Profesor:
Fco. Gