UNIDAD 3
3.1.- Análisis Nodal




Circuitos que contienen solo fuentes independientes de
Corriente.
Circuitos que contienen fuentes controladas de Corriente.
Circuitos que contienen solo fuentes independientes de
Voltaje.
Circuitos que contienen fuentes controladas de Voltaje.
3.2.- Análisis de Malla.




Circuitos que contienen fuentes controladas de Corriente.
Circuitos que contienen solo fuentes independientes de
Voltaje.
Circuitos que contienen fuentes controladas de Voltaje.
Circuitos que contienen fuentes controladas de Voltaje.
Análisis Nodal
Debemos considerar los siguientes aspectos:
1.- En el análisis nodal las variables de los circuitos se eligen como voltajes de los
nodos.
2.- Los voltajes de los nodos se definen con respecto a un punto común en el
circuito.
3.- Un nodo se selecciona como referencia y con frecuencia este nodo es aquel al
que está conectado el mayor número de ramas y se denomina tierra debido a que
su potencial es igual a cero y algunas veces es el chasis en el circuito práctico.
4.- Seleccionaremos nuestras variables( voltajes en los nodos) como positivas con
respecto al nodo de referencia.
5.- Es recomendable que los elementos pasivos tengan como unidades el siemens
(conductancia).
6.- Cuando se conoce los voltajes de los nodos podemos calcular inmediatamente
cualquier corriente en una rama y la potencia suministrada o absorbida por
cualquier elemento.
7.- De preferencia la respuesta deberá presentarse de forma matricial:
GV
 Matriz

 Conduc
 Vector

  Columna

tan cia   Variables

 del _ mètodo
 I

  Vector _ Columna 
   de _ las _ fuentes _ 

 

  de _ corriente


8.- Si en el circuito existiera solamente fuentes independientes de corriente
debemos entonces observar que la matriz conductancia es simétrica a la diagonal
principal. Basta con la presencia de fuentes de voltaje sean estas independientes o
controladas, o la presencia de fuentes controladas de corriente en el circuito para
que en la matriz conductancia se pierda la simetría con respecto a la diagonal
principal.
CON SOLO FUENTES INDEPENDIENTES DE CORRIENTE
Ejemplo # 1:
N1
V1
I2
N2
V2
G2
EXPRESE LA RESPUESTA EN FORMA MARICIAL
I3
I1
G1
Ia
G3
Ib
# de ecuaciones que se encuentran:
n – 1=3-1, donde n es el número de
nodos en total.
V3
En cada ecuación debemos usar LCK, LVK
LCK N1:
Ohm :
I a  I1  I 2
I  GV
I 1  G 1 (V 1  V 3 )
I 1  G 1V 1
I a  G 1 V1  G 2 V1  G 2 V 2

I a  V1 ( G 1  G 2 )  V 2 ( G 2 )
I 2  G 2 (V 1  V 2 )
I 2  G 2V 1  G 2V 2
1
n – 1 =2
LCK N2:
I2  Ib  I3
 Ib  I3  I2
Ohm :
I  GV
I 3  G 3 (V 2  V 3 )
I 3  G 3V 2

 I b  G 3V 2  G 2 V 1  G 2 V 2
 I b  V1 (  G 2 )  V 2 (G 2  G 3 )
G 1  G 2

  G2
 G 2  V1   I a 
   

G 2  G 3  V 2    I b 
2
Ejemplo # 2:
1
N1
1
2I0
k
N2
6
k
12
1
CON FUENTES CONTROLADAS DE CORRIENTE
2 mA
k
3
I0
V1
6 k
N1
I1
12 k 
2I0
I
N2
V2
2
2I 0  I1  I 2  0
2I 0  I1  I 2
2 mA
3k
Ohm:
I0
N3
LCK N1:
V3
I 1  12 V 1
I 2  6V 1  6 V 2
I 0  3V 2
2 ( 3 V 2 )  12 V1  6 V1  6 V 2
0  18 V1  6 V 2  6 V 2
0  18 V1  12 V 2
1
LCK N2:
I2  2  I0
2  I0  I2

