Capítulo 9B - Conservación de la
cantidad de movimiento
Presentación PowerPoint de
Paul E. Tippens, Profesor emérito
Southern Polytechnic State University
©
2007
La cantidad de
movimiento se
conserva en el
lanzamiento de
este cohete. Su
velocidad y carga
las determinan la
masa y velocidad
con que expulsa
los gases.
Fotografía: NASA
NASA
Objetivos: Después de completar
este módulo, deberá:
• Conocer la ley de la conservación de la cantidad de
movimiento para aplicarla en la solución de
problemas.
• Distinguir la definición y ejemplos de choques
elásticos e inelásticos.
• Predecir las velocidades del choque de dos cuerpos
dados los coeficientes de restitución, masas y
velocidades iniciales.
Choque de dos masas
Cuando dos masas m1 y m2 chocan, use el símbolo u para
describir las velocidades antes del choque.
Antes
m1
u1
u2
m2
El símbolo v describe las velocidades después del choque.
v1
Después
m1
m2
v2
Choque de dos bloques
Antes
m1
“u”= Antes
Después v1
m1
u1
u2
Choque
m1
m2B
m2
“v” = Después
m2
v2
Conservación de la energía
u2
u1
m1
m2
La energía cinética antes del choque es
igual a la energía cinética después del
choque más la energía perdida en el
choque.
1
2
mu 
2
1 1
1
2
m 2u 
2
2
1
2
mv 
2
1 1
1
2
m 2 v  L oss
2
2
Ejemplo 1. Una masa de 2-kg se mueve a
4 m/s al chocar con otra con masa inicial, en
reposo, de 1-kg. Después del choque, la masa
de 2-kg se mueve a 1 m/s y la de 1-kg a
3 m/s. ¿Cuánta energía se perdió en la
colisión?
Es importante trazar un dibujo con los símbolos
y la información apropiados.
u1 = 4 m/s
m1
u2 = 0
m2
m1 = 2 kg
m1 = 1 kg
ANTES
v1 = 1 m/s
m1
m1 = 2 kg
v2 = 2 m/s
m2
m1 = 1 kg
DESPUÉS
Ejemplo 1 (continuación). ¿Cuánta
energía se perdió en el choque?
La energía se conservó.
u2 = 0
u1 = 4 m/s
m1
DESPUÉS:
1
2
1
2
m1 = 1 kg
m 1u 1 
2
m1 v1 
2
1
2
1
2
v2 = 2 m/s
m1
m2
m1 = 2 kg
ANTES:
v1 = 1 m/s
m1 = 2 kg
m 2u 2 
2
m 2 v2 
2
m2
1
2
1
2
m1 = 1 kg
(2 kg)(4 m /s)  0  16 J
2
(2 kg)(1 m /s) 
2
1
2
(1 kg)(2 m /s) 
Conservación de la energía: K(Antes) =
K(Después) + Pérdida
Pérdida = 16 J – 3 J
Energía perdida = 15 J
2
Impulso y cantidad de
movimiento
A
-FA Dt
vA
uA uB
B
B
Impulso = Dp
FB Dt
FDt = mvf– mvo
Opuesto pero igual F Dt
B
A
vB
FBDt = -FADt
mBvB - mBuB = -(mAvA - mAuA)
Simplificación:
mAvA + mBvB = mAuA + mBuB
Conservación de la cantidad de
movimiento
La cantidad de movimiento total DESPUÉS del
choque es igual a la cantidad de movimiento total
ANTES del choque.
mAvA + mBvB = mAuA + mAuA
A
-FADt
vA
A
uA uB
B
B
FB Dt
B
vB
Recuerde que la energía
total también se conserva:
Energía cinética: K = ½mv2
KB0 + KB0 = KAf + KBf + Pérdida
Ejemplo 2: Un bloque de 2-kg A y otro de
1-kg, B, atados a una cuerda, son
impulsados por un resorte. Cuando la
cuerda se rompe, el bloque de 1-kg se
mueve ahacia la derecha a 8 m/s. ¿Cuál es
la velocidad del bloque de 2 kg?
Las velocidades iniciales
eran cero, así que la
A
B
cantidad de movimiento
total liberada antes es cero.
0
0
mAvA + mBvB = mAuA + mBuB
mAvA = - mBvB
vA = -
mBv B
mA
Ejemplo 2 (continuación)
2 kg
A
B
1 kg
vA2
A
8 m/s
B
0
mAvA+ mBvB = mAuA + mBuB0
mB v B
vA = mAvA = - mBvB
mA
vA = -
(1 kg)(8 m/s)
(2 kg)
vA = - 4 m/s
Ejemplo 2 (cont.): Ignore la fricción,
¿cuánta energía fue liberada por el resorte?
