PROFESORA: GLADYS ZORRILLA
OBJETIVOS:
• 1) Identificar los teoremas de Thales en su
forma particular y general.
• 2) Aplicar los teoremas de Thales en ejercicios
prácticos y problemas de planteo.
Nació alrededor del año 640 AC en
Mileto, Asia Menor (ahora Turquía).
Era un hombre que se destacó en
varia áreas como: comercio,
ingeniería, astronomía y geometría.
Fue considerado uno de los siete
sabios de Grecia
Una anécdota contada por Platón:
“Una noche Thales estaba observando
el cielo y tropezó. Un sirviente lo
Levantó y le dijo: cómo pretendes
entender lo que pasa en el cielo, si no
puedes ver lo que está a tus pies”.
 Se cuenta que comparando la sombra de un bastón y la sombra de
las pirámides, Thales midió, por semejanza, sus alturas respectivas.
La proporcionalidad entre los segmentos que las rectas paralelas
determinan en otras rectas dio lugar a lo que hoy se conoce como
el teorema de Thales.
Puesto que los rayos del Sol inciden paralelamente sobre la
Tierra, se pueda observar que:
Los
triángulos
rectángulos
determinados por la altura de la
pirámide y su sombra y el
determinado por la altura del
bastón y la suya son semejantes
Podemos, por tanto, establecer la proporción
H =h
s
S
De donde
H= h•S
s
de la
pirámide)
(altura de
bastón)
bastón)
Pirámide
H(altura
h
s (sombra
Rayos solares
S
(sombra
pirámide)
Aplicaciones de esta idea…
Calcula la altura del siguiente edificio
Escribimos la proporción
x
15

5
3
x
y al resolverla tenemos
3 • x = 5 • 15
x = 75
3
X = 25 m
5 m
3 m
12 m
15 m
1ER TEOREMA PARTICULAR DE THALES: Al cortar los lados de un ángulo
por dos paralelas, los segmentos que intersecan los lados son
proporcionales.
HIPÓTESIS:
L1 // L2
TESIS:
PA
AC

PB
BD
EJEMPLO 1: En la figura L1 // L2 // L3 , T y S transversales, calcula la medida del
L1
trazo x
Ordenamos los datos en
la proporción, de acuerdo
al teorema de Thales
Es decir:
8
x
=
24
15
Y resolvemos la proporción
24 • x = 8 • 15
X =8 • 15
24
X = 5
L2
T
x
S
8
24
15
L3
EJEMPLO 2: En la figura L1 // L2 // L3 , T y S son transversales, calcula x y el trazo
CD
L3
L2
Formamos la proporción
3
2
=
x+4
x+1
x+1
L1
D
Resolvemos la proporción
3(x + 1) = 2(x + 4)
3x + 3 = 2x + 8
T
x+4
C
3x - 2x = 8 - 3
X=5
Luego, como CD = x + 4
S
3
CD= 5 + 4 = 9
2
2DO TEOREMA PARTICULAR DE THALES: Al cortar los lados de un ángulo
por dos paralelas, los segmentos que se forman desde el vértice a los
puntos de intersección de las paralelas son proporcionales entre sí.
HIPÓTESIS:
L1 // L2
TESIS:
PA
PC

PB
PD
•EJEMPLO 1: En el dibujo: Si L1 // L2 // L3, entonces
AC mide?.
Aplicando Thales, tenemos:
x
6x  2

3
S
T
15
D
A
15 x  3 ( 6 x  2 )
B
3
E
L2
15 x  18 x  6
6  18 x  15 x
X
L1
C
5X-2
12
F
x2
AC  6  x  2  6  2  2  10
L3
•EJEMPLO 2: En el dibujo: Si L1 // L2 // L3, entonces
el valor de x es?.
15  x
x4

18  x
x4
(15  x )( x  4 )  ( x  4 )( 18  x )
15x +60 –x2 -4x = 18x –x2 -72 +4x
60  72  18 x  4 x  15 x  4 x
132  11 x
12  x
3ER TEOREMA PARTICULAR DE THALES: Al cortar los lados de un ángulo
por dos paralelas, éstas son entre sí como los segmentos medidos desde
las paralelas al vértice.
HIPÓTESIS:
L1 // L2
TESIS:
PA
PC

