Doctorado en Economía, y
Maestría en T. y P. Económica Avanzada
FACES, UCV
Microeconomía I
Prof. Angel García Banchs
[email protected]
Clase/Semana 3
Problema del consumidor
El problema de la maximización de la utilidad sujeto a la restricción
presupuestaria tiene como dual (i.e. como equivalente) la minimización
del gasto en bolívares fuertes necesario para alcanzar un nivel de
utilidad dado:
max u ( x )
x0

min px
x0
s.a. v ( x )  u
s.a. px  m
1  2
Ejemplo: u ( x )  x 1 x 2
1
2
max x 1 x 2
{ x 1 ,x 2 }
s.a. p 1 x 1  p 2 x 2  m

min p 1 x 1  p 2 x 2
{ x 1 ,x 2 }
1
2
s.a. x 1 x 2  u
¿Por qué lo anterior es posible? ¿Qué permite la dualidad?
¿Qué conduce a que la selección de las x sea igual en ambos casos?
Y, ¿cuál es la implicación para la distribución del ingreso y las
interacciones sociales?
Problema del consumidor
Resultado:
1
2
max x 1 x 2

{ x 1 ,x 2 }
1
s.a. p 1 x 1  p 2 x 2  m
x 1 ( m , p1 ) 
*
x 2 (m , p 2 ) 
*
m
m
2
2
s.a. x 1 x 2  u
1
1
p1  1   2
min p 1 x 1  p 2 x 2
{ x 1 ,x 2 }
x 1 (u , p1 , p 2 ) 
*

p2 1   2
x (u , p1 , p 2 ) 
*
2
Marshalliana
u
 p1  2 


p

2
1


p1  2
 1  2
2
1
u
p 2  1  p  2
1
2
Hicksiana


p

o compensatoria
 2 1 
¿por qué?
 1  2
Problema del consumidor
Resultado:
1
m
2
max x 1 x 2
p2
{ x 1 ,x 2 }
s.a. p 1 x 1  p 2 x 2  m
m
p1
x1 ( m , p1 ) 
*
x (m, p 2 ) 
*
2
m
1
p1  1   2
m
2
p2 1   2
u ( x )
*
 x1
u ( x )
*

x
 2
TMS  Sub
x2 
m
p2

p1
p2
x1
BM  CM
p1
p
2
TES  Obj
Problema del consumidor
Resultado:
La función de demanda del bien l depende únicamente del l-avo precio,
además de ser homogéneo de grado 0 en m y p, y lineal en m. Por ello,
su elasticidad ingreso es 1.
x l (m , pl ) m
*
e x * ,m 
m
l
x
*
l
 1, para l  1 ,2 ...
Función de utilidad indirecta:
m

1
*
*
u ( x 1 , x 2 )  v ( m , p1 , p 2 )  

 p1  1   2 
m
u ( x1 , x 2 )
*
m
*

v ( m , p1 , p 2 )
m
 1  2
?
 1
p1
1
 2
m
2 


 p2 1   2 
1
2
2
p 2  1  2 ( 1   2 )
 (  1  2 )
¿A qué debería ser igual?
Problema del consumidor
Resultado:
Invertir la función de utilidad indirecta, ¿a qué conduce?
m

1
*
*
u ( x1 , x 2 )  v ( m , p1 , p 2 )  

 p1  1   2 
1
m
2 


 p2 1   2 
2
1
m ( u , p1 , p 2 ) 
u


1


p
(



)
2 
 1 1
1


2


p
(



)
2 
 2 1
1  2
2
¿Función de qué y compensatoria de qué?
Verificarlo substituyendo x 1* ( u , p 1 , p 2 ) y x *2 ( u , p 1 , p 2 )
en la función de gasto a minimizar
Problema del consumidor
Dualidad
max u ( x )
x0
x0
s.a. v ( x )  u
s.a. px  m
Resolver
Marshallia
Resolver
Hicksiana
na
*
*
x (u , p)
x (m , p)
Substituir
utilidad
min px
indirecta
v(m , p)  u( x )
*
Substituir
Inversión
función
de gasto
m ( u , p )  px
*
Problema del consumidor
utilidad
Inversión
indirecta
v(m , p)  u( x )
Identidad de Roy
*
xi ( m , p )
de gasto
m ( u , p )  px
*
Marshallia
función
*
na ( x i )
*
Diferenciación
Substitución
Hicksiana
*
xi (u , p )
*
( xi )
Problema del consumidor
Diferenciación de la función de gasto con respecto al precio
función
de gasto
 m ( u , p1 , p 2 )
p1
1
 x ( u , p1 , p 2 ) 
*
1
u
 p1  2 


