La integral triple
• Los pasos para definir la integral triple de
una función de tres variables F(x,y,z)
definida en una región D del espacio son
análogos a los que se utilizaron para definir
la integral doble.
La integral triple
• Consideremos una función
F(x,y,z) definida en una
región D del espacio, en
donde D es una región
cerrada y acotada.
Ejemplo: Sea D la región
comprendida entre las
superficies
La integral triple
• Ejemplo: Sea D la
región comprendida
entre las superficies
La integral triple
• Por medio de planos
paralelos a los planos
coordenados hacemos una
partición P de la región en
paralelepípedos (cajas) Dk
de volúmenes Vk cuyos
centros estén contenidos
en D.
La integral triple
• Ejemplo: El
paralelepípedo que
contiene a D será dividido
en 4 x 4 x 4 = 64 partes
iguales y si su centro está
dentro de D se incluirá en
la partición.
La integral triple
• Ahora se hará lo
mismo para 8 x 8 x 8
= 512 partes iguales.
La integral triple
• Ahora se hará lo
mismo para 16 x 16 x
16 = 4096 partes
iguales.
La integral triple
.
Elegimos un punto (xk*, yk*, zk*) en cada subregión Dk, por ejemplo su centro, y formamos la sumatoria
n
F
(xk*, yk*, zk*)
Vk
(1)
k=1
Ejemplo: Consideremos a la función F(x, y, z) = x + y + z, la cual ciertamente está definida en nuestra región
D.
A continuación se muestra una tabulación de la sumatoria de Riemann definida en la ecuación 1, para distintos
valores de n.
La integral triple
n
64
512 4,096
Suma
256
192
199
8,000
13,824
21,952
204.288
198.222
203.195
Cuando F(x, y, z) es continua en D, existe el límite de esta sumatoria cuando || P ||
0
n
entonces decimos que F es integrable en esa región, y definimos la integral triple de F en D como
y
Definición:
Sea F(x,y,z) una función definida en una región cerrada D del espacio. Entonces la integral triple de F en D está dada por
F(x,y,z) dV =
D
n
F(xk*, yk*,
zk
= lim
*)
V
k
k=1
||P||
0
La integral triple
La integral triple
• Ejemplo: El límite al que nos referimos en la definición es,
para el presente ejemplo, calculado enseguida.
• El valor de la integral triple es = 64
201.062
• Es importante haber comprendido el concepto de la
integral triple.
• La evaluación de una integral triple en la práctica no es,
afortunadamente, a través de la definición sino con
integrales iteradas como veremos en la próxima sección.
• Es importante haber comprendido el
concepto de la integral triple.
La evaluación de una integral triple en la
práctica no es, afortunadamente, a través de
la definición sino con integrales iteradas
como veremos en la próxima sección.
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