Doctorado en Economía, y
Maestría en T. y P. Económica Avanzada
FACES, UCV
Microeconomía I
Prof. Angel García Banchs
[email protected]
Clase/Semana 4
Problema del consumidor
Formalmente:
1) Plantear el Lagrange y encontrar los puntos óptimos
1
2
L  x 1 x 2 -  [ p1 x 1  p 2 x 2  m ]
L
x1
0
L
x 2
0
L

0
2) Determinar si corresponde a un máximo (Hessiano restringido)
HR
  2 L ( x 1* , x *2 ,  * )

x1x1

2
*
*
*
  L(x1 , x 2 ,  )
 
x 2x 1

*
*
 g ( x1 , x 2 )

x 1

 L(x1 , x 2 ,  )
2
*
*
*
x 1x 2
 L(x1 , x 2 ,  )
2
*
*
*
x 2x 2
g ( x1 , x 2 )
*
x 2
*
g ( x1 , x 2 ) 

x1

*
*
g ( x1 , x 2 ) 

x 2


0


*
*
Problema del consumidor
Formalmente:
HR
 1 ( 1  1) x 1 1 2 x 2 2

 1 1  2 1
  1 2 x1 x 2

p1

 1 1
1 2 x1
 2 1
p1 

p2 
0 
x2
1
 22
 2 ( 2  1) x 1 x 2
p2
Hallar el determinante (regla de Laplace - Pierre-Simon Laplace
– e.g. 3 fila )
 11
H R  (  1)  p 1
4
1 2 x1
 2 1
x2
1
 1 2
 (  1)  0
6
 22
 2 ( 2  1) x 1 x 2
 1 ( 1  1) x 1
 11
1 2 x1
 2 1
x2
2
x2
p1
p2
 1 2
 (  1)  p 2
5
 11
1 2 x1
 1 ( 1  1) x 1
 11
1 2 x1
 2 1
x2
1
 22
 2 ( 2  1) x 1 x 2
 2 1
x2
2
x2
p1
p2
Problema del consumidor
Formalmente:
(  1) H R  0 queremos que sea positivo para que sea un máximo, y
2
determinar si lo es requiere substituir el valor de p1 y p2 por sus
respectivas ecuaciones en términos de λ, o su valor númerico en caso
de ser conocido
Problema del consumidor
La ecuación de Slutsky (Eugen Slutsky)
Los cambios en la demanda producto de cambios en precios dependen
de dos efectos: el efecto substitución (por el cambio en precios relativos)
y el efecto ingreso (por el cambio en poder de compra del consumidor)
Marshallia na

 

*
 x 1 ( m , p1 )
p 2
 x 1 ( m , p1 )

*
p 2
Hicksiana
 

*
 x 1 (u , p1 , p 2 )
p 2
 x 1 (u , p1 , p 2 )

*

p

2

efecto substituci ón
función de gasto
Marshallia na

 
 
 
*
 x 1 ( m , p1 )  m ( u , p1 , p 2 )
m
 x 1 ( m , p1 )
p 2
*

*
x 2 ( m , p1 )
m    
  
efecto ingreso
LI: cómo cambia la demanda compensada del bien 1 cuando cambia p2
LD: este cambio es igual al cambio de la demanda manteniendo m
constante más el cambio en la demanda cuando m varía por el cambio
de m necesario para mantener u constante cuando cambia p2.
Problema del consumidor
La ecuación de Slutsky (Eugen Slutsky)
En general:
cambio en ingreso para
mantener utilidad constante

función de gasto
Hicksiana
Marshallia na
Marshallia na
 


 


 
   
*
*
*
 x i (u , pi , p j )
 xi (m , pi )
 x i (m , pi )  m (u, pi , p j )
p j 
p j 
p j
p j
p j
m
p j
Problema del consumidor
La ecuación de Slutsky (Eugen Slutsky)
Y, ¿qué pasa si p1 y p2 cambian simultáneamente?
  x 1* ( m , p i )

p
 * 1
 x 2 (m , pi )

p1

*
  x 1* ( u , p 1 , p 2 )
x1 (m , pi ) 

  p1  
p 2
p1






*
*
x 2 (m , pi ) 

x

p
 2   1 (u , p1 , p 2 )


p 2
p 2


  x 1* ( m , p 1 ) 


 m (u , p1 , p 2 )

m
 *



x 2 (m , p2 )
p1





m
 x 2 ( u , p1 , p 2 ) 

  p1 
p1
  

*
 x 2 ( u , p1 , p 2 ) 

p
 2

p 2

*
  p1 
m ( u , p1 , p 2 ) 




p 2

p

 2
Problema del consumidor
La ecuación de Slutsky (Eugen Slutsky)
Y, ¿qué pasa si p1 y p2 cambian simultáneamente?
  x 1* ( u , p 1 , p 2 )
  x 1* ( m , p i )  
p1




