Index
Números enteros
1
NÚMEROS ENTEROS
1. De los números naturales a los enteros
2. Representación de los números enteros
3. Valor absoluto y ordenación de números enteros
4. Suma de números enteros
5. Opuesto de un número entero
6. Resta de números enteros
7. Operaciones con paréntesis
8. Multiplicación de números enteros
9. División exacta de números enteros
10. Propiedades de las operaciones de números enteros
11. Operaciones combinadas
12. Resolución de problemas
03.10.15
AMPLIACIÓN
(Ampliación)
Números enteros
2
NÚMEROS ENTEROS
SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS
OPERACIONES CON PARÉNTESIS
RESUMEN – EJERCICIOS RESUELTOS
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE ENTEROS
OPERACIONES COMBINADAS
POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS
RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
OPERACIONES COMBINADAS (2)
03.10.15
Números enteros
3
De los números naturales a los enteros
+7
+20
+5000
Los juegos olímpicos
empezaron en el año 776
antes de Cristo
–7
– 776
0
– 250
– 20
– 5000
Buena temperatura: + 20 ºC
Soy rico: tengo +5000 euros
Mucho frío: – 20 ºC
El submarino
navega a 250 m
bajo el nivel del
mar
Debo dinero: “tengo” -5000 euros
Los números naturales se consideran
enteros positivos.
Por cada entero positivo hay un entero negativo.
Van precedidos por un signo menos (–)
03.10.15
Los números enteros
están formados por:
enteros positivos,
enteros negativos
y el cero
Números enteros
Representación de los números enteros
4
Es útil representar los números enteros en la recta. Se siguen los pasos:
1º. Se traza una recta y se elige un punto para representar el 0.
2º. A la derecha del 0 se representa el +1.
3º. La distancia entre 0 y +1 será la que
exista entre cada dos enteros consecutivos.
Negativos
–5
–4
–3
–2
Positivos
–1
0
+1
+2
+3
+4
+5
4º. A la izquierda del 0 se
4º. A la derecha del 0 se
colocan los enteros negativos.
colocan los enteros positivos.
03.10.15
+6
Números enteros
Valor absoluto de un número entero
5
Los números +2 y –2 están a la misma distancia del cero:
–5
–4
–3
–2
–1
0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
Es evidente que +2 y –2 están asociados al número natural 2. Por eso:
El número natural 2 se llama valor absoluto de + 2 y –2.
Se indica así:
2  2  2
Se llama valor absoluto de un número entero al número natural que sigue al signo.
Se indica escribiéndolo entre barras
Otro ejemplo:
03.10.15
4  4  4
6 Valor absoluto y ordenación de los números enteros
Números enteros
Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo
Se indica escribiéndolo entre barras. Así:
 7  7,
 7
 7
Gráficamente, un número entero es mayor que otro cuando
en la recta numérica está a la derecha.
Ordenación:
Más pequeños
–5
–4
–3
–2
Más grandes
–1
0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
Cualquier número entero positivo es mayor que cualquier entero negativo.
El cero es mayor que cualquier negativo y menor que cualquier positivo.
Dados dos números enteros positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto.
Luego
 7   13 , pues
 7   13
Dados dos números enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.
Así,  7   13 , pues
03.10.15
 7   13
Números enteros
Suma de enteros del mismo signo
7
Para sumar dos números enteros del mismo signo:
1.º Se suman sus valores absolutos.
2.º Al resultado se añade el signo que tienen.
(+2) + (+3) = +5
+3
+2
–2
–1
0
(+6) + (+12) = +18
(+4) + (+21) = +25
+1
+2
+3
+4
+5
+6
(–2) + (–3) = –5
(–4) + (–11) = –15
(–17) + (–31) = –48
03.10.15
–3
–6
–5
–4
–2
–3
–2
–1
0
+1
+2
Números enteros
8
Suma de números enteros de distinto signo
Teresa y Miguel hacen cuentas ...
Nos han dado
12 euros
(+12) + (–9) = +3
Les quedan 3 euros
Carola y Pablo también hacen sus cuentas ...
Nos han dado
18 euros
Y hemos gastado
19 euros
(+18) + (–19) = –1
Y hemos gastado
9 euros
¿Les queda o deben dinero?
Deben 1 euro
(Observa que el resultado es negativo,
como el número de mayor valor absoluto).
Para sumar dos números enteros de distinto signo:
1.º Se restan sus valores absolutos, el menor del mayor.
2.º Al resultado se le pone el signo del sumando de mayor valor absoluto.
03.10.15
Números enteros
9
Suma de varios números enteros
Veamos un ejemplo:
(+100) + (–40) + (–70) + (+50) = (+100) + (+50) + (–40) + (–70) =
= (+150) + (–110) = +40
Para sumar varios números enteros:
1.º Se suman separadamente los positivos y los negativos.
2.º Se suman el número positivo y el negativo obtenido.
Otros ejemplos:
(+5) + (–4) + (+11) + (–7) = (+5) + (+11) + (–4) + (–7) = (+16) +(–11) = +5
(+15) + (–8) + (–31) + (+7) = (+15) + (+7) + (–8) + (–31) = (+22) +(–39) = –17
Observa que sumamos por separado los positivos y los negativos.
03.10.15
Números enteros
Opuesto de un número entero
10
4 y –4 son dos números enteros simétricos respecto de 0. Tiene el mismo valor
absoluto, pero distinto signo.Se llaman opuestos.
4 = op.(–4)
–4 = op. (+4)
Opuesto del opuesto:
–6
–5
–4
–3
op.(–5) = 5
–2
–1
0
+1
op.(5) = –5
+2
+3
+4
+5
+6
El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número
a
8
b
–2
–7
–5
a+b
6
–12
op. (a)
–8
7
op. (b)
2
5
op. (a+b)
–6
12
op. (a) + op. (b)
–6
12
Observa que el opuesto de la suma es la suma de los opuestos.
03.10.15
Números enteros
11
Resta de números enteros
Para restar dos números enteros se suma al primero el opuesto del segundo.
(+9) – (+5) = 9 – 5 = 4
(+9) – (–5) = 9 + 5 = 14
(–9) – (+5) = –9 – 5 = –14
(–9) – (–5) = –9 + 5 = –4
El signo – tiene dos significados:
1º. Como signo de la operación resta: 9 – 5
2º. Como indicador de número negativo: –3
Algunos ejemplos:
(+8) +(–8) = (–8) + (+8) = 0. (Observa que un número más su opuesto vale 0).
(–7) + (–8) – (–17) + (–10) = –7 – 8 + 17 – 10 = – 25 + 17 = –8
–7 – 12 + 32 – 19 + 49 = –7 – 12 – 19 + 32 + 49 = – 38 + 81 = 43
03.10.15
Números enteros
El uso del paréntesis
12
Vamos a calcular:
9 – (12 + 3)
1º. Haciendo antes las operaciones del paréntesis: 9 – (12 + 3) = 9 – 15 = –6
2º. También se puede hacer así:
9 – (12 + 3) = 9 + op. (12 + 3) = 9 + op. (12) + op. (3) = 9 – 12 – 3 = 9 – 15 = –6
Como ves, sale el mismo resultado.
Calculamos ahora: 12 – (10 – 6)
1º. Operando antes el paréntesis:
Son iguales
12 – (10 – 6) = 12 – 4 = 8
2º. También se puede hacer así:
12 – (10 – 6) = 12 + op. (10 – 6) = 12 + op. (10) + op. (–6) = 12 – 10 + 6 = 8
Cuando un paréntesis tiene delante el signo menos (–) se puede operar de dos maneras:
1º. Haciendo las operaciones del paréntesis.
2º. Suprimiendo el paréntesis cambiando el signo a los números que contiene.
03.10.15
Números enteros
Operar con paréntesis
13
La expresión: 8 + (4 – 14)
se puede calcular de dos maneras:
1º. Haciendo antes las operaciones del paréntesis: 8 + (4 – 14) = 8 – 10 = – 2
2º. Quitando el paréntesis:
8 + (4 – 14) = 8 + 4 – 14 = 12 – 14 = – 2
Un signo + delante de un paréntesis no cambia el signo de ningún número de él.
Análogamente: 15 – (12 – 2)
1º. Operando antes el paréntesis:
2º. Quitando el paréntesis:
se puede calcular de dos maneras:
15 – (12 – 2) = 15 – 10 = 5
15 – (12 – 2) = 15 – 12 + 2 = 3 + 2 = 5
Un signo – delante de un paréntesis cambia el signo de todos los números de dentro.
Otros ejemplos:
(a) 15 + (17 – 38) – (–14 + 17) = 15 – 21 – 3 = – 9 (operando dentro de los paréntesis).
(c) 8 – (–7 + 14 – 19) = 8 + 7 – 14 + 19 = 34 – 14 = 20 (quitando el paréntesis).
03.10.15
Números enteros
Multiplicación de enteros de distinto signo
14
Ejemplo:
Beatriz gasta 6 euros cada vez que va al cine. ¿Cuánto dinero ha
gastado después de haber ido tres veces?
–6
+3
– 18
Cada vez que va al cine gasta 6 euros
Va tres veces
Gasta: 3 · 6 euros = 18 euros
Gráficamente:
–6
–24
–18
–6
–12
(– 6) · (+ 3) = – 18
–6
–6
0
+6
+12
El producto de dos números enteros de distinto signo es un número
entero negativo, cuyo valor absoluto es el producto de los valores absolutos
de los factores.
Otros ejemplos:
(a) (–7) ·(+ 9) = – 63 (b) (+12) · (–12) = –144
03.10.15
(c) (– 13) · (+4)= –52
Números enteros
15
Multiplicación de números enteros
Para multiplicar números enteros hay que tener en cuenta el signo que lleven.
Hay cuatro posibilidades:
Observa:
Regla de los signos:
(+7) · (+ 9) = +(7·9) = +63
+ · + = +
(+7) · (– 9) = –(7·9) = –63
+ · – = –
(–7) · (+ 9) = –(7·9) = –63
– · + = –
(–7) · (– 9) = +(7·9) = +63
– · – = +
1º. Se halla el producto de sus valores absolutos.
2º. El resultado es positivo(+) si los factores son del mismo signo.
El resultado es negativo (–) si tienen distinto signo.
Otros ejemplos:
(a) (+5) · (– 1) = –55
03.10.15
(b) (–5) ·(+7) = –35
(c) (–3) · (–9) = 27
Números enteros
Producto de varios enteros
16
Calculamos – 4 · 8 · (–3)
Observa:
–4 · 8 · (–3) = –32 · (–3) = 96
Se obtiene
el mismo
resultado
–4 · 8 · (–3) = –4 · (–24) = 96
Luego:
Para multiplicar varios números enteros se agrupan de dos en dos en el
orden que se prefiera y se realizan las multiplicaciones por parejas.
Otros ejemplos: 1º. El producto –5 · 7 · (–3) puede hacerse:
–5 · 7 · (–3) = –35 · (–3) = 105
–5 · 7 · (–3) = –5 · (–21) = 105
2º. 5 · 8 · (–4) · 3
03.10.15
5 · 8 · (–4) · 3 = 40 · (–12) = –440
Números enteros
17
División exacta de números enteros
Para dividir números enteros hay que tener en cuenta el signo que lleven.
Pueden darse cuatro casos:
Regla de los signos:
(+21) : (+ 7) = +(21 : 7) = 3
+ : + = +
(+32) : (– 4) = –(32 : 4) = –8
+ : – = –
(–63) : (+ 9) = –(63 : 9) = –7
– : + = –
(–48) : (– 8) = +(48 : 8) = 6
– : – = +
Es la misma
que para la
multiplicación
Otros ejemplos:
(a) 15 : (– 5) = – (15 : 5) = –3
(c) –35 : 7 = –5
(b) (–54) : (+6) = –(54 : 6) = –9
(d) – 72 : (–9) = 8
Observación: El paréntesis es necesario cuando se divide por un número
negativo. En cualquier otro caso es optativo.
03.10.15
Números enteros
Propiedad conmutativa
18
7 +(– 12) = – 5
De la suma Observa:
(– 12) + 7 = – 5
7 +(– 12) = (–12) + 7
La suma de dos números enteros no varía cuando se cambia el orden de los sumandos.
Del producto Observa:
4 · (– 5) = – 20
(– 5) · 4 = – 20
4 · (– 5) = (– 5) · 4
El producto de dos números enteros no varía cuando se cambia el orden de los factores.
Otros ejemplos:
Suma
Producto
(–5) + 7 = 7 +(–5) = 2
2 + (–13) = (–13) + 2 = –11
(– 3) · (–9) = (– 9) · (–3) = 27
(+6) · (–8) = (–8) · (+6) = –48
03.10.15
Números enteros
19
Propiedad asociativa de la suma
La suma 10 + (–5) + (–2)
puede hacerse de dos maneras:
1º. Sumando los dos primeros números al tercero:
[10 + (–5)] + (–2) = 5 + (–2) = 3
2º. Sumando el primer número a los otros dos:
10 + [(–5) + (–2)] = 10 + (–7) = 3
Luego: [10 + (– 5)] + (– 2) = 10 + [(– 5) + (– 2)]
La suma de tres números enteros no varía cuando
se asocian los términos de modos distintos
Otro ejemplo:
[(–5) + 17] + (–8) = 12 + (–8) = 4
(–5) + [17 + (–8)] = –5 + 9 = 4
03.10.15
Propiedad
asociativa
de la suma
Números enteros
20
Propiedad asociativa del producto
El producto (–12) · 8 · (–5)
puede hacerse agrupando los factores de dos
formas distintas:
1º. (los dos primeros) · (el tercero):
[(–12) · 8] · (–5) = (–96) · (–5) = 480
2º. (el primero) · (el producto de los otros dos):
(–12) · [8 · (–5)] = (–12) · (–40) = 480
Luego: [(–12) · 8] · (–5) = (–12) · [8 · (–5)]
El producto de tres números enteros no varía cuando
se asocian los términos de modos distintos
Otro ejemplo:
03.10.15
[(–5) · 7] · (–3) = –35 · (–3) = 105
(–5) · [7 · (–3)] = –5· (–21) = 105
Propiedad
asociativa
del producto
Números enteros
Propiedad distributiva
21
El valor de la expresión –5 · (–3 + 7)
puede calcularse de dos formas distintas:
Una forma:
Otra forma:
Hacemos primero la suma y a
continuación la multiplicación.
–5 · (–3 + 7) = –5 · 4 = –20
Multiplicamos el factor por cada
sumando y después sumamos.
–5 · (–3 + 7) = –5 · (–3) +(–5) · 7
= +15 + (–35) = –20
El resultado es el mismo
Luego: –5 · (–3 + 7) = –5 · (–3) + (–5) · 7
Esta es la propiedad
distributiva de la multiplicación
respecto a la suma
El producto de un número entero por una suma es igual a la suma
de los productos del número entero por cada uno de los sumandos.
Otro ejemplo:
Sumando antes:
15 · [–10 + 8 + (–17)]
15 · [–10 + 8 + (–17)] = 15 · (–19) = –285
Multiplicando por cada sumando:
15 · [–10 + 8 + (–17)] = 15 · (–10) + 15 · 8 + 15 · (–17) = –150 + 120 + (–255) = –285
03.10.15
Números enteros
En la suma
Factor común
22
–3 · 7 + (–3) · (–2)
los sumandos son productos.
En ambos se repite el factor –3.
Hemos sacado
factor común.
Decimos que –3 es factor común.
Aplicando la propiedad distributiva, leyéndola de derecha a izquierda.
Podemos escribir:
–3 · 7 + (–3) · (–2) = –3 · [7 + (–2)]
Otros ejemplos:
(a) 5 · (–10) + 5 · (–17)
(b) –6 · (–12) + (–6) · 17 + (–6) · (–9)
5 · [–10 + (–17)] = 5 · (–27) = –135
El factor común es –6.
–6 · [(–12) +17 + (–9)] = –6 · (–4) = –24
Aparentemente no hay factor común. Pero
(c) –9 · 7 + (–9) · (–15) + 27 · 12
como 27 = –9 · (–3), se tiene:
–9 · 7 + (–9) · (–15) + (–9 )· (–3) · 12 = –9 · [ 7 + (–15) + (–3 )· 12] = –9 · (–44) = 396
03.10.15
Números enteros
Operaciones combinadas. Sin paréntesis
23
Ejemplos:
(a) La operación
–5 · 6 + (–4) · 8 +30
–30 +
(b) Para hallar
Primero hemos hecho los
productos y después las sumas
(–32) + 30 = –32