2 kg
A
B
1 kg
Cons. de E:
4 m/s
½kx2
8 m/s
A
B
2
= ½ mAvA + ½mBvB2
½kx2 = ½(2 kg)(4 m/s)2 + ½(1 kg)(8 m/s)2
½kx2 = 16 J + 32 J = 48 J
½kx2 = 48 J
¿Elástico o inelástico?
Un choque elástico no
pierde energía. La
deformación por el
choque se restablece.
En un choque inelástico,
la energía se pierde y la
deformación puede ser
permanente. (Dé click.)
Choques completamente
inelásticos
Son los choques en que dos objectos se
adhieren y tienen una velocidad común
después del impacto.
Antes
Después
A
Ejemplo 3: Un receptor de 60-kg mantiene
su posición sin fricción en una superficie
congelada. Captura el balón de 2-kg y se
mueve a 40 cm/s. ¿Cuál es la velocidad
inicial del balón?
Dado: uB= 0; mA= 2 kg; mB= 60 kg;
vA= vB= vC vC = 0.4 m/s
B
0
Cantidad de movimiento:
mAvA + mBvB = mAuA + mBuB
Choque inelástico:
(mA + mB)vC = mAuA
(2 kg + 60 kg)(0.4 m/s) = (2 kg)uA
uA= 12.4 m/s
Ejemplo 3 (cont.): ¿Cuánta energía se
perdió en la captura del balón?
1
2
m Au 
2
A
1
2
0
mBu 
2
B
1
2
( m A  m B ) v  Loss
2
C
½(2 kg)(12.4 m/s)2 = ½(62 kg)(0.4 m/s)2 + Pérdida
154 J = 4.96 J + Pérdida
Pérdida = 149 J
¡¡97% de la energía se perdió en el choque!!
General:
Completamente inelástico
Son los choques en que dos objectos se
adhieren y tienen una velocidad común vC
después del impacto.
Conservación de la cantidad de
movimiento:
( m A  m B ) vc  m A u A  m B u B
Conservación de la energía:
1
2
m Au 
2
A
1
2
mBu 
2
B
1
2
( m A  m B ) v  L oss
2
c
Ejemplo 4. Un patinador de 87-kg, B, choca con
otro de 22-kg, A, en reposo, al inicio, sobre el hielo
Después del choque ambos se mueven a 2.4 m/s.
Encuentre la velocidad del patinador B antes del
choque.
Velocidad común después
del choque: 2.4 m/s.
uA = 0
uB = ?
vB= vA = vC = 2.4 m/s
m A u A  m B u B  ( m A  m B ) vC
87 kg
A
22 kg
B
(87 kg)uB = (87 kg + 22 kg)(2.4 m/s)
(87 kg)uB =262 kg m/s
uB = 3.01 m/s
Ejemplo 5: Una bala de 50 g pega en un
bloque de 1-kg, lo atraviesa y se aloja en
un bloque de 2 kg. Enseguida, el bloque
de 1 kg se mueve a 1 m/s y el de 2 kg a
2 m/s. ¿Cuál es la velocidad de entrada
de la bala?
u A= ?
2 kg
1 kg
1 m/s
1 kg
2 kg
2 m/s
¿Cuál es la velocidad de entrada
de la bala?: mA= 0.05 kg; uA= ?
50 g
Cantidad de movimiento después =
A
C
B
1 kg
2 kg
1 m/s
1 kg
2 kg
Cantidad de movimiento antes =
0
0
mAuA + mBuB + mCuC = mBvB + (mA+mC) vAC
(0.05 kg)uA =(1 kg)(1 m/s)+(2.05 kg)(2 m/s)
(0.05 kg) uA =(5.1 kg m/s)
uA= 102 m/s
2
Choques completamente
elásticos
Cuando dos objetos chocan de modo tal que
la energía cero se pierde en el proceso.
¡APROXIMACIONES!
Velocidad en choques elásticos
uA
vA
A
A
B
uB
B
vB
1. Pérdidad de energía cero.
2. No cambian las masas.
3. Cantidad de movimiento conservada.
Igual pero impulsos opuestos (F Dt) entonces:
(Relativa Dv Después) = - (Relativa Dv Antes)
Choques elásticos:
vA - vB = - (uA - uB)
Ejemplo 6: Una pelota de 2-kg se mueve
a la derecha a 1 m/s y golpea a una
pelota de 4-kg que se mueve hacia la
izquierda a 3 m/s. ¿Cuáles son las
velocidades después del impacto,
suponga elasticidad completa?