*
*

x

x
(
m
,
p
)
 1 (u , p1 , p 2 )
2
i 


p 2

 x 2 ( u , p1 , p 2 ) 

  p1 
p1
  

*
 x 2 ( u , p1 , p 2 ) 

p
 2

p 2

*
  x 1* ( m , p 1 ) 


*

m
 *
  x1 ( m , p1 )
x (m , p 2 )
 2



m

  p1 
*
x 2 (m , p2 )  


p
 2

Problema del consumidor
La ecuación de Slutsky (Eugen Slutsky)
Y, ¿qué pasa si p1 y p2 cambian simultáneamente?
  x 1* ( u , p 1 , p 2 )
  x 1* ( m , p i )  
p1




*
*

x
( u , p1 , p 2 )

x
(
m
,
p
)

1
2
i 


p 2

 x 2 (u , p1 , p 2 ) 

  p1 
p1

 

*
 x 2 (u , p1 , p 2 ) 

p
 2

p 2

*
  x 1* ( m , p 1 ) *

x1 ( m , p1 ) 

  p1 

m
 *
  

x 2 (m , p2 ) *

p
 2

x 2 ( m , p1 )


m


 ingreso





 substituci ón


El Bienestar del consumidor
El superávit del consumidor
Precio
Precio o curva
de oferta
Precio max
consumidor
pd(qd=0)
Precio de
equilibrio p*
SC: ½ [ pmax - p*] q*
SP: ½ [ p*- pmin ] q*
Superávit
Consumidor
Superávit
Productor
Precio min
productor
po(qo=0)
Precio o curva
de demanda
Cantidades
de equilibrio q*
Cantidades
El Bienestar del consumidor
El superávit del consumidor
Precio o curva
de oferta
Precio
Precio de
equilibrio
Superávit
Consumidor
SC 

p

p
p
Superávit
Productor
SP 
p
max
*
*
d
*
min
o

q ( p ) dp - p q
Precio o curva
de demanda
Cantidades
de equilibrio

q ( p ) dp - p q
Cantidades
*
El Bienestar del consumidor
Variación equivalente y Variación compensatoria
¿Cómo comparar dos estados distintos de la naturaleza? Es decir,
¿cómo determinar que he estado es superior ( m , p ) ó ( m 0 , p 0 ) ?