p

 2 1 
 1  2
2
Cuánto debe aumentar el gasto para mantener fijo el nivel de utilidad
cuando cambia el precio del bien i depende de la demanda del bien i
Problema del consumidor
Identidad de Roy (Rene Roy)
Escribiend
o la función
de utilidad
indirecta
con m ( u , p 1 , p 2 )
v ( m , p 1 , p 2 )  v ( m ( u , p 1 , p 2 ), p 1 , p 2 )  u
y diferencia
ndo ambos lados con respecto a p 1 ( o en general
 v ( m ( u , p 1 , p 2 ), p 1 , p 2 )
p1
0
 v ( m ( u , p 1 , p 2 ), p 1 , p 2 )  m ( u , p 1 , p 2 )
m
p1

 v ( m ( u , p 1 , p 2 ), p 1 , p 2 )
 p1
 v ( m ( u , p 1 , p 2 ), p 1 , p 2 )
m ( u , p1 , p 2 )
p1
 
pi )
p1
 v ( m ( u , p 1 , p 2 ), p 1 , p 2 )
m
 x1 (m , p)
*
0
Problema del consumidor
La ecuación de Slutsky (Eugen Slutsky)
Los cambios en la demanda producto de cambios en precios dependen
de dos efectos: el efecto substitución (por el cambio en precios relativos)
y el efecto ingreso (por el cambio en poder de compra del consumidor)
 x 1 ( m , p1 )
*
p 2
 x 1 ( u , p1 , p 2 )
*

p

2

efecto substituci ón
 x 1 ( m , p1 )
*

*
x 2 ( m , p1 )
m    
  
efecto ingreso
Problema del consumidor
El problema de la maximización de la utilidad sujeto a la restricción
presupuestaria tiene como dual (i.e. como equivalente) la minimización
del gasto en bolívares fuertes necesario para alcanzar un nivel de
utilidad dado:
max u ( x )
x0

min px
x0
s.a. v ( x )  u
s.a. px  m
1  2
Ejemplo: u ( x )  x 1 x 2
1
2
max x 1 x 2
{ x 1 ,x 2 }
s.a. p 1 x 1  p 2 x 2  m

min p 1 x 1  p 2 x 2
{ x 1 ,x 2 }
1
2
s.a. x 1 x 2  u
¿Por qué lo anterior es posible? ¿Qué permite la dualidad?
¿Qué conduce a que la selección de las x sea igual en ambos casos?
Y, ¿cuál es la implicación para la distribución del ingreso y las
interacciones sociales?
Problema del consumidor
Formalmente:
1) Plantear el Lagrange y encontrar los puntos óptimos
1
2
L  x 1 x 2 -  [ p1 x 1  p 2 x 2  m ]
L
x1
0
L
x 2
0
L

0
2) Determinar si corresponde a un máximo (Hessiano restringido)
HR
  2 L ( x 1* , x *2 ,  * )

x1x1

2
*
*
*
  L(x1 , x 2 ,  )
 
x 2x 1

*
*
 g ( x1 , x 2 )

x 1

 L(x1 , x 2 ,  )
2
*
*
*
x 1x 2
 L(x1 , x 2 ,  )
2
*
*
*
x 2x 2
g ( x1 , x 2 )
*
x 2
*
g ( x1 , x 2 ) 

x1

*
*
g ( x1 , x 2 ) 

x 2


0


*
*
Problema del consumidor
Formalmente:
HR
 1 ( 1  1) x 1 1 2 x 2 2

 1 1  2 1
  1 2 x1 x 2

p1

 1 1
1 2 x1
 2 1
p1 

p2 
0 
x2
1
 22
 2 ( 2  1) x 1 x 2
p2
Hallar el determinante (regla de Laplace - Pierre-Simon Laplace
– e.g. 3 fila )
 11
H R  (  1)  p 1
4
1 2 x1
 2 1
x2
1
 1 2
 (  1)  0
6
 22
 2 ( 2  1) x 1 x 2
 1 ( 1  1) x 1
 11
1 2 x1
 2 1
x2
2
x2
p1
p2
 1 2
 (  1)  p 2
5
 11
1 2 x1
 1 ( 1  1) x 1
 11
1 2 x1
 2 1
x2
1
 22
 2 ( 2  1) x 1 x 2
 2 1
x2
2
x2
p1
p2
Problema del consumidor
Formalmente:
HR  0
queremos que sea positivo para que sea un máximo, y
determinar si lo es requiere substituir el valor de p1 y p2 por sus
respectivas ecuaciones en términos de λ
Problema del consumidor
Fin clase de hoy…
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Clase 3 Microeconomia I