2  3V 2  6V 1  6V 2
2  V 1 (  6 )  9V 2
 18

 6
2
 12   V1   0 
   

V
9   2  2
Método para escribir en forma directa las ecuaciones en el análisis
nodal.
Una vez identificado los nodos principales y escogido el nodo de referencia, se
escriben las ecuaciones en cada uno de los nodos principales con excepción del
nodo de referencia de la siguiente forma:
1.- De un lado de la ecuación la suma algebraica de las fuentes de corriente
(independiente ó controlada) conectadas al nodo en que estamos trabajando
respetando el signo de aquellas que estén dirigidas hacia el nodo y cambiándole el
signo a aquellas que se estén alejando del nodo.
2.- Del otro lado de la ecuación vamos a distinguir dos clases de términos:
a) El término llamado propio o mutuo que es igual al producto de la tensión
asignada al nodo en que estamos trabajando por la suma de las
conductancias de los ramales conectados a dicho nodo. Este término lleva
signo positivo.
b) Los términos llamados neutros que son iguales al producto de la tensión
asignada al otro nodo (adyacente) por la conductancia del ramal que une
directamente al nodo en que estamos trabajando y al nodo adyacente. Estos
términos llevan el signo negativo.
3.- Cuando entre dos nodos activos (ninguno de los dos es tierra) se encuentra una
fuente de voltaje (independiente ó controlada), se forma lo que se conoce con el
nombre de súper nodo que para este caso específico se necesitan dos ecuaciones
para resolverlo.
a) Ecuación del súper nodo
V4
V2
3V X
10  V 2  V 3
10 V
3V X  V 4  V 5
V X  f ( de _ las _ var iables _ del  método )
V5
V3
b) Ecuación Auxiliar
Se obtiene haciendo cero a la fuente de voltaje es decir cortocircuitándola y
luego se procede a seguir lo que está escrito en los literales 1, 2 de este
procedimiento.
V5
V2
3V X
10 V
V3
V4
Por cada par de nodos activos vamos a tener siempre dos términos propios (es decir con
signo positivo).
4.- Para el literal anterior cuando uno de los nodos es tierra sólo va a existir la ecuación
del súper nodo.
V5
V2
10 V
3V X
V 2  10 V
3V X  V 5
VX=f(variables del método)
Ejemplo # 1:
Nodo 1:
Término propio
I a  V1 ( G 1  G 2 )  V 2 ( G 2 )
Término Neutro
I a  V1 ( G 1  G 2 )  V 2 ( G 2 )
Nodo 2:
0  I b  V 2 (G 2  G 3 )  V1 (G 2 )
 I b  V1 (  G 2 )  V 2 (G 2  G 3 )
Del Ejemplo # 2:
Nodo 1:
2 I 0  V1 ( 6 k   12 k  )  V 2 ( 6 k  )
pero : I 0  3 V 2
2 ( 3 V 2 )  18 V1  6 V 2
0  18 V1  12 V 2
Nodo 2:
2  V 2 ( 6  3 )  V1 ( 6 )
2  V1 (  6 )  V 2 ( 9 )
Ejemplo # 3.
20 A
1

1
2

3
1
3
1
1
1

4

30 A
a) Exprese la respuesta en forma matricial
b) La potencia entregada o consumida por las fuentes independientes
Ejemplo # 3.
1
1
20 A
1

1
3
1
1

3

4

30 A
2
a) Matriz Conductancia
N2
V2
Nodo 1
20 A
V1
N4
N1
V4
4
3
1
3
1
N3
 20  4V 1  V 3
Nodo 2
20  V 2 ( 3  1)  V 4 ( 3 )
30 A
2
 20  V 1 (1  3 )  V 3 (1)
V3
20  4 V 2  3 V 4
Nodo 3
30  V 3 ( 2  1)  V1 (1)
30  3 V 3  V1
Nodo 4
 30  V 4 ( 3  4 )  V 2 ( 3 )
 30  7V 4  3V 2
4

0

 1

0
0
1
4
0
0
3
3
0
0   V1    20 
  

 3 V2
20
   

0   V 3   30 
  

7   V 4    30 
Matriz Conductancia
Al resolver la matriz anterior nos queda:
V1   2 . 727 V
V 3  9 . 090 V
V 2  2 . 631 V
V 4   3 . 157 V
Suministra
b) Potencia en las fuentes independientes.
V f 1  V 2  V1
P20 A  5 . 358 ( 20 )
V f 1  2 . 631  (  2 . 727 )
P20 A  107 . 16
W
Suministra
V f 1  5 . 358 V
Vf 2  V3  V 4
V f 2  9 . 090 V  (  3 . 157 V )
V f 2  12 . 247 V
P30 A  12 . 247
( 30 )
P30 A  367 . 41
W
Suministra
V1
Ejemplo # 4.
2 k
12 V
2 k
V3
V2
1k 
1k 
2 k
6V
V4
Determinar I0=?
12 V
I0
V1

