Centro de Competencias de la
Comunicación
Universidad de Puerto Rico en Humacao
EDADES
Veces que salen
a comer fuera
durante una
semana
E1
E5
Menores
de 30
E6
30 a 50
E7
Mayores
de 50
e1
200
e2
100
e3
100
400
e4
600
e5
900
e6
400
1900
e7
400
e8
600
e9
500
1500
e10
700
e11
500
e12
0
1200
1900
2100
1000
5000
TOTAL
10 o mas veces
E2
3 a 9 veces
E3
Las reglas de
probabilidad
1 a 2 veces
E4
Menos de una
vez
TOTAL
Walter López Moreno, MBA, cDBA
Tabla de contenido
Introducción
Objetivo general
Objetivos específicos
Instrucciones de cómo usar la presentación
Glosario de términos
Las reglas de probabilidad
Utilidad
Descripción de las reglas
Tabla de ejemplo
Probabildad marginal
Probabilidad conjunta
Cómputo de la probabilidad
Ejercicios
Ejercicios de prueba
Ejercicios de redacción
Repaso de conceptos
Referencias
Introducción
El concepto de probabilidad tuvo su origen en los juegos de dados,
cartas y el tiro de la moneda. Luego se implementó en problemas
sociales y económicos.
Las probabilidades son muy útiles para tomar decisiones de posibles
resultados futuros. Para utilizarlas es necesario seguir ciertas reglas
generales.
En este módulo se describen las reglas de probabilidad utilizando
ejemplos, ejercicios y enlaces que incluyen video y audio. El mismo
va dirigido a todos los/as estudiantes de Administración de
Empresas.
Objetivos que persigue la presentación
Objetivo general
Esperamos que cuando termine esta presentación pueda utilizar
las reglas de probabilidad para resolver problemas con el
método clásico, de frecuencia relativa o distribuciones de
frecuencias normal, binomial o de poisson.
Objetivos específicos
Además, esperamos que pueda:



Aplicar las reglas de suma, condicional y las de multiplicación.
Interpretar los eventos dependientes, independientes y los
mutuamente excluyentes.
Identificar probabilidades conjuntas y marginales aplicando las
reglas aprendidas en este módulo.
Instrucciones de cómo usar la
presentación
La presentación inicia con la descripción de cada regla.
Se recomienda que tengas acceso a Internet mientras trabaja la
presentación
Siempre que se presente la siguiente figura:
puede presionarla para navegar adecuadamente
a través de toda la presentación.
Luego de leer el material que sirve de introducción, podrá
establecer enlaces que demuestran los conceptos teóricos.
Glosario de términos
 Experimento - Proceso que produce algún resultado.
 Experimento aleatorio – Experimento que se puede repetir.
 Evento o suceso – Es el resultado conocido o desconocido de un
experimento.
 Evento elemental – Es un resultado particular el cual no se puede
subdividir como por ejemplo la selección de una moneda.
 Evento compuesto – Hay más de un resultado. Por ejemplo, que
en la selección de la moneda se vea cara o cruz.
 Espacio muestral – Es la colección de todos los posibles eventos
que pueden surgir de un experimento. Por ejemplo, el espacio
muestral de E es (e1, e2, e3).
(El glosario de términos continúa en la próxima lámina)
Glosario de términos
 Eventos mutuamente excluyentes – Son eventos que no pueden
ocurrir al mismo tiempo. Si sale 2 en un dado no puede salir 5 en
el mismo tiro.
 Evento independiente – La ocurrencia de un evento no tiene
influencia en la ocurrencia de otro evento. Si sale 2 en un dado
no afecta el número que salga en el próximo tiro.
 Evento dependiente – La ocurrencia de un evento influye en la
ocurrencia de otro evento. Si un proyecto se empieza tarde otro
proyecto que dependa del mismo requerirá tiempo adicional.
 Con reemplazo - Que se incluye nuevamente en la muestra o
grupo de origen.
Vea otros ejemplos
relacionados a las definiciones.
