¡QUE DECIDA LA MAYORIA!
ALaCiMa
Matemáticas – Nivel 7-9
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Al finalizar la actividad los estudiantes:
•
•
•
•
describirán la conexión entre matemáticas y las
disciplinas de gobierno, historia, ética y deportes.
desarrollarán destrezas en razonamiento
matemático y aplicarán estas destrezas a
situaciones del diario vivir.
compararán diferentes métodos de sufragio para
determinar las ventajas y desventajas de cada uno.
describirán formas en que se pueden manipular los
resultados de un sufragio para los diferentes
métodos.
EXPLORACIÓN DE CONOCIMIENTO
PREVIO:
Completa las burbujas de
la tirilla cómica para
mostrar el razonamiento
matemático que utilizan los
amigos para analizar los
resultados.
ACTIVIDAD I:
• Supongamos que los estudiantes sugieren tres
alternativas para una excursión de la clase:
Planetario (P), Museo (M) y Obra de Teatro (O).
• Queremos contar, por ejemplo, el número de
estudiantes que eligieron;
1ra preferencia: Museo (M)
2da Preferencia: Obra (O)
3ra Preferencia: Planetario (P)
colocar la cantidad en la en la columna 4 de la tabla
que sigue (Preferencias: M O P ). Similarmente, se
quiere contar la cantidad de estudiantes que
ordenaron sus preferencias de una forma diferente.
Tabla Actividad I
Tabla 1
Tabla de Preferencias – Excursión de Grupo
Número de Estudiantes
12
3
4
10
6
0
1ra Preferencia
P
P
M
M
O
O
2da Preferencia
M
O
P
O
P
M
3ra Preferencia
O
M
O
P
M
P
Preguntas de discusión:
1.
Si se elige por votación única se toma en cuenta únicamente el
candidato preferido por cada alumno (un voto por alumno, la
información de la fila nombrada “1ra Preferencia”). Bajo la
Regla de la Pluralidad, el ganador es la alternativa que más
votos obtiene. Explica o demuestra como decides el ganador
para la tabla de arriba bajo la Regla de Votación Única y
Pluralidad.
Usando la información de la fila 1ra Preferencia los votos
únicos serían:
P: 12 + 3 = 15 M: 10 + 4 = 14
O: 6 + 0 = 6
Por pluralidad, la opción Planetario gana.
Preguntas de discusión:
2. ¿Habrá una mayoría contenta con los
resultados de la pregunta 1? Explica.
La mayoría no estará contenta, pues de 35
estudiantes, 15 votaron por P y 20 votaron en
contra. Por lo tanto estos 20 estarán descontentos
con la decisión. La mayoría pierde.
Preguntas de discusión:
3. ¿Crees que el sistema de Votación Única con
Pluralidad es un sistema “justo” ? Justifica tu
respuesta.
Hay muchos estudiosos del asunto, opinan que las situaciones
hoy día son muy complicadas para una regla tan simple. Dicen
que la regla de pluralidad es un método que es conveniente en
situaciones donde existen solamente dos alternativas entre
las cuales elegir, así el voto dominante representa la
mayoría. Tan pronto se presenten más de dos candidatos
para un puesto (o tres respuestas a una sola pregunta) la
situación llega a ser más complicada y un voto sí-no simple ya
no es conveniente ya que deja a la mayoría sin
representación.
Preguntas de discusión:
4. ¿Por qué crees que el sistema de Votación
Única con Pluralidad es un sistema tan usado
hoy día, a pesar de que sus desventajas?
Algunas razones podrían incluir tradición y
que los métodos de escrutinio son más
simples y rápidos.
Preguntas de discusión:
5. Trata de proponer otra forma de determinar un
ganador utilizando la demás información que provee
la tabla. ¿Crees que tu sistema dejará más electores
satisfechos que el sistema de Votación Única con
Pluralidad? Justifica tu respuesta.