v ( m , p )  v ( m , p )  0
0
0

donde
v ( m , p ) , v ( m , p ) son los niveles
a los niveles
0
0
de precio y gasto finales
de utilidad
alcanzados
e iniciales
El problema es el mismo: las utilidades indirectas de distintos individuos
no son comparables. Requerimos entonces una expresión objetiva
en términos de dinero que substituya a la expresión subjetiva en
términos de utiles : la función de gasto del consumidor
El Bienestar del consumidor
Variación equivalente y Variación compensatoria
m ( v ( m , p ), p b )  m ( v ( m , p ), p b )
0
donde
0
v ( m , p ) , v ( m , p ) son los niveles
0
a los niveles
0
de precio y gasto finales
de utilidad
e iniciales,
alcanzados
y p b el precio base
al cual se valora el gasto del consumidor
Variación
e : pb  p
equivalent
0
VE  m ( v ( m , p ), p )  m ( v ( m , p ), p )  m ( v ( m , p ), p )  m
0
Variación
compensato
0
0
0
0
ria : p b  p 
VC  m ( v ( m , p ), p )  m ( v ( m , p ), p )  m   m ( v ( m , p ), p )
0
0
0
0
0
El Bienestar del consumidor
Variación equivalente y Variación compensatoria
Variación
e : pb  p
equivalent
0
VE  m ( v ( m , p ), p )  m ( v ( m , p ), p )  m ( v ( m , p ), p )  m
0
0
0
0
0
0
La VE es la cantidad de Bs F a precios iniciales que debería entregársele
al consumidor para que éste pueda costear el nuevo nivel de utilidad
asociado al nuevo nivel de precios y gasto. Es la cantidad de dinero que
el consumidor aceptaría a cambio de un aumento en los precios.
¿ Qué implica VE<0? ¿El nuevo estado de la naturaleza deja mejor o
peor al consumidor?
El Bienestar del consumidor
Variación equivalente y Variación compensatoria
Variación
compensato
ria : p b  p 
VC  m ( v ( m , p ), p )  m ( v ( m , p ), p )  m   m ( v ( m , p ), p )
0
0
0
0
  [ m ( v ( m , p ), p )  m ]
0
0
La VC es el negativo de la cantidad de Bs F a precios finales que
debería entregársele al consumidor para que éste pueda costear el
nivel de utilidad asociado al nivel de precios y gasto inicial. Es la
mínima cantidad de dinero (valorada a precios finales) que el
consumidor aceptaría del planificador a cambio del aumento en precio.
La compensación ocurre después del cambio en precios; por ello, p b  p 
¿Qué implica VC<0? ¿El nuevo estado de la naturaleza deja mejor o
peor al consumidor?
El Bienestar del consumidor
Variación equivalente, a raíz de una caída de p1
x2
VE
x ( m  VE , p )
0
x ( m , p )
0
0
0
x (m , p )
0
U
U
0
x1
El Bienestar del consumidor
Variación equivalente, a raíz de una alza de p1
x2
VE
0
0
x (m , p )
x ( m , p )
0
x ( m  VE , p )
0
U
0
0
U
x1
El Bienestar del consumidor
Variación compensatoria, a raíz de una caída de p1
x2
VC
x ( m , p )
0
0
0
x (m , p )
x ( m  VC , p )
U
0
U
0
x1
El Bienestar del consumidor
Variación compensatoria, a raíz de una alza de p1
x2
VC
x ( m  VC , p )
0
0
x (m , p )
0
U
x ( m , p )
0
0
U
x1
El Bienestar del consumidor
Variación equivalente y Variación compensatoria
Considerem
os el caso de dos bienes
x 1 y x 2 con precios
p1 y p 2 ,
con  p 1  0 y  p 2  0
Variación
e : p b  ( p1 , p 2  p 2 )
0
equivalent
0
0
0
0
0
0
0
0
0
VE  m ( v ( m , p 1 , p 2 ), p 1 , p 2 )  m ( v ( m , p 1 , p 2 ), p 1 , p 2 )
 m ( v ( m , p 1 , p 2 ), p 1 , p 2 )  m
0
Variación
0
0
0
ria : p b  ( p 1 , p 2  p 2 )
0
compensato
VC  m ( v ( m , p 1 , p 2 ), p 1 , p 2 )  m ( v ( m , p 1 , p 2 ), p 1 , p 2 )
0
0
0
0
0
0
 m   m ( v ( m , p 1 , p 2 ), p 1 , p 2 )   [ m ( v ( m , p 1 , p 2 ), p 1 , p 2 )  m ]
0
0
0
0
0
0
0
0
El Bienestar del consumidor
Variación equivalente y Variación compensatoria
Considerem
os el caso de dos bienes
x 1 y x 2 con precios
con  p 1  0 y  p 2  0
Variación
equivalent
e : p b  ( p1 , p 2  p 2 )
0
0
0
VE 

p1
p 1
Variación
*
x 1 dp 1 , una vez
compensato
substituid
o el valor de v  v  y p 2
ria : p b  ( p 1 , p 2  p 2 )
0
0
VC 

p1
p 1
*
x 1 dp 1 , una vez
substituid
o el valor de v  v y p 2
0
p1 y p 2 ,
El bienestar del consumidor
:
Ejemplo
u(x 1 , x 2 )  x 1 x 2
1/4
1/2
con { m , p 1 , p 2 }  { 3 00, 4 , 4 } y { m , p 1 , p 2 }  { 3 00, 2 , 4 }
0
0
0
1) Hallar
utilidad
indirecta
2) Hallar
función
de gasto
3) Calcular
la utilidad
indirecta
en la situación
inicial
4) Calcular
la utilidad
indirecta
en la situación
final
5) Hallar
el valor del gasto en los 4 casos, 2 de los cuales ya sabemos
6) Hallar
en base a 5) la VE y la VC
7) Hallar
en base a la demanda
y la u final) y la VC (substituy
¿Por qué x 1 y no x 2 ? Y¿cuando
hicksiana
de x 1 la VE (substituy
endo p 2  4, y la u inicial)
en base a ambos?
endo p 2  4,
El bienestar del consumidor
Fin clase de hoy…
Apéndice:
Material de apoyo…
Problema del consumidor
El problema de la maximización de la utilidad sujeto a la restricción
presupuestaria tiene como dual (i.e. como equivalente) la minimización
del gasto en bolívares fuertes necesario para alcanzar un nivel de
utilidad dado:
max u ( x )
x0

min px
x0
s.a. v ( x )  u
s.a. px  m
1  2
Ejemplo: u ( x )  x 1 x 2
1
2
max x 1 x 2
{ x 1 ,x 2 }
s.a. p 1 x 1  p 2 x 2  m

min p 1 x 1  p 2 x 2
{ x 1 ,x 2 }
1
2
s.a. x 1 x 2  u
¿Por qué lo anterior es posible? ¿Qué permite la dualidad?
¿Qué conduce a que la selección de las x sea igual en ambos casos?
Y, ¿cuál es la implicación para la distribución del ingreso y las
interacciones sociales?
Problema del consumidor
Resultado:
1
2
max x 1 x 2