1 m/s
3 m/s
A
vA 1 kg
A
B
2 kg
vB
B
vA - vB = - (uA - uB)
vA - vB = uB - uA
vA - vB = (-3 m/s) - (1 m/s)
De la conservación de la energía (relativa v):
vA - vB = - 4 m/s
Ejemplo 6 (continuación)
Energía: vA - vB = - 4 m/s
3 m/s
1 m/s
A
Cantidad de movimiento conservada: v 1 kg
A
mAvA + mBvB = mAuA + mBuB
A
B
2 kg v
B
B
(1 kg)vA+(2 kg)vB=(1 kg)(1 m/s)+(2 kg)(-3 m/s)
Dos ecuaciones
independentes para
resolver:
vA + 2vB = -5 m/s
vA - vB = - 4 m/s
Ejemplo 6 (continuación)
vA + 2vB = -5 m/s
vA - vB = - 4 m/s
Reste:
0 + 3vB2 = - 1 m/s
vB = - 0.333 m/s
Sustituya:
vA - vB = - 4 m/s
3 m/s
1 m/s
A
1 kg
vA
A
B
2 kg v
B
B
vA2 - (-0.333 m/s) = - 4 m/s
vA= -3.67 m/s
Ejemplo 7. Una bala de 0.150 kg es disparada a 715 m/s
hacia un bloque de madera de 2-kg en reposo. Al contact
el bloque sale a 40 m/s. La bala atraviesa el bloque, ¿a qu
velocidad sale la bala?
A
m A v A  m B v B  m Au A  m B u B
B
uB = 0
(0.150 kg)vA+ (2 kg)(40 m/s) = (0.150 kg)(715 m/s)
0.150vA+ (80 m/s) = (107 m/s)
0.150vA = 27.2 m/s)
vA = 181 m/s
vA 
27.2 m /s
0.150
Ejemplo 8a: Choque inelástico: halle vC.
2 m/s
uB=0
5 kg
7.5 kg
A
vC común
B
vC
m A u A  m B u B  ( m A  m B ) vC
(5 kg)(2 m/s) = (5 kg + 7.5 kg)vC
12.5 vC =10 m/s
después
A
Después del golpe: vB= vA= vC
B
vC = 0.800 m/s
En un choque completamente inelástico las dos
bolas se adhieren y se mueven como una sola
después del choque.
Example 8. (b) Choque elástico: Halle vA2 y vB2
2 m/s
Conservación de la cantidad de
movimiento:
vB1=0
5 kg
7.5 kg
A
vA
B
vB
A
B
m Av A  m Av A  m B vB
(5 kg)(2 m/s) = (5 kg)vA2 + (7.5 kg) vB
5 vA + 7.5 vB = 10 m/s
Para choques elásticos:
v A  v B   (u A  u B )
v A  v B   2 m/s
Continúa . . .
Ejemplo 8b (cont). Choque elástico: halle vA & v
Solución simultánea:
x (-5)
v A  v B   2 m/s
2 m/s
5 kg
5 vA + 7.5 v B = 10 m/s
A
vB =0
7.5 kg
A
B
vA
vB
B
5 vA + 7.5 vB = 10 m/s
-5 vA + 5 vB = +10 m/s
12.5 vB = 20 m/s
vB 
20 m /s
12.5
 1.60 m /s
vA - 1.60 m/s = -2 m/s
vA = -0.400 m/s
vB = 1.60 m/s
General: Completamente elástico
La energía cero se pierde durante el
choque (el caso ideal).
Conservación de la cantidad de movimiento:
m A v A  m B v B  m Au A  m B u B
Conservación de la energía:
1
2
m Au 
2
A
1
2
mBu 
2
B
1
2
m Av 
2
A
v A  vB  u B  u A
1
2
m B v  L oss
2
B
Ejemplo 9: Una bala de 50 g penetra un
bloque de 2-kg de arcilla colgado de una
cuerda. La bala y la arcilla se elevan a una
altura de 12 cm. ¿Cuál era la velocidad de la
masa de 50-g antes de incrustarse?
B
uA
A
B
A
¡El péndulo balístico!
12 cm
Ejemplo (continuación):
Choque y cantidad de
movimiento:
mAuA+0= (mA+mB)vC
2.05 kg
B
uA
A
(0.05 kg)uA = (2.05 kg)vC
Para hallar vA necesita vC .
50 g
12 cm
2 kg
Después del choque, energía es conservada por
las masass.
1
2
( m A  m B ) v  ( m A  m B ) gh
2
C
vC =
2gh
Ejemplo (continuación):
vC = 2gh = 2(9.8)(0.12)
Después del choque: vC = 1.53 m/s
Cantidad de movimiento
conservada:
mAuA+0= (mA+mB)vC
2.05 kg
B
uA
A
50 g
2 kg
(0.05 kg)uA = (2.05 kg)(1.53 m/s)
uA = 62.9 m/s
12 cm
Resumen de Fórmulas:
Conservación de la cantidad de movimiento:
m A v A  m B v B  m Au A  m B u B
Conservación de la energía:
1
2
m Au 
2
A
1
2
mBu 
2
B
Sólo para choque
elástico:
1
2
m Av 
2
A
1
2
m B v  L oss
2
B
v A  vB  u B  u A
CONCLUSIÓN: Capítulo 9B
Conservación de la cantidad
de movimiento
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