Con esta pregunta solo intentamos poner a los
alumnos a pensar en la posibilidad de atender las
desventajas del Sistema de Voto Único con
Pluralidad. Tal vez a alguno se le ocurre un
método similar a algunos de los que se presentan
en las actividades siguientes. Esta pregunta se
presta para ser evaluada con una rúbrica.
ACTIVIDAD II:
¡MI VOTO CUENTA!
El Club de Matemáticas decide tener un
“Pizza Party”, se debe elegir el ingrediente
adicional de la pizza. Cada miembro coloca
en orden de preferencia los ingredientes:
Peperoni (A)
Pollo (B)
Cetas (C)
Pimiento Verde (D).
Los resultados se muestran a continuación.
¡MI VOTO CUENTA!
Votos
1ra preferencia
2da preferencia
3ra preferencia
4ta preferencia
7
5
4
2
A
B
D
D
B
D
B
C
C
C
C
B
D
A
A
A
PARTE I: MÉTODO DE HARE
1.
¿Cuál ingrediente será el ganador bajo el método de
Votación Única con Pluralidad? Explica como llegas a
tu respuesta.
Ganaría la opción A, peperoni, ya que tiene 7
votos. Tiene más votos como primera preferencia
que las demás alternativas, a pesar de que 11
estudiantes (una mayoría) NO desean peperoni.
PARTE I: MÉTODO DE HARE
2. Diversos países, como Australia, Irlanda e Irlanda del
Norte, utilizan un sistema llamado Voto Simple
Transferible, introducido por Thomas Hare in
Inglaterra en los 1850.
a) Ordena los votos por el número de votos para el
primer lugar que cada uno recibe.
b) Elimina la alternativa con menos votos.
c) Transfiere los votos de la opción eliminada a su
próxima preferencia- lo que significa que su voto
todavía cuenta.
d) Repite el proceso hasta quedar con un ganador.
PARTE I: MÉTODO DE HARE
Ejemplo: En la primera vuelta, si eliminamos el que menos votos
obtuvo, por lo tanto, se elimina c.
La tabla, queda así:
Votos
7
5
4
2
1ra preferencia
A
B
D
D
2da preferencia
B
D
B
B
3ra preferencia
D
A
A
A
PARTE I: MÉTODO DE HARE
La tabla anterior se puede simplificar ya que las
últimas dos columnas se pueden combinar. La tabla más
simple, luego de la eliminación de C, será:
Votos
7
5
6
1ra preferencia
A
B
D
2da preferencia
B
D
B
3ra preferencia
D
A
A
PARTE I: MÉTODO DE HARE
• A continuación, muestra los pasos que se siguen si
continúas aplicando el Método de Hare. ¿Cuál
ingrediente gana?
Segunda vuelta: Se elimina B. La tabla anterior se
reduce a:
Votos
7
5
6
1ra preferencia
A
D
D
2da preferencia
D
A
A
PARTE I: MÉTODO DE HARE
La tabla anterior simplifica a:
Votos
7
11
1ra preferencia
A
D
2da preferencia
D
A
Ahora entre, A y D, ganaría la alternativa D, o sea el ingrediente
sería Pimiento Verde.
PARTE I: MÉTODO DE HARE
3. ¿Qué piensas sobre este método de votación? ¿Qué
ventajas o desventajas le ves?
Podrían decir que al elegir D, queda más gente
inconforme de su primera preferencia, ya que al
elegir A, habían 11 insatisfechos, y ahora hay 12
insatisfechos. Sin embargo, también se puede
decir, que tomando en cuentas las primeras dos
preferencias, se ha podido complacer a 11
personas, y sólo hay 7 personas completamente
insatisfechas.