SN1
2 k
12 V

V2
1k 
2 k
I0
Nodo 1 y Nodo 3  Súper Nodo 1
Ecuación del SN 1
V4
V3
1k 
6V
2 k
12  V 1  V 3
1)
Ecuación Auxiliar
12 V
0  V 1 ( 2  2 )  V 3 (1  1  2 )  V 2 ( 2  1)  V 4 ( 2  1)
0  4V 1  3V 2  4V 3  3V 4
2)
Nodo 2  Súper Nodo 2
3)
V 2   6V
Nodo 4  Súper Nodo 3
V 4  12 V
1

4

0

0

0
1
3
4
1
0
0
0
0  V1 
12 
 
 
 3 V2
0
    
6 
0  V 3 
 
 
1  V 4 
12 
I 0  2 ( V3  0 )
I 0  2 V3
I 0  2   3 . 75 
I 0   7 . 5 mA
Al resolver la matriz nos queda:
V1=8.25 V
V2= -6 V
V3= -3.75 V
V4= 12 V
Vc
Ejemplo # 5.

2
V1
2

Vb
10 V
Va
Vd
2
3V 2
3

2V 1
3
6A
V2

Todos los elementos pasivos están en mhos. CALCULAR
a) V1 , V2
b) Potencia en la fuente de 10V indicando si suministra o
consume.
Nota: Respete los nodos marcados.
a)
Ib
VC
Ia
I

2
f
SN1
2
VD

VB
10 V
V1
2
3V 2
Va
6A
3

2V 1
3
V2

Nodo B y Nodo D
Nodo A
Ecuación del SN 1
2V 1  V A ( 2  3 )  V B ( 2 )
3V 2  V D  V B
pero _ V 1  V C  V D
2V C  2V D  5V A  2V
SN 1
pero _ V 2  V A  0
B
0  5V A  2V B  2V C  2V D
1)
3V A  V B  V D  0
2)
Ecuación Auxiliar
6  V B ( 2  2 )  V D ( 2  3)  V A ( 2 )  V C ( 2  2 )
6   2V A  4V B  4V C  5V D
3)
Nodo C
SN 2
V C  10 V
4)
 5

3

 2

 0
2
2
1
0
4
4
0
1

2  V A   0 
  

 1 VB
0
   

5  V C   6 
  

0  V D  10 
V A  1 . 81V
V B  2 . 48 V
V C  10 V
V D  7 . 93 V
V 1  V C  V D  10 V  7 . 93 V  2 . 07 V
V 2  V A  0  1 . 81V  0V  1 . 81V
b)
LCK Nodo C:
I f  Ia I b
I a  2 (V C  V B )  2V C  2V B
I b  2 (V C  V D )  2V C  2V D

I f  4V C  2V B  2V D
P10 V  (10 V ) I f
P10 V  10 (  2V B  4V C  2V D )
P10 V  10  2 ( 2 . 48 )  4 (10 )  2 ( 7 . 93 ) 
P10 V  191 . 8W ( su min istra )
EJERCICIO # 18
3
IX
2

VX
4
2
2V X
25 A
5
30 A

3
2I X
4
3
Calcular la potencia asociada a cada una de las fuentes
controladas.
VA
IA
VB
IX
3
I f1 I 3
3
VE
30 A

25 A
SN1
2V X

VX
I 2 4
2
2
I 4 5
VD
VC
2I X
4
If2
3
Nodo B y Nodo E
SN 1
Ecuación del SN 1
2V X  V B  V E
pero : V X  V D  V A
Nodo A
25  30  V A ( 2  3  2 )  V B ( 3 )  V D ( 2 )
 5  7V A  3V B  2V D
1)
2V A  V B  2V D  V E  0
2)
Ecuación Auxiliar
0  V B (3  4 )  V E (3  4 )  V A (3)  V C ( 4  3)
0   3V A  7V B  7V C  7V E
3)
Nodo C y Tierra
Nodo D
SN 2
30  V D ( 2  3  5 )  V A ( 2 )  V C ( 5 )
VC  2 I X
30   2V A  5V C  10 V D
5)
LCK Nodo A
I a  I X  30
I X  I a  30
pero : _ I a  2 ( 0  V A )   2V A
I X   2V A  30