AB
CD
•EJEMPLO : En el dibujo: Si L1 // L2 , entonces el
valor de BC es?.
3
2x  2

4
2x  6
3( 2 x  6 )  4 ( 2 x  2 )
6 x  18  8 x  8
18  8  8 x  6 x
10  2 x
5  x
BC  2 * 5  1  9
Triángulos de Thales
En dos triángulos de Thales, sus lados, tienen la misma
razón de semejanza
A
De acuerdo a esto, en la figura BC// ED,
entonces, con los lados de los triángulos AED y
ABC ocurre:
AE
ED
=
AB
BC
E
O también
AE = AB
ED
BC
B
A esta forma de
tomar los trazos, se le
llama “la doble L”
D
C
EJEMPLO: En el triángulo ABC, DE//BC . Calcule x y el
trazo AE
Por que
x+3+x = 2x+3
Formamos la proporción
x+3
8
C
2x+3
=
12
D
Resolvemos la proporción
8
8(2x + 3) = 12( x + 3)
16x + 24 = 12x + 36
16x – 12x = 36 – 24
4x = 12
12
A
x+3
E
X = 12 = 3
4
Por lo tanto, si AE = x + 3 = 3 + 3 =
x
6
B
"Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos
transversales, los segmentos de las transversales determinados por
las paralelas, son proporcionales entre sí.
En el dibujo: Si L1 // L2 // L3,// L4 , T y S transversales, los segmentos a,
b, c, d , e y f son proporcionales
T
Es decir:
a = c
b
d
b
c

S
L1
a
d
L2
e
f
a
b  c
b

e
d
L3
e  f
c
f
L4
HIPÓTESIS: L1 // L2
TESIS:
1)
PA

PD
PB
PC
2)
PA

PB
3)
PD
PC
PA
AB

PD
DC
 Ejemplo 1: En la siguiente figura L1//L2. Si BP = 6 cm.,
CP = 4 cm., CD = 3 cm., AB = ?
6

4
X
x
3
63  x4
18
 x
4
x  4 ,5
6
4
3
 Ejemplo 2: Para calcular el ancho de un río, Juana usó una
cuerda de 30 metros como se ve en el dibujo, y midió la distancia
d = 6 metros y h = 4 metros. ¿Cuál es el ancho del río?.
X
h
d
Teorema de la bisectriz de un ángulo
interior de un triángulo
La bisectriz de un ángulo interior de un triángulo divide al
lado opuesto en dos segmentos, cuyas medidas son
proporcionales a la de los lados del correspondiente ángulo
del triángulo.
C

b
a
a
u
b
A
v
u
B

b
v
Ejemplo 1: En un ABC, CD es bisectriz del ángulo
en C ; a = 8 cm , b = 20 cm y c = 14 cm.
Calculemos u y v.
a
u
8
u


b
b
A
v
C
v
20
14  u
c
8 (14  u )  20 u
D
a
u
B
112  8 u  20 u
112
112
 20 u  8 u
 28 u
4 cm  u
v  10 cm
Ejemplo 2: En un ABC con CD bisectriz del ángulo
ACB ; a = 25 cm , b = 35 cm y u = 20 cm. Calcula v
C
y c.
a

u
25
b
v

A
35
20
a
b
v
v
D
u
c
25  v  20  35
v 
700
v  28 cm
25
c  v  u  28  20  48 cm
B
Teorema de la bisectriz de un
ángulo exterior de un triángulo
La bisectriz de un ángulo exterior de un vértice del triángulo
divide exteriormente al lado opuesto en la razón de los lados
que forman el ángulo interior adyacente.
C
c

u
b
A
a

v
a
B
u
D
v
v=c+u
b
Ejemplo : En un ABC, con CB bisectriz del
ángulo exterior en C ; a = 6 cm , b = 12 cm
y
AB = 8 cm. Calcula u.
6
u
C

12
u  8
6 ( u  8 )  12 u
b
A
6 u  48  12 u
a
B
u
v
48  12 u  6 u
48  6 u
D
8 cm  u
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ASPECTOS ESENCIALES EN EL DESARROLLO DE PROYECTOS