Gestión de Recursos:
09 – Inventario #2
Inventario #2
Esta segunda y última clase sobre Gestión de Inventarios, analiza la política
llamada “revisión periódica con reposición hasta un nivel fijo”.
El presente material está basado en la explicación del modelo que da el Profesor
de la Universidad de Columbia Garret J. van Ryzin en el artículo “Analyzing
Inventory Cost and Service in Supply Chains”. Se recomienda altamente la
lectura completa de dicho artículo, sobre el cual tenemos la autorización expresa
del autor para su difusión en el presente curso.
Al final del material, también se incluye como Anexo algunos conceptos básicos
de Estadística, para ayudar a quienes no poseen los conocimientos de dicha
materia.
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Gestión de Recursos:
09 – Inventario #2
Revisión periódica con reposición hasta un nivel fijo
Fuente: Garrett J.van Ryzin, “Analyzing Inventory Cost and Service in Supply Chains”
l
p
l
p
l
p
2
Gestión de Recursos:
09 – Inventario #2
Revisión periódica con reposición hasta un nivel fijo
tran spo rtation p ip eline
o rde rs
lea dtim e =
dem a nd
I(t)
p ip eline inve ntory
D (0 ,t]
on-ha nd in ven tory
inv entory p osition P(t)
¿Cuánto tendré como inventario en mano dentro de
l
días?:
Lo que tengo hoy en mano, más lo que ya está en camino, menos la demanda en l días.
P(t) = Posición de inventario = en-mano + en-camino
I(t+l) = P(t) - D(t, t+ l]
 P(t) = I(t+ l) + D(t, t+ l]
Para no “quebrar stock”, debo tener hoy una posición equivalente a lo que necesito que
me quede de stock en mano dentro de l días, y la demanda que habrá en l días.
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Revisión periódica con reposición hasta un nivel fijo
Para no “quebrar stock”, debo tener hoy una posición equivalente a lo que necesito que
me quede de stock en mano dentro de l días, y la demanda que habrá en l días.
P(t) = I(t+ l) + D(t, t+ l ]
D(t, t+l] = l
l
donde l = demanda diaria (si l está en días)
I(t+ l) = ???
¿Cuánto estimo que necesitaré tener en mano dentro de
l días?
Lo suficiente para cubrir la demanda de p días = l p
 I(t+ l) + D(t, t+ l ] = l (p+ l)
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Revisión periódica con reposición hasta un nivel fijo
Entonces, debería pedir lo necesario para reponer la posición de stock al nivel l (p+ l) ?
Sí, pero como la demanda en esos p+l días es aleatoria... le agregaré a la posición de
inventario deseada, un “colchón” de seguridad.
¿Cómo cuantificar el nivel de stock de seguridad a mantener?
Suponiendo que sigue una distribución normal, y que la demanda de cada día es
independiente de la de los otros días, le sumo una cantidad de desvíos standard según el
grado de “cobertura” que me quiera asegurar = z Desvío
Como Var(X+X+...+X) = n Var(X) ==>
s (X+X+...+X) =
 Posición deseada = S = l (p+ l) + z s p+
n
s(X)
l
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Revisión periódica con reposición hasta un nivel fijo
Nivel de servicio = “Fill rate” =
f
= probabilidad de tener el inventario suficiente en mano como para responder a un pedido
Ejemplo, un valor de f=0,95 significa que sólo el 5% de los pedidos que nos hagan no podrían darse en el momento.
Intuición: si tengo más stock de seguridad, tendré mayor nivel de servicio, pero es más
caro, por los costos de almacenamiento.
No es tan directo el fill rate con la distribución normal, sino que entra en juego algo
llamado “expectativa parcial” a través de la “función de pérdida standard”, L(z):
(1 - f )l p
L( z ) =
s p+l
z
-4.0
-3.9
-3.8
-3.7
-3.6
-3.5
-3.4
-3.3
-3.2
-3.1
-3.0
-2.9
-2.8
F (z)
0.0000
0.0000
0.0001
0.0001
0.0002
0.0002
0.0003
0.0005
0.0007
0.0010
0.0013
0.0019
0.0026
Tabla
L ( z)
4.0000
3.9000
3.8000
3.7000
3.6000
3.5001
3.4001
3.3001
3.2002
3.1003
3.0004
2.9005
2.8008
z
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
F ( z)
0.5000
0.5398
0.5793
0.6179
0.6554
0.6915
0.7257
0.7580
0.7881
0.8159
0.8413
0.8643
0.8849
L ( z)
0.3989
0.3509
0.3069
0.2668
0.2304
0.1978
0.1687
0.1429
0.1202
0.1004
0.0833
0.0686
0.0561
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Revisión periódica con reposición hasta un nivel fijo
RESUMEN de la METODOLOGÍA:
l es el plazo de entrega del proveedor vigente (se supuso constante; si no, ver artículo)
l , la demanda diaria promedio (se mide)
s, el desvío standard de la demanda diaria (se mide)
p, la frecuencia de revisión, está prefijada por alguna cuestión operativa o se puede
calcular “óptimamente” utilizando, por ejemplo, el modelo EOQ.
• Dados p, l, l, s y el nivel de servicio que quiero dar, calculo LL(Z)
( z) =
• De tablas, obtengo el correspondiente valor de “z”.
(1 - f ) l p
s p+l
• Luego, puedo calcular los diferentes stocks para cuantificar los costos correspondientes:
•Stock en mano promedio:
lp
Stock cíclico
•Stock en-camino:
2
+ zs
p+l
Stock de seguridad
ll
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Revisión periódica con reposición hasta un nivel fijo
Política de pedido: cada p días, pediré la cantidad S - P(t)
[ Si p > l, que es el caso más común, eso significa directamente pedir S-I(t) ]
Notar que los modelos tipo EOQ se basan en los costos, mientras que el
modelo recién visto, se basa en el nivel de servicio objetivo.
La consideración de los costos puede aparecer en este modelo de dos
maneras:
• Cálculo de la frecuencia de revisión (p) por medio del modelo EOQ
• Elección del nivel de servicio en función del costo de la pérdida de
órdenes por no disponer de stock (si no, el modelo considera que se
puede tener órdenes pendientes sin ninguna pérdida económica)
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ANEXO: Conceptos básicos de Estadística
Fuente: adaptación del curso de estadística de M.G.Rozada
•
•
•
•
Un experimento aleatorio es un proceso o curso de acción cuyo
resultado es incierto, y, sin embargo, existe una distribución regular de
repeticiones después de un gran número de realizaciones del
experimento.
Cada realización de un experimento aleatorio puede dar resultados
diferentes, por lo tanto, sólo podemos referirnos a la probabilidad de
ocurrencia de un cierto resultado.
La probabilidad de cualquier resultado de un experimento aleatorio es la
proporción de veces que el resultado se da después de una larga serie
de repeticiones del experimento.
Los eventos A y B son independientes si la ocurrencia de un evento no
cambia la probabilidad de ocurrencia del otro evento. Si no, son
dependientes.
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ANEXO: Esperanza
•
El Valor Esperado o Esperanza Matemática de una variable aleatoria
X es el promedio ponderado de todos los posibles valores que la misma
puede adoptar, donde los ponderadores son las probabilidades
correspondientes de cada xi.
•
Propiedades de la Esperanza:
E(c) = c
E(c X) = c E(X)
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
E(X - Y) = E(X) - E(Y)
E(XY) = E(X) E(Y) si X y Y son variables aleatorias independientes.
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ANEXO: Varianza y Desvío Standard
•
Sea X una variable aleatoria discreta que toma valores xi con
probabilidades p(xi), y sea E(xi)=m. La varianza de X es definida como:

σ = E (X - μ)
2
2
 =  (x
- μ) p(x i )
2
i
 xi
•
La varianza es la suma ponderada de las desviaciones al cuadrado de X a
su media (m), donde los ponderadores son las correspondientes
probabilidades de cada xi.
•
La desviación standard s es la raíz cuadrada de la varianza.
• Propiedades de la Varianza:
Var(c) = 0
Var(c X) = c2 Var(X)
Si son independientes las variables:
Var (X + X + X...) = Var(X) + Var(X) + Var(X)...
Var (aX ± bY) = a2 Var(X) + b2 Var(Y)
(Notar que sea suma o resta, las varianzas se suman)
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ANEXO: Distribución Normal
•
•
En los procesos naturales, siempre hay dispersión.
En muchos casos, se da una distribución de frecuencia (ó de probabilidades)
simétrica, llamada Curva Normal ó Campana de Gauss.
•
Los dos parámetros que la definen son la media (m) y el desvío standard (s)
Curvas con mismo s pero diferente m:
m = 10 m = 11 m = 12
Curvas con mismo m pero diferente s:
s= 2
s =3
s =4
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ANEXO: Distribución Normal
•
El 68% de las observaciones se encuentra entre m  s
•
El 95% de las observaciones se encuentra entre m  2 s
•
El 99,7% de las observaciones se encuentra entre m  3 s
68%
95%
99,7%
•
Se puede estandarizar la curva, y encontrar en tablas las probabilidades para
cualquier valor de desvíos a la derecha o a la izquierda de la media.
x - m
z =
s
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