PARTE II: MÉTODO DE BORDA
Un sistema alternativo es el Conteo de Borda, llamado así por JeanCharles de Borda, quien lo desarrolló en 1781. De nuevo, la idea es la
de tratar de tomar en cuenta las preferencias de cada votante por
cada uno de los candidatos.
a) Se asigna una cantidad de puntos a cada posición de
preferencia. En este caso hay 4 alternativas.
b) Otorga a cada alternativa 3 puntos por cada selección en
primer lugar.
c) Otorga a cada alternativa 2 puntos por cada selección en
segundo lugar
d) Otorga a cada alternativa 1 puntos por cada selección en
tercer lugar
c) Otorga a cada alternativa 0 punto por cada selección en
el último lugar.
e) Suma los puntos otorgados a cada alternativa.
f) La alternativa con el mayor número de votos es declarado
el ganador.
PARTE II: MÉTODO DE BORDA
Ejemplo, Usaremos la tabla original:
Votos
7
5
4
2
1ra preferencia
A
B
D
D
B
D
B
C
C
C
7X3=21 5X3=15 4X3=12
2da preferencia
7X2=14 5X2=10 4X2=8
3ra preferencia
4ta preferencia
2X3=6
C
2x2=4
B
7x1=1
5X1=5
4x1=4
2X1=2
D
A
A
A
7X0=0
5X0=0
4X0=0
2X0=0
PARTE II: MÉTODO DE BORDA
Tabla Método Borda: Total de puntos para cada alternativa
Puntos
Alternativa ganados:
1ra preferencia
A
21
B
15
C
D
Puntos
ganados:
Puntos
ganados:
2da preferencia 3ra preferencia
0
TOTAL
0
21
14+8=22
2
39
0
4
7+5+4=16
20
12+6=18
10
0
28
¿Cuál ingrediente gana?
Gana la alternativa B, por lo tanto el ingrediente elegido es pollo.
PARTE III – MÉTODO DE CONDORCET
En 1785 el Marqués de Condorcet
propuso que la única forma justa de
decidir como contar los votos en
elecciones con tres o más candidatos
era escoger el individuo que vencía a
cualquier otro candidato en una
competencia uno a uno. Este enfoque es
conocido hoy día como el Sistema de
Condorcet.
PARTE III – MÉTODO DE CONDORCET
Para decidir el ganador Condorcet del Club de Matemáticas
utilizaremos la tabla original de los datos.
Votos
7
5
4
2
1ra preferencia
A
B
D
D
2da preferencia
B
D
B
C
3ra preferencia
C
C
C
B
4ta preferencia
D
A
A
A
Leyenda: Peperoni (A), Pollo (B), Cetas (C) y Pimiento Verde (D).
PARTE III – MÉTODO DE CONDORCET
Para crear una tabla nueva. En la nueva tabla,
colocaremos entre paréntesis la cantidad de votos que
obtiene cada alternativa al competir contra su
contrincante.
Por ejemplo, en la lucha de A contra B, A está encima de
B en la columna 1, por lo tanto A gana 7 puntos y B, gana
0. En la segunda columna, 5 votantes ponen a B encima
de A, por lo tanto B obtiene 5 puntos y A obtiene 0.
Similarmente, en las columnas 3 y 4, B obtiene 4 y 2
puntos respectivamente y A obtiene 0. En total, A
obtiene 7 puntos y B obtiene 11. Por lo tanto, B es el
ganador.
PARTE III – MÉTODO DE CONDORCET
Haciendo lo anterior para cada par de
competidores.
Pareja
Ganador
A ( 7 ) vs. B ( 5+4+2=11)
B
A ( 7 ) vs. C ( 5+4+2=11)
C
A ( 7 ) vs. D( 5+4+2=11 )
D
B ( 7+5+4=16 ) vs. C ( 2 )
B
B ( 7+5=12 ) vs. D ( 4+2=6 )
B
C ( 7 ) vs. D ( 5+4+2=11 )
D
PARTE III – MÉTODO DE CONDORCET
1. Muestre como se aplica el método
Condorcet para determinar el
ingrediente ganador. ¿Cuál ingrediente
gana?
