.75
Problema 7.3
Parte B.
F(x) = x^3 – 0.5x^2 + 4x - 2
Iteraciones
X3
Ea (%)
X0 = 0.4
0
0.8
---------------
X1 = 0.6
1
0.5007
59.7750
X2 = 0.8
2
0.49999
0.141817
3
0.500000
0.00100
Problema 7.4 (Incluye raíces complejas)
Parte A.
F(x) = x^3 – x^2 + 2x - 2
Iteraciones
X3
Ea (%)
0
0.75
---------------
1
1.0402
27.8979
2
0.9983
4.1995
3
0.9999942
0.17249
4
0.9999999
5.7776 * 10 ^ - 4
X0 = 0.25
X1 = 0.50
X2 = 0.75
Problema 7.4 (Incluye raíces complejas)
Parte B.
F(x) = 2x^4 + 6x^2 + 8
X0 = 1.75
X1 = 2
X2 = 2.25
Iteraciones
X3
Ea
0
2.25
-----------------
1
1.1778 – 0.71168i
93.51
2
0.9186 – 0.93051i
25.94
3
0.6845 – 1.1251i
23.11
4
0.5381 – 1.2720i
15.05
5
0.5030 – 1.3176i
4.03
6
0.5000 – 1.3228i
0.43
7
0.4999 – 1.3229i
0.005
8
0.4999 – 1.322876i 1.52 * 10 ^ - 6
Problema 7.4 (Incluye raíces complejas)
Parte C.
F(x) = x^4 - 2x^3 + 6x^2 – 2x +5
X0 = 2
X1 = 2.5
X2 = 2.75
Iteraciones
X3
Ea
0
2.75
-----------------
1
1.488 – 0.8219i
88.51
2
1.2052 – 1.1174i
24.92
3
0.8931 – 1.44559i
26.65
4
0.7503 – 1.9344i
24.54
5
1.0207 – 2.0602i
12.97
6
0.99658 – 1.9977i
2.996
7
0.999969 – 2.0000i 0.1819
8
0.999999 – 2.0000i 0.001366
Problema 7.17
ho = 0.55 – 0.53 = 0.02
d0 =
58 – 19 = 1950
0.55 – 0.53
a=
d1– d0 = -55000
h1 + ho
b = a h1 + d1 = 1950
c = 44
h1 = 0.54 – 0.55 = -0.01
d1 =
44 – 58 = 1400
0.54 – 0.55
2
b  4 ac = 3671.85
t o  0 . 54 
 2 ( 44 )
1950  3671 . 85
R/ La presión es cero en 0.524 s
 0 . 524 s
Desarrollo del Método de Müller
en Matlab
Descargar

Diapositiva 1