–30 : 6 + (–3) · 4 + 14
–5 +
debe realizarse en el siguiente orden:
hay que seguir el siguiente orden:
(–12) + 14= –3
Primero divisiones y productos,
después las sumas
El orden de las operaciones es: 1º Multiplicaciones y divisiones.
2º Sumas y restas.
Otros ejemplos:
1º –6 · (–4) + (–12) · 4 + (–5) · (–9) = 24 – 48 + 45 = 21
Operando en
2º. 8 ·(– 6) – 3 · (12 –17)
–48 – 3 · (–5) = –48 + 15 = –33
el paréntesis
Aplicando la propiedad distributiva 8 · (– 6) – 3 · 12 –3 · (–17) = –48 – 36 + 51 = –33
03.10.15
Números enteros
24
Operaciones combinadas. Con paréntesis
Ejemplo:
La operación
–12 + [8 + (–14) : 2] + [–7 + (–9) · 5]
Se hace así:
–12 + [8 + (–7)] + [–7 + (–45)]
–12 +
1
+
(–52)
=
–63
El orden a seguir es: 1º Operar dentro de los paréntesis.
2º Hacer las multiplicaciones y divisiones.
3º Hacer las sumas y restas.
Otros ejemplos:
1º –6 ·[ (–4) + (–12) ] + [4 + (–5)] · (–9) = –6 · (–16) + (–1) · (–9) = 96 + 9 = 105
2º El mismo ejemplo aplicando la propiedad distributiva
–6 ·[ (–4) + (–12) ] + [4 + (–5)] · (–9) = –6 · (–4) + (–6) · (–12) ] + 4 · (–9) + (–5) · (–9)
= 24 + 72 – 36 + 45 = 105
3º [15 : (–5) + (–2) ] + [ (–8) · (–3) + 10] + (–5) = [(–3) + (–2) ] + [24 + 10] + (–5)
= –5 + 34 – 5 = 24
03.10.15
Números enteros
25
Operaciones combinadas. Resumen
Resumimos con los siguientes casos:
Caso 1:
–12 + (–3) · (+4) + (–9)
= –12 + (–12) + (–9) = –33
Caso 2:
[–12 + (–3)] · (+4) + (–9)
= (–15) · (+4) + (–9) = –60 + (–9) = –69
Caso 3:
–12 + (–3) · [(+4) + (–9)]
= –12 + (–3) · (–5) = –12 + 15 = 3
Caso 4:
[–12 + (–3)] · [(+4) + (–9)] = –15 · (–5) = 75
Observa que en todos los casos
hay los mismos números y operaciones.
Cambia la situación de los paréntesis
03.10.15
Números enteros
26
Resolución de problemas (I)
Problema: Laura, Pedro y María se reúnen para organizar sus cuentas. Entre Laura y Pedro
tienen 37 euros. Ente Pedro y María tienen 58 euros. Entre Laura y María deben 69 euros.
¿Cuánto dinero tiene o debe cada uno?
Organizados los datos y hechos los tanteos:
Primero:
Pensar un problema más fácil
Observando los datos vemos que Laura, Pedro y
María, aparecen dos veces cada uno.
Luego el doble de lo que tienen es la suma total:
Laura y Pedro: + 37
Pedro y María: + 58
Laura y María: – 69
37 + 58 – 69 = 26
Por tanto, entre los tres tienen 13 euros (la mitad de 26).
Laura tendrá 13 – 58 (lo que tienen Pedro y María): 13 – 58 = – 45
Como entre Laura y María “tienen” –69, María tendrá: –69 –(–45) = –24
Como entre Pedro y María tienen 58, Pedro tendrá: 58 – (–24) = 82
Segundo:
Comprobación.
Laura y Pedro: –45 + 82 = 37.
Pedro y María: 82 – 24 = 58.
Laura y María: –45 + (–24) = – 69
Y entre los tres: 37 + 58 + (–24) = 13.
03.10.15
Números enteros
27
Resolución de problemas (II)
Problema 1: La suma de dos números enteros es igual a –19 y su producto
es igual a 60. ¿Cuáles son esos números?
Primero:
¿Has advertido que
Tantear para comprender mejor
para que el producto sea
Si los números suman – 19, uno podría ser –29 y el otro 10.
Entonces, su producto sería: –29 · 10 = –290. 60, los dos números deben
ser negativos?
No puede ser, pues su producto debe ser 60.
¿Por qué no valdrían dos números positivos?
Segundo:
Hacer una tabla
N egativos q u e su m en 1 9  1 , 18
 2 , 17
 3 , 16
 4 , 15
 5 , 14
 1 , 60
 2 , 30
 3 , 20
 4 , 15