Las reglas de probabilidad
El cálculo de probabilidades tuvo
un notable desarrollo con el trabajo
del suizo Jacob Bernoulli (1654-1705)
El francés Abraham de Moivre
(1667-1754) abundó en las reglas
de probabilidad.
Utilidad
Las reglas que se presentan en este
módulo se utilizan para:
 facilitar el cómputo de probabilidades asociadas a sucesos y
fenómenos que siguen un modelo probabilístico.
 definir el máximo y mínimo de una probabilidad.
 permitir la sumar, restar, división y multiplicación de la
probabilidad de un evento o suceso.
 relacionar la probabilidad de un evento dependiente o
independiente.
 obtener la probabilidad condicional de un segundo evento.
Descripción de las reglas
 La reglas 1 y 2 definen los límites de las
probabilidades.
 De la 3 a la 5 se conocen como las reglas de suma.
 Las reglas 6 y 7 se aplican a probabilidad condicional.
 La 8 y 9 se conocen como las reglas de multiplicación.
A continuación se dará una descripción de las 9 reglas de
probabilidad incluyendo un colorario de las primeras dos.
Los enlaces contienen ejemplos y gráficos que ayudan al
entendimiento de las reglas presentadas.
Regla #1
Regla del rango de la probabilidad
0 < P(E) < 1
Para cualquier evento E, la probabilidad de que ocurra
ese evento está entre 0 y 1. Si estamos seguros de
que algo puede ocurrir, podemos asignar al evento la
probabilidad de 0.0 ó 1.0
Regla # 2
Regla del 1
∑ P(e) = 1
La probabilidad de todos los eventos elementales suman 1.
Ejemplo: la probabilidad de que salga cara en una
moneda es de 0.50 mas la probabilidad de que salga
cruz es de 0.50. El total es 1.
Vea ejemplos y conceptos
relacionados a las reglas 1 y 2
Colorario de las reglas
#1 y #2
Regla del suceso contrario
P(Ë) = 1 – P(E)
La probabilidad del complemento de un evento E, es 1
menos la probabilidad de ese evento.
Ejemplo: La probabilidad de que salga 2 ó 3 en un dado
es 2 de 6 (2/6). La probabilidad de que no salga 2 ó 3
será 1 – 2/6 = 4/6 = 2/3
Regla # 3
Regla de suma para eventos elementales (e)
Si E=(e1,e2,e3)
entonces
P(E)=P(e1)+P(e2)+P(e3)
La probabilidad de un evento compuesto E es
igual a la suma de las probabilidades de los
eventos elementales que lo forman (su espacio
muestral).
Regla # 4
Regla de suma para eventos
mutuamente no excluyentes
P(E1 ó E2) = P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 y E2)
La probabilidad de que ocurran los eventos no
excluyentes P(E1 ó E2) que es lo mismo que
P(E1 U E2) es la suma de sus probabilidades
individuales P(E1) más P(E2) menos la probabilidad
conjunta de ambos eventos P(E1 y E2) que también se
escribe como P(E1 ∩ E2).
Regla # 5
Regla de suma para eventos mutuamente
excluyentes
P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2)
La probabilidad de que ocurran los eventos
mutuamente excluyentes E1 y E2 es la suma
de sus probabilidades individuales P(E1) y
P(E2)
Presione para ver una
explicación gráfica sobre
uniones e intersecciones de
eventos o sucesos
Regla # 6
Regla de probabilidad condicional para dos
eventos dependientes E1 y E2
P(E1/E2) = P(E1 ∩ E2)/P(E2) en donde P(E2) es mayor que cero
P(E1/E2) se lee como probabilidad de E1 dado que ha ocurrido E2.
***No es una división de la probabilidad de E1 entre E2***
La probabilidad de que ocurra el evento E1 dado que ha ocurrido el
evento E2, es la probabilidad conjunta de ambos eventos E1 y E2,
dividido por la de E2 donde esta última debe ser mayor de cero.
Regla # 7
Regla de probabilidad condicional para dos eventos
independientes E1 y E2
P(E1/E2) = P(E1)
La probabilidad de que ocurra el evento E1 dado que
ha ocurrido el evento E2, es la probabilidad de que
ocurra el evento E1.