V C  2 (  2V A  30 )
 60  4V A  V
C
4)
 7

2

 3

 4
  2
3
0
2
1
0
2
7
7
0
0
1
0
0
5
10
0  V A    5 
  

 1 VB
0
  

7  V C    0 
  

0  V D    60 
0  V E   30 
V A   9 . 44 V
V D   10 V
V B   13 . 69 V
V E   12 . 57 V
V C   22 . 22 V
I X   2V A  30
VX  VD  VA
I X   2 (  9 . 44 )  30
V X  (  10  9 . 44 )V
I X   11  12 A
V X   0 . 56 V
P2 Vx  2V X ( I f 1 )
LCK Nodo B
I f 1  I1  I 2
pero:
I 1  4V B  4V C

I 2  3V B  3V A
I f 1  7V B  3V A  4V C
P2 Ix  2 I X ( I f 2 )
LCK Nodo C
I f 2  I 1  25  I 3  I 4
I f 2  24  I 3  I 4  I 1
I f 2  25  ( 3V C  3V E )  ( 5V C  5V D )  4V B  4V C
I f 2   4V B  12 V C  5V D  3V E  25
P2 Ix  2 (  2V A  30 )(  4V B  12 V C  5V D  3V E  25 )
P2Vx  2 (V D  V A )(  3V A  7V B  4V C )
Análisis de Malla
Utiliza la LVK para determinar las corrientes en el circuito y una vez que se
conocen estas, se puede utilizar la ley de Ohm para calcular el voltaje en
cualquier elemento pasivo, como también es posible calcular la potencia
suministrada o consumida por cualquier elemento del circuito.
Si el circuito tiene n mallas independientes se requerirá n ecuaciones
simultáneas independientes para describir el comportamiento del circuito.
Vamos a suponer que los circuitos son planos, es decir, que ningún conductor
se cruce con otro conductor.
V2
R1
V1
I1
R2
R4
R3
I2
R5
Malla 1
Malla 2
LVK:
LVK:
V1  V R1  V R 2  V R 3  0
 VR4  VR5  VR3  V2  0
V1  V R1  V R 2  V R 3
Ohm:
Ohm:
VR4  I 2 R4
V R1  I 1 R1
V R5  I 2 R5
V R2  I1R2
V R 3  IR 3  ( I 1  I 2 ) R 3
VR4  VR5  V R3  V2  0
 V2  I 2 R4  I 2 R3  I1R3  I 2 R3
V1  I 1 R1  I 1 R 2  I 1 R 3  I 2 R 3
V1  I 1 ( R1  R 2  R 3 )  I 2 ( R 3 )
1)
 V2  I 2 (R3  R4  R5 )  I1R3
2)
En forma matricial:
 R  I 
Matriz
Resistencia

V 
Vector Columna
de las variables
del método
 R1  R 2  R 3

 R3

Vector Columna
de las fuentes de
voltaje
 R3
  I1 
 V1 
   

R3  R4  R5  I 2 

V
2 

Si solo existieran fuentes independientes de voltaje existirá
simetría con respecto a la diagonal principal en la matriz
resistencia.
En forma Directa
Una vez asignadas las corrientes a las mallas se plantean en cada una de las
ecuaciones de voltaje de acuerdo a la siguiente regla:
1.- De un lado de la ecuación escribimos la suma algebraica de las fuentes
de voltaje conectadas a la malla en que estamos trabajando respetando el
signo de la fuente si la corriente de la malla atraviesa de negativo a
positivo y cambiándole el signo si la atraviesa de positivo a negativo.
2.- Del otro lado de la ecuación hay dos clases de términos:
a) El término llamado propio es igual al producto de la corriente
asignada a la malla que estamos trabajando por la suma de las
resistencias conectadas a dicha malla. Este término lleva signo
positivo.
b) Los términos mutuos que son iguales al producto de corriente
asignada a otra malla adjunta (vecina) y la malla en que estamos
trabajando. Este término lleva signo negativo si las dos corrientes
que la atraviesan son de direcciones opuestas y lleva signo positivo
si las dos corrientes que la atraviesan son de direcciones iguales.
Del problema anterior:
V1  I 1 ( R1  R 2  R 3 )  I 2 ( R 3 )
 V2  I 2 ( R3  R4  R5 )  I1 ( R3 )
 R1  R 2  R 3

 R3

 R3
  I 1   V1 
   

R3  R 4  R5   I 2   V 2 
Si existiera una fuente de corriente ( independiente ó controlada) en
medio de dos mallas se forma lo que se conoce con el nombre de súper
malla la cual necesita dos ecuaciones para resolver.
1.- Ecuación de la súper malla
Es igual a la diferencia de corrientes con la que está involucrada la fuente
de corriente.
2.- Ecuación Auxiliar
Se forma haciendo cero a la fuente de corriente, es decir poniéndola en
circuito abierto y luego se trabaja de acuerdo al procedimiento descrito en
la regla anterior.
Todos los elementos pasivos deben estar en ohmios.
R3
Ejemplo # 6:
R4
R5
R1
I1
I2
30 A
V2
R2
R6
Ecuación de súper malla
30  I 2  I 1
Ecuación Auxiliar
 V 2  I 1 ( R1  R 2  R 3 )  I 2 ( R 4  R 5  R 6 )
R2
I1
3A
R4
Ejemplo # 7:
V1
R1
I2
R5
Cuando está la fuente en la periferia sólo se hace la
ecuación de la súper malla
Ecuación de súper malla
MALLA 2
 3

 R4
I1  3 A
V1= -I1(R4) + I2 (R1+R4+R5)
  I1   0 
    
R1  R 4  R 5   I 2  V1 
0
5
2
Ejm:
Ejercicio 19:
20 A
I3
I2
160 V
2
4
I1
100 V
Malla 1
 100  I 1 ( 4  3  2 )  I 2 ( 4 )  I 3 ( 2 )
 100  9 I 1  4 I 2  2 I 3
Malla 2 y Malla 3
1)
Súper Malla 1
Ecuación de SM1
20  I 3  I 2
2)
Ecuación Auxiliar
160  I 2 ( 2  4 )  I 3 ( 5  2 )  I 1 ( 2  4 )
160   6 I 1  6 I 2  7 I 3
3)
3
a) Matriz Resistencia
 9

0

  6
4
1
6
SOLUCION Ejercicio 19:
 2   I 1    100 
  

1
I2 
20
  

7   I 3   160 
I1= -8,15A
I2= -2,22 A
I3= 17,78 A
b) Potencia en los elementos activos OJO REEMPLAZO INCORRECTO
P160 V  160 I 2
P20 A  V f 1 ( 20 A )
P160 V  160 (  2 )
LVK:
P160 V   320
P160 V  320 W
160  2 I 2  V f 1  4 ( I 2  I 1 )  0
consume
P100 V  (100 V )(  I 1 )
P100 V  100 ( 8 )
P100 V  800 W
V f 1  160  4 I 1  6 I 2
P20 A  80 I 1  120 I 2  3200
P20 A  80 (  8 )  120 (  2 )  3200
P20 A  2800 W
Ejm:
Ejercicio 20:
4
2
Ix
I1
140 V
I3
2V X
2I X
3
80 V
2
+ Vx 20 A
I2
5
I4
4
I5
Respetando las corrientes de mallas asignadas.
Determinar:
a) Potencias asociadas con las fuentes controladas.
b) Potencia en la resistencia de 5 ohmios.
Nota: Todos los elementos pasivos están en ohmios.
3
SM1
Malla 1, Malla 3 y Malla 4
SOLUCION Ejercicio 20
Ecuaciones de SM1
2V X  I 3  I 1
2I X  I4  I3
pero : V X  2 I 5  2 I 3
pero : I X   I 1
4 I 5  4 I 3  I 3  I1
2 I1  I 3  I 4  0
I1  5I 3  4 I 5  0
2)
1)
Ecuación Auxiliar
140  80  I 1 ( 2  3 )  I 3 ( 4  2 )  I 4 ( 5  4 )  I 2 ( 3  5 )  I 5 ( 2  4 )
60  5 I 1  8 I 2  6 I 3  9 I 4  6 I 5
Malla 2
I 2   20 A
SM2
4)
Malla 5
0  2 I 3  4 I 4  9 I 5
5)
3)
1

2

5

0
 0
0
5
0
0
1
1
8
6
9
1
0
0
0
2
4
4   I1   0 
   
I
0
0
 2   
 6   I 3    60 
   
0   I 4   20 
9   I 5   0 
P2 Vx  V f 1 ( 2V X )
LVK:
140  2 I 1  V f 1  3 I 1  3 I 2  0
V f 1  140  5 I 1  3 I 2
P2Vx  (140  5 I 1  3 I 2 )( 4 I 5  4 I 3 )W R//
P2 Ix  V f 2 ( 2 I X )
LVK:
5( I 2  I 4 )  V f 2  4( I 4  I 5 )  0
V f 2  5I 2  5 I 4  4 I 4  4 I 5
V f 2  5I 2  9 I 4  4 I 5
P2 Ix  (  5 I 2  9 I 4  4 I 5 )(  2 I 1 )W
P2   I R
2
P2   ( I 2  I 4 ) ( 5 )
2
R//
R//
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