 5 , 12
N egativos d e p rodu cto 6 0
 6 , 13
Luego, los números buscados son –4 y –15.
Tercero:
Comprobación.
La suma es: –4 + (–15) = –19. Su producto vale: (–4) · (–15) = 60
Que son las condiciones requeridas.
03.10.15
Números enteros
28
Resolución de problemas (III)
Problema 2: En un depósito hay 800 litros de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el
depósito 25 litros por minuto, y por la parte inferior, por otro tubo, salen 30 litros por minuto.
¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento?
Primero:
Leer el enunciado y resumirlo.
Hay 800 l, entran 25 y salen 30. ¿En 15 min.?
+25 durante 15 min.
Segundo:
Hacer un dibujo explicativo.
Hay 800 l
Tercero:
Hacer los cálculos.
-30
800 + 25 · 15 – (30 · 15) = 800 + 375 – 450 = 725
Cuarto:
Comprobación.
Por cada minuto que pasa, el depósito pierde 5 litros: (25 – 30 = –5)
En 15 minutos: 15 · (– 5) = –75.
Quedan entonces: 800 – 75 = 725.
03.10.15
Números enteros
PROBLEMA
TANTEA
29
Técnicas y estrategias
La suma de los valores absolutos de dos números enteros es igual a
84 y la suma de los números es igual a 36. ¿Cuáles son los números?
Si los números fueran 4 y –7, tendríamos que:
4   7  4  7  11
Suma de valores absolutos:
No puede ser, los
resultados no coinciden.
Suma de los números:
4 + (–7) = –3.
Por ser su suma igual a 36, el número de mayor valor absoluto es positivo
ELIGE UNA ESTRATEGIA
Un número negativo
Representamos la situación sobre la recta numérica:
Sumando positivo
–
+
36
0
Suman 36
36
Suma de valores absolutos: 84
Luego 84 – 36 es igual al doble del valor absoluto del sumando negativo.
RESUELVE EL PROBLEMA
84 – 36 = 48; la mitad es 24.
24 será el valor absoluto del sumando negativo. Por tanto será – 24. Y el otro número,
24 + 36 = 60
 2 4  60  24  60  84
COMPRUEBA
03.10.15
– 24 + 60 = 36
Correcto.
Números enteros
30
SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS:
1) Cuando los números enteros tienen el MISMO SIGNO
SE SUMAN
y el resultado queda con el
MISMO SIGNO que tienen los números que sumé.
EJEMPLO:
1 + 3 + 5 + 8 = 17
POSITIVOS
POSITIVO
-1 - 3 - 5 - 8
NEGATIVOS
=
- 17
NEGATIVO
2) Cuando los números tienen DISTINTO SIGNO
resto al mayor (en valor absoluto) el menor ( en valor absoluto)
y el resultado me da con el signo del mayor (en valor absoluto).
EJEMPLO:
03.10.15
5 + 3 = -2
ME DA NEGATIVO PORQUE EL MAYOR TIENE ESE SIGNO
5 - 3 = 2
ME DA POSITIVO PORQUE EL MAYOR TIENE ESE SIGNO
Números enteros
3)
31
OPERACIONES CON PARÉNTESIS
Si delante de un paréntesis, corchete o llave NO HAY NADA
entonces hay un signo positivo que no se escribe.
EJEMPLO:
HAY UN SIGNO POSITIVO
4) Cuando delante de un paréntesis, corchete o llave hay :
a)
un SIGNO NEGATIVO,
se saca el paréntesis, corchete o llave
y SE CAMBIAN todos los signos de los números que están adentro.
EJEMPLO:
b)
SE CAMBIAN LOS SIGNOS
un SIGNO POSITIVO,
se saca el paréntesis, corchete o llave
y se NO SE CAMBIAN los signos de los números que están adentro.
EJEMPLO:
03.10.15
- ( 4 - 3 ) = - 4 + 3
( 4 - 3 ) =
4 - 3
NO SE CAMBIAN LOS SIGNOS
Números enteros
RESUMIENDO:
32
1) Si tengo varios números a sumar algunos positivos, otros negativos:
-7 + 4 - 2 + 8 - 3 - 5 + 1
1er PASO: Sumo los positivos
( 4 + 8 + 1 ) = 13
2º PASO: Sumo los negativos anteponiendo el signo menos al paréntesis