Regla # 8
Regla de multiplicación para dos eventos dependientes E1 y E2
P(E1 y E2) = P(E1∩E2) = P(E1) P(E2/E1)
Es útil cuando necesitamos encontrar la probabilidad conjunta
pero no tenemos las frecuencias relativas. La probabilidad
conjunta de dos eventos E1 ∩ E2, es el producto de la
probabilidad individual de E1 por la probabilidad condicional de E2
dado que ha ocurrido E1.
¿Cuál será la probabilidad de escoger dos ases corridas (sin
reemplazo) de un paquete de 52 cartas?
P(E1) es la probabilidad de escoger el primer as = 4/52
P(E2) es la probabilidad de escoger el segundo as = 3/51
El resultado será 4/52 * 3/51 = 12/2652 = 0.0045
Regla # 9
Regla de multiplicación para dos eventos independientes E1 y E2
P(E1 ∩ E2) = P(E1) P(E2)
La probabilidad conjunta de dos eventos E1 y E2 es el producto
de la probabilidad de E1 por la probabilidad de E2.
¿Cuál será la probabilidad de escoger dos Ases corridas (con
reemplazo) de un paquete de 52 cartas?
P(E1) es la probabilidad de escoger el primer As = 4/52
P(E2) es la probabilidad de escoger el segundo As = 4/52
El resultado sería 4/52 * 4/52 = 16/2704 = 0.006
Presione para mayor información de
probabilidad condicionada incluyendo el
Teorema de Bayes
Reglas de probabilidad
Tabla de ejemplo
En la siguiente tabla tenemos un resumen de tres grupos divididos por
edades y las veces que comen fuera de la casa por semana.
EDADES
Veces que salen a
comer fuera por
semana
E5
Menores de
30
E6
30 a 50
E7
Mayores de
50
TOTAL
E1
e1
e2
E3
400
10 o más veces
E2
200
e4
100
E5
100
e6
1900
3 a 9 veces
E3
600
e7
900
E8
400
E9
1500
1 a 2 veces
E4
400
e10
600
e11
500
e12
1200
Menos de una vez
700
500
0
TOTAL
1900
2100
1000
5000
Probabilidad marginal
Probabilidad marginal – Representada en letra mayúscula al margen de la tabla
EDADES
Marginal
Veces que salen a
comer por
semana
E5
Menores de
30
E6
30 a 50
E7
Mayores de
50
TOTAL
E1
e1
e2
e3
400
10 o más veces
E2
200
e4
100
e5
100
e6
1900
3 a 9 veces
E3
600
e7
900
e8
400
e9
1500
1 a 2 veces
E4
400
e10
600
e11
500
e12
1200
Menos de una vez
700
500
0
TOTAL
1900
2100
1000
5000
Probabilidad conjunta
EDADES
Veces que salen a
comer fuera por
semana
E5
Menores de
30
E6
30 a 50
E7
Mayores de
50
TOTAL
E1
e1
e2
e3
400
10 o más veces
E2
200
e4
100
e5
100
e6
1900
3 a 9 veces
E3
600
e7
900
e8
400
e9
1500
1 a 2 veces
E4
400
e10
600
e11
500
e12
1200
Menos de una vez
700
500
0
TOTAL
1900
2100
1000
Conjunta
5000
Probabilidad conjunta representada en letra minúscula dentro de la tabla.
Cómputo de la probabilidad
EDADES
Probabilidad
de e1 = 0.04
Veces
que
salen a
comer
fuera
durante
una
semana
E1
E5
E6
E7
Menores de 30
30 a 50
Mayores de 50
e1
e2
e3
10 o mas
veces
E2
200/5000=0.04
100/5000=0.02
100/5000=0.02
e4
e5
e6
3a9
veces
E3
600/5000=0.12
900/5000=0.18
400/5000=0.08
e7
e8
e9
1a2
veces
E4
400/5000=0.08
600/5000=0.12
500/5000=0.10
e10
e11
e12
Menos de
una vez
TOTAL
700/5000=0.14
500/5000=0.10
0/5000=0.00
1900/5000=0.38
2100/5000=0.42
1000/5000=0.20
TOTAL
Probabilidad
de E2 = 0.38
400/5000=0.08
1900/5000=0.38
1500/5000=0.30
1200/5000=0.24
5000/5000=1.00
Todo se
divide entre el
total de 5000
Ejercicios
Los siguientes ejercicios le permitirán relazar los
conceptos y reglas estudiadas en este módulo. Cada
ejercicio incluye la idea de cómo hacer el cómputo.