{ x 1 ,x 2 }
1
s.a. p 1 x 1  p 2 x 2  m
x 1 ( m , p1 ) 
*
x 2 (m , p 2 ) 
*
m
m
2
2
s.a. x 1 x 2  u
1
1
p1  1   2
min p 1 x 1  p 2 x 2
{ x 1 ,x 2 }
x 1 (u , p1 , p 2 ) 
*

p2 1   2
x (u , p1 , p 2 ) 
*
2
Marshalliana
u
 p1  2 


p

2
1


p1  2
 1  2
2
1
u
p 2  1  p  2
1
2
Hicksiana


p

o compensatoria
 2 1 
¿por qué?
 1  2
Problema del consumidor
Resultado:
1
m
2
max x 1 x 2
p2
{ x 1 ,x 2 }
s.a. p 1 x 1  p 2 x 2  m
m
p1
x1 ( m , p1 ) 
*
x (m, p 2 ) 
*
2
m
1
p1  1   2
m
2
p2 1   2
u ( x )
*
 x1
u ( x )
*

x
 2
TMS  Sub
x2 
m
p2

p1
p2
x1
BM  CM
p1
p
2
TES  Obj
Problema del consumidor
Resultado:
La función de demanda del bien l depende únicamente del l-avo precio,
además de ser homogéneo de grado 0 en m y p, y lineal en m. Por ello,
su elasticidad ingreso es 1.
x l (m , pl ) m
*
e x * ,m 
m
l
x
*
l
 1, para l  1 ,2 ...
Función de utilidad indirecta:
m

1
*
*
u ( x 1 , x 2 )  v ( m , p1 , p 2 )  

 p1  1   2 
m
u ( x1 , x 2 )
*
m
*

v ( m , p1 , p 2 )
m
 1  2
?
 1
p1
1
 2
m
2 


 p2 1   2 
1
2
2
p 2  1  2 ( 1   2 )
 (  1  2 )
¿A qué debería ser igual?
Problema del consumidor
Resultado:
Invertir la función de utilidad indirecta, ¿a qué conduce?
m

1
*
*
u ( x1 , x 2 )  v ( m , p1 , p 2 )  

 p1  1   2 
1
m
2 


 p2 1   2 
2
1
m ( u , p1 , p 2 ) 
u


1


p
(



)
2 
 1 1
1


2


p
(



)
2 
 2 1
1  2
2
¿Función de qué y compensatoria de qué?
Verificarlo substituyendo x 1* ( u , p 1 , p 2 ) y x *2 ( u , p 1 , p 2 )
en la función de gasto a minimizar
Problema del consumidor
Dualidad
max u ( x )
x0
x0
s.a. v ( x )  u
s.a. px  m
Resolver
Marshallia
Resolver
Hicksiana
na
*
*
x (u , p)
x (m , p)
Substituir
utilidad
min px
indirecta
v(m , p)  u( x )
*
Substituir
Inversión
función
de gasto
m ( u , p )  px
*
Problema del consumidor
utilidad
Inversión
indirecta
v(m , p)  u( x )
Identidad de Roy
*
xi ( m , p )
de gasto
m ( u , p )  px
*
Marshallia
función
*
na ( x i )
*
Diferenciación
Substitución
Hicksiana
*
xi (u , p )
*
( xi )
Problema del consumidor
Diferenciación de la función de gasto con respecto al precio
función
de gasto
 m ( u , p1 , p 2 )
p1
1
 x ( u , p1 , p 2 ) 
*
1
u
 p1  2 


p

 2 1 
 1  2
2
Cuánto debe aumentar el gasto para mantener fijo el nivel de utilidad
cuando cambia el precio del bien i depende de la demanda del bien i
Problema del consumidor
Identidad de Roy (Rene Roy)
Escribiend
o la función
de utilidad
indirecta
con m ( u , p 1 , p 2 )
v ( m , p 1 , p 2 )  v ( m ( u , p 1 , p 2 ), p 1 , p 2 )  u
y diferencia
ndo ambos lados con respecto a p 1 ( o en general
 v ( m ( u , p 1 , p 2 ), p 1 , p 2 )
p1
0
 v ( m ( u , p 1 , p 2 ), p 1 , p 2 )  m ( u , p 1 , p 2 )
m
p1

 v ( m ( u , p 1 , p 2 ), p 1 , p 2 )
 p1
 v ( m ( u , p 1 , p 2 ), p 1 , p 2 )
m ( u , p1 , p 2 )
p1
 
pi )
p1
 v ( m ( u , p 1 , p 2 ), p 1 , p 2 )
m
 x1 (m , p)
*
0
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Clase 4 Microeconomia I