- ( 7 + 2 + 3 + 5 ) = - 17
3er PASO: Me queda
(4+8+1)-(7+2+3+5)
13
17
Busco la diferencia entre los dos y pongo el signo del mayor
13 - 17 = - 4
La diferencia entre 17 y 13 es de 4 y
como el mayor, que es el 17, tiene signo negativo, el resultado me da negativo.
03.10.15
Números enteros
33
EJERCICIO RESUELTO 1
a) Eliminando paréntesis, corchetes y llaves:
 7  5    7  2   5   9  14  5   3   5   8 
Eliminar paréntesis: Si delante del paréntesis
hay un signo negativo: saco el paréntesis y cambio los signos de todos los números de adentro,
si es positivo los dejo igual.
 7  5  7  2   5   9  14  5  3   5   8 
Eliminar corchetes: procedo igual que con los paréntesis:
 7  5  7  2   5   9  14  5  3  5   8 
Eliminar llaves: proceso igual que con paréntesis
 7  5  7  2  5  9  14  5  3  5  8 
Sumo los positivos por un lado y
los negativos por otro anteponiendo el signo negativo a éstos últimos
5  9  5  3  5   7  5  7  2  14
 8   27  43
Hallo la diferencia entre ambos y pongo al resultado el signo del mayor
03.10.15
27  43   16
Números enteros
34
EJERCICIO RESUELTO 2
b) Resolviendo lo que hay dentro de los paréntesis corchetes y llaves:
 7  5    7  2   5   9  14  5   3   5   8 
Resuelvo lo que está dentro de los paréntesis:
 7  5    9   5   9    9   3   5   8 
Eliminar los paréntesis: Si delante del paréntesis hay un signo negativo
saco el paréntesis y cambio los signos de todos los números de adentro,
si es positivo los dejo igual.
 7  5  9   5   9  9  3   5   8 
Resuelvo lo que está dentro de los corchetes
 7   14   5    3   5   8 
Eliminar corchetes: procedo igual que con los paréntesis
Resuelvo lo que está dentro de las llaves
 7  14   5   3  5   8 
 21   5   8   8 
Eliminar llaves: Procedo igual que con paréntesis
Sumo los positivos por un lado y los negativos por otro
anteponiendo el signo negativos a éstos últimos
 21  5  8  8 
5  8    21  8   13  29
Hallo la diferencia entre ambos y pongo al resultado el signo del mayor
13  29   16
03.10.15
Números enteros
35
MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES DE ENTEROS
1) Si multiplico o divido números enteros tengo que atenerme a la siguiente regla de signos:
+ . + = +
+ : + = +
EJEMPLO:
8 . 2 = 16
8 : 2 = 4
b)
- . - = +
- : - = +
EJEMPLO:
- 8 . (- 2) = 16
- 8 : (- 2) = 4
c)
+ . -
= -
EJEMPLO:
8 . (- 2) = - 16
+ : -
= -
a)
d)
2)
- . +
= -
- : +
= -
8 : (- 2)
EJEMPLO:
= -4
- 8 . 2 = - 16
-8 : 2
= -4
Si detrás de un número hay un número negativo entre paréntesis, quiere decir que entre los dos hay un signo
de multiplicación que puede no escribirse.
EJEMPLO:
HAY UN SIGNO DE MULTIPLICACION
3)
Cuando dos paréntesis, corchetes o llaves están juntos uno cerrado y el otro abierto y no hay ningún signo entre
ellos , hay un signo de multiplicación que puede no escribirse.
EJEMPLO:
03.10.15
HAY UN SIGNO DE MULTIPLICACION
Números enteros
36
OPERACIONES COMBINADAS
Para resolver ejercicios combinados con suma o resta y multiplicación o división,
debo primero separar en términos.
Los signos que separan términos son los de suma o resta y se resuelve primero
lo que está en cada término. Por ejemplo:
Si el ejercicio combinado tiene paréntesis, corchetes y/o llaves, se procede así:
Separo en términos lo que está dentro de los paréntesis y lo resuelvo:


  6  2  9 : 3   
   
  4   7   4  4 :   2   5 

 term 1 term 2   

  4   7   4 4 :   2   5   12  3  
  4   7   4 4 :   2   5   9  
Separo los términos que están dentro de los corchetes y resuelvo:

 4 :   2   5   9 )  
  4  7   4 
 
 term 1 term 2  

  4   7   4  2  45  
  4   7   4 43  
Separo los términos que están dentro de las llaves y resuelvo
  4   7   4  43 


 term 1 term 2 
 28  172  
03.10.15
 28  172   144
Números enteros
37
POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (I)
Cuando un número (base) está elevado a
otro número (exponente)
significa que hay que multiplicar la base
tantas veces como indique el exponente.
1) Propiedad de potencias de igual base:
a) Cuando se MULTIPLICAN potencias de igual base se SUMAN los exponentes.
b) Cuando se DIVIDEN potencias de igual base se RESTAN los exponentes.
EJEMPLOS:
2) Si una potencia está elevada a otro número, se MULTIPLICAN los exponentes.
EJEMPLO:
03.10.15
Números enteros
4)
38
POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (II)
Las potencias con exponente impar
tienen como resultado un número cuyo
signo es igual al de la base.
EJEMPLO:
5) Propiedades:
EJEMPLO:
a) La potencia es DISTRIBUTIVA con
respecto a la MULTIPLICACIÓN y a la
DIVISIÓN
b) La potencia NO ES DISTRIBUTIVA
con respecto a la SUMA y a la
RESTA.
03.10.15
 2  3 2
 2 3
6  4 9
2
36  36
EJEMPLO:
2
2
Números enteros
39
RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (I)
Para sacar la raíz de un cierto número (radicando),
buscamos el número que elevado al índice me de por
resultado el radicando.
PROPIEDADES DE LA RADICACION:
1. Es DISTRIBUTIVA con respecto a la MULTIPLICACIÓN y a la DIVISIÓN.
EJEMPLOS:
En la multiplicación
En la división
2. NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA.
EJEMPLOS:
En la suma
03.10.15
En la resta
Números enteros
40
RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (II)
3.Si el índice es PAR entonces el radicado TIENE que ser POSITIVO y la raíz tiene dos
resultados, uno positivo y otro negativo, para este nivel usamos el resultado positivo.
EJEMPLO:
4. Si el índice es IMPAR entonces la raíz va a tener el mismo signo que el radicando.
EJEMPLO:
5. Si tengo una raíz de raíz se multiplican los índices.
EJEMPLO:
03.10.15
Números enteros
41
EJERCICIO RESUELTO 3
Ejercicio combinado (suma-resta, multiplicación-división y potencia–raíz)
Separo en términos los que está dentro de los paréntesis:

2
 4  7  


 3 8  2 2  3 2 : 9   
2
2
 
9  81 :  3  5 
 term 1 term 2   

  



Resuelvo primero raíces y potencias dentro de los paréntesis:


2
  4  7  



2  4  27 : 3   

2
2
   
9  81 :  3  5 
 term 1 term 2   




Resuelvo multiplicaciones y divisiones dentro de los paréntesis:


4  7  
2
9

81 :  3
2
  5 8  9  
2
Resuelvo sumas y restas dentro de los paréntesis:


4  7  
2
9

81 :  3
Separo en términos lo que está dentro de los corchetes y lo resuelvo
en el mismo orden que con los paréntesis:





4  7  
9 9 : 9  25  17  
4  7  
9 1  425  
4  7  
9  424  
2
2
2


Separo en términos lo que está dentro de las llaves y lo resuelvo:
 2  49   3   424
03.10.15
 98  1272
 
  1370
2
  5 17  
2
Descargar

Algebra. Ecuaciones de primer grado