Para contestarlos utilice la tabla de ejemplo presentada
en las láminas anteriores.
Ejercicios
Use la tabla de ejemplo
1 - Compruebe las reglas 1 y 2 sumando todos los eventos elementales.
La suma de todas las probabilidades conjuntas designada como “e”,
debe ser igual a uno.
2 - Utilice la regla 3 para determinar la probabilidad de que las personas
menores de 30 años salgan a comer fuera. Sume las probabilidades
P(e1) + P(e4) + P(e7) + P(e10). Debe ser igual P(E5)=0.38.
3 - Con la regla del suceso contrario determine la probabilidad de que las
personas menores de 30 años no salgan a comer fuera. Debes restar uno
menos la probabilidad del ejercicio anterior. Esto es 1-P(E5).
4 – Utilice la regla 4 para conseguir la probabilidad de personas que coman
fuera 3 a 9 veces por semana o que sean mayores de 50 años. Haga el
siguiente computo: P(E2) + P(E7) – P(E2 ∩E7)
En este caso P(E2 ∩E7) es igual a P(e6) que es 0.08.
(Los ejercicios continúan en la próxima lámina)
Ejercicios
Use la tabla de ejemplo
5 – Utilice la regla 5 para conseguir la probabilidad de personas que
coman fuera de 1 a 2 veces o de 3 a 9 veces por semana. El
resultado lo obtendrá con la suma P(E2) + P(E3).
6 – Con la regla 6 determine la probabilidad encontrar personas que
coman fuera menos de una vez dado de que son menores de 30
años. Esto es P(E4/E5) = P(E4 ∩ E5)/P(E5)
7 – Con la regla 7 demuestre la probabilidad de encontrar personas
menores de 30 dado de que hay personas mayores de 50. Esto es
P(E5/E7) debe ser igual a P(E5).
Ejercicios de redacción
Use la tabla de ejemplo
1 - Mencione cuáles de los eventos en la tabla son independientes
y cuáles son dependientes. Mencione si hay eventos mutuamente
excluyentes. Explique su razonamiento de acuerdo a las
definiciones presentadas en este módulo.
2 - Dé ejemplos de eventos elementales y compuestos.
3 - Escriba sobre cuál es el espacio muestral de los eventos E2,
E4, E5 y E7.
Repaso de conceptos
Observe un video de repaso de los conceptos y las reglas de probabilidad
Referencias
Anderson, S. (2006). Estadísticas para administración y economía. (8tva edición). México: Thomson.
Newbold P. (2003). Statistics for Business And Economics. (5ta. ed.). New Jersey: Prentice Hall.
Bluman, A. G. (2007) Statistics. (6ta ed.). New York: Mc Graw Hill.
Curso Interactivo de Probabilidad de la Universidad de Costa Rica
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Probabilidad/index.html
Video de Repaso Universidad de Málaga España
http://campusvirtual.uma.es/est_fisio/apuntes/tema4/index.html
Prueba virtual de la moneda
http://descartes.cnice.mecd.es/Estadistica/Azar_y_Probabilidad/comenzando.htm
Ejercicios de probabilidad
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ggarrigo/ccaa/hoja1.pdf
Ejercicios de probabilidad
http://www.math-online.cl/paa/probabilidades.pdf
Referencias
Referencia de L. Paula (2001) Introducción al cálculo de probabilidades mediante casos reales España
http://optimierung.mathematik.unikl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver_texte/prob_spanish.pdf
videos gratis de estadísticas
http://sofia.fhda.edu/gallery/statistics/resources.html
Referencia
http://www.ing.unp.edu.ar/estadisitio/index.html
http://descartes.cnice.mecd.es/index.html
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