EL BILLAR NO ES PARA
VAGOS
Carlos Bosch Giral
ITAM
¿Qué es el billar?

Billar: del francés billard. Juego de
destreza que se ejecuta con tacos,
bolas de marfíl en una mesa
rectangular forrada de paño,
rodeada de barandas elásticas y con
troneras o sin ellas.
Definición de Serge Tabachnikov

Una mesa de billar es una variedad Riemanniana
M con frontera suave a pedazos. El sistema
dinámico del billar en M está generado por el
movimiento libre de un punto donde se acumula
la masa (llamada bola) sujeta a la reflexión en la
frontera. Esto quiere decir que un punto se
mueve según una geodésica en M con velocidad
constante hasta que golpea la frontera. En un
punto suave de la frontera la bola se refleja de
manera que la correspondiente tangencial de la
velocidad sea la misma mientras que la normal
cambia de signo.
Definición de Donald

Una mesa de billar es la unión de
dos cuadrados donde el rebote de
la bola es tal que el ángulo de
entrada y el de salida son iguales.







1800 juego de dos personas
1900 se admiten más de dos personas
Tres juegos principales
El billar con tres bolas
La pirámide con 15 bolas rojas sin
número
El pool número variable usualmente 15
bolas con número, una bola sin número
El pool adquiere el nombre de la forma de
apostar






El billar es un juego antiguo
Shakespeare habla del billar en “Antonio y
Cleopatra” 1607
Llegó a Inglaterra a través de los caballeros que
regresaban de las cruzadas.
La primera evidencia que se tiene del billar es en
Francia siglo XV
Carlos IX de Francia y James I de Inglaterra en el
siglo XVI tenian mesas de billar en sus palacios.
En América la primera mesa de billar apareció en
Florida llevada por los españoles en 1565
Los números y los billares




Patente US 2,978,816
11 de abril de 1961
Andrés Zavrotsky Universidad de los Andes
Venezuela
Aparato óptico para calcular el máximo común
divisor
Tomaremos mesas de distintos tamaños
11 10
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
1
2
45°
0 1
2
0
1 0
45°
3
4
5
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
Máximo común divisor
De
6
y
9
6
2
9
3
6= 2 X 3
3
3
3
3
9= 3 X 3
1
1
1
1
mcd (6,9)=3
De
342
y
243
342
2
243
3
171
3
81
3
57
3
27
3
19
19
9
3
1
3
3
1
1
1
9= 3 X 3
mcd (342,243)=9

H. Steinhaus probó que no importa
cuales son las dimensiones de la
mesa si una bola empieza en un
vértice con un ángulo de 45°
después de un número finito de
rebotes llegará a alguno de los
otros vértices.
Mesa de n por m, sean p y q tales que
m/n =r/t con p/q irreducible así mt = nr.
P
A
Q
N
M
Pregunta
 ¿Qué vértice de los tres
restantes es el que tocará
la bola?
8
7
6
5802
5
4
3
4563
2
1
0
0
1
2
3
4
5
9
8
8
7
7
6
6
5
5
par
impar
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
0
1
2
3
impar
4
5
0
1
2
3
4
impar
5
12
11
10
7
9
6
8
5
7
4
6
3
5
2
4
1
3
0
0
1
2
3
4
par
5
6
7
8
9
10
2
1
0
0
1
2
par
3
4
Máquina de Zavrotsky


Se envía un rayo de luz a 45°
partiendo del origen, el rayo
después de un número finito de
“rebotes” llegará a uno de los
vértices del rectángulo, entonces
habrá sobre el lado más largo un
punto iluminado A que es el más
cercano al origen.
Calcular la distancia de OA
Representa el doble del
MÁXIMO COMUN DIVISOR
6
0
0
6
A
9
3
0
0
A
8
A
5
P
A
Q
N
M
2mcd(a,b)=min{d:d=2am+2an tal
que m,n  Z y d>0}
6
0
A
8

Capitán Mingaud.
Problemas de mínimos y máximos.
Sea C una curva lisa
y dos puntos fuera
de ella.
Queremos ir de un
punto a la curva y
luego de la curva al
otro punto. De
manera que el
recorrido sea lo
mas corto posible

Sean P1 y P2
dos puntos fijos.
P
P1
P2
Antecedentes

Q
P

(1) Si P y Q son los
focos de una elipse,
una bola que sale de
un foco pasa siempre
por el otro foco
después de un rebote
de tipo billar.
(2) La longitud de
cada una de esas
trayectoria es la
misma:
d(X,P)+d(X,Q) = cste
Problemas de mínimos-máximos
d(P,Q) = distancia de P a Q
 Si P1 y P2 son fijos, P está en C una
curva lisa y L(P) = d(P1 ,P) + d(P, P2) ;
L(P) alcanza un mínimo o un máximo en el
punto P0 de C entonces P1, P0, P2
es una trayectoria de billar con rebote en C

P0
P1
P2
Método de demostración:
contradicción
Supongamos que se tiene una
trayectoria donde se alcanza el
máximo o el mínimo PERO QUE NO
ES UNA TRAYECTORÍA DE BILLAR
Consideremos la familia de elipses que
tienen como focos a los puntos P1 y P2