El ganador Condorcet es la opción B,
Pollo.
PARTE III – MÉTODO DE CONDORCET
2. ¿Será posible NO encontrar un ganador
mediante este método? Ilustre tu respuesta
mediante ejemplos.
En este caso si en la columna 1 los 7
votantes cambian su preferencia a
A,C,B,D los resultados de Condorcet sólo
cambiarían para B (5+4) vs C (7+2), donde
ya no habría ganador. En general, estarían
empatado B y D con dos votos cada uno.
No se puede determinar un ganador.
CIERRE
¡QUE GANE EL QUE YO QUIERA!
1. ¿Qué tienen en común los métodos usados? (si algo)
Todos eliminan la opción más baja.
2. Compara las proporciones de los que resultaron
ganadores en cada método.
Método de Hare: Gana la opción D con 11/68  61%
Método Borda: Gana B con 39/108  39%
Método Condorcet: gana B con 11/68  61%
3. Describe una situación en la cual utilizas un voto para
tomar una decisión. Enumera las alternativas
existentes. Finalmente, desarrolla una tabla de listas
de preferencias en la cual el ganador es el mismo por
al menos dos de los métodos utilizados durante las
actividades anteriores.
RÚBRICA
Criterios
4
3
2
1
Ofrece
explicaciones
detalladas
Describe y explica sus
procedimientos con
claridad y
detalladamente.
Describe y explica
con algunos
detalles pero las
explicaciones son
confusas.
Explicaciones no
están claras. No
ofrece
suficientes
detalles.
Explicaciones
superficiales que
omiten puntos
claves.
____
Construcción de
tablas
Se construyen dos
tablas, una para cada
método, que muestran
el número de votantes
que tiene una orden de
preferencias
La información se
presenta
apropiadamente
pero está
incompleta.
Una o más tablas
están incompletas
y/o presentan la
información de
forma
inapropiada
No se construyó
tablas.
____
Aplicó los métodos de
votación elegidos
correctamente. Realizó
cómputos apropiados
que no tienen errores.
Pocos errores,
errores leves al
aplicar los métodos
de y/o en los
cómputos, aunque
éstos no son
graves.
Muchos errores
en la aplicación de
los métodos o en
los procesos de
razonamiento
Errores graves
en la aplicación de
los métodos o en
los procesos de
razonamiento
____
Conclusiones son
consistentes con los
datos presentados.
No todas las
conclusiones son
consistentes con
los datos
presentados.
Conclusiones NO
se evidencian con
los datos
presentados,
Conclusiones no
existen o no son
consistentes con
los datos.
____
Aplicación de los
métodos de
votación
Conclusiones
Total---->
Puntos
____
CIERRE
¡QUE GANE EL QUE YO QUIERA!
4. Construye un mapa conceptual sobre
métodos de sufragio. Los mapas de los
alumnos variarán.
CIERRE
¡QUE GANE EL QUE YO QUIERA!
NOTA: El siguiente mapa conceptual presenta una explicación de lo
que es un mapa conceptual:
CIERRE
¡QUE GANE EL QUE YO QUIERA!
NOTA:
• Los conceptos se colocan dentro de la elipse.
• Las palabras enlace se escriben sobre o junto
a la línea que une los conceptos.
•
• CONCEPTOS ..................................... ELIPSE
• PALABRAS ENLACE ..................... LINEA
CIERRE
¡QUE GANE EL QUE YO QUIERA!
NOTA: Aplicando estas ideas, un ejemplo de una parte del mapa
que un alumno podría preparar la frase: El método de Voto
por Pluralidad elige sólo un ganador mediante la regla “Gana el
candidato con mayor número de votos”.
“Gana el candidato
que recibe la mayor
cantidad de votos .”
mediante la regla
un ganador
que elige
Voto por
Pluralidad
Se comienza a leer el
mapa desde el centro
es
Un método
de sufragio
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