La elipse con esos focos y que pasa por P0 no
comparte la tangente con la curva en el punto P ya
que en ese caso la trayectoria sería de tipo billar
Pensemos en una vecindad del punto P0
suficientemente pequeña de modo que alrededor de
ese punto todas las elipses interesectan
“tranversalmente” a la curva.
Como d(P1 ,P0 ) + d(P2 ,P 0) es una constante, si no
movemos sobre la curva tendremos hacia un lado un
valor más pequeño y hacia el otro un valor mayor.
Consecuencias
Así cualquier trayectoria que no es de tipo billar no
es la más corta ni la más larga, por lo tanto si hay
alguna “camino” en donde se alcanza el trayecto
más largo o más corto entonces esa es de tipo
billar.
Abstracción del problema
P2
P1
C
A
¿Cuál es el camino más corto?
A

B
C1
C2
l
C3

A
B
C
l
A’
El mínimo se alcanza
cuando ACB sea un rebote
de billar
Es decir, que si tomamos
A’ el reflejado de A
respecto a l y trazamos BA’
está la recta intersecta a l
en el punto C y BCA será
la trayectoria que
buscamos (de tipo billar)
A
Q

P1
P2
P
B
R

P
''
P2
P1
'
P2
A
P2
P1
R
B
P2
Q

¿ P1 QR P2 lo más
corto posible con
Q en PA y R en
PB?
P1 QR P2 debe ser
una trayectoria de
billar con rebotes
en Q y R
Con las simetrías
obtenemos los
rebotes de billar
'''
P2
P1

'''
''
P2
'
P2
P1
''
P1
'
P P1 P2tiene que ser
un triángulo de billar
en P1 y P2
Dado un punto P
en un lado de un
triángulo
encontrar un
triángulo de
perímetro mínimo
cuyos vértices
estén en los lados
del triángulo y
uno de ellos sea P
Triángulo pedal = pies de las alturas
''
P2
P1
P
'
3
(0,0)
5
llenar o vaciar recipiente grande
llenar o vaciar recipiente pequeño
mandar de un recipiente a otro
3
(0,0)
5
5
3
5
0
2
3
2
0
0
2
(1.3)
3
(0,0)
5
5
3
5
2
4
3
4
0
1
3
3
5
0
(0,0)
5
3
3
3
0
3
3
5
1
Polígonos regulares y billares
k cerrado, acotado, convexo int k   , k   2
 k frontera de k suave a pedazos
bola de billar=punto en el interior de k
Bola se mueve a velocidad constante en línea
recta hasta que choca con un punto P   k .
Si P es regular (frontera suave) la bola de
billar rebota en la dirección determinada por
la reflexión sobre la única recta tangente en
P. Si P no es regular la bola se “mueve”. La
bola genera una trayectoria de tipo billar.
Una trayectoria de tipo billar es periódica si
regresa donde empezó.
1
2
3
4
5
6
7
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Posición clave 4
Posición natural 4
Ángulo natural 3
Posición clave – ángulo natural = 4 – 3 =1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Posición clave 3.5
Ángulo natural 2
1
2
3
4
5
6
7
S
R
4
Q
P
1
O
N
7
M
L
T
K
5U
J
V
I
A
B
C
6
D
E
F
G
3
H
2
10
P
4
Q
1
7
5
6
2
6
S
3
R
¿Cuántas veces rebota la bola antes de
llegar al punto Q?
Polígonos regulares y billares




En los puntos “suaves” la bola
rebota en la dirección determinada
por la reflexión.
En los puntos no suaves la bola se
mueve
La bola genera una trayectoria de
tipo billar
Una trayectoria de tipo billar es
periódica si regresa donde empezó
Cierto para cualquier polígono regular de n lados
Teorema


Un polígono convexo y cerrado P
en el plano es regular si y sólo si P
contiene una trayectoria periódica
de tipo billar P’ semejante a P.
IDEA DEMOSTRACIÓN:


Fácil al tomar P´ el polígono formado
por los puntos medios de P
P´una trayectoria periódica tipo billar
vértice en P y semejante a P
Observaciones
Cierto para cualquier polígono regular de n lados
El recíproco también es cierto
Figuras de ancho constante
Consideremos una figura convexa
cerrada. En cada dirección la figura se
encuentra limitada por dos rectas
paralelas.
ancho

ancho

Hay una infinidad de figuras que
tienen el mismo ancho en todas las
direcciones
Círculo
Triángulo de Reuleaux
Teorema


Una curva suave es de ancho constante si
y sólo si toda trayectoria de tipo billar que
“rebota” hacia la derecha (izquierda)
siempre sigue rebotando hacia la derecha
(izquierda)
No hay trayectorias de tipo
Sine R., Kreinovic V.
Remarks on billiards
Amer. Math Monthly
86, (1979), 204-206
P’
P
 i'  2
 i 1
 i 1
 i 1
 i'
 i'  1
i

i
 i   i   i 1  
 i  2i  
'
 1   2  ...   n   1   2  ...   n  ( n  2 )
'
'
 i 1   i
'
i 
'
'
2
Además por la semejanza de P y P’, { i } y { i' } son una
permutación una de la otra. Entonces
i  i 1
n2
i  

 n 
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EL BILLAR NO ES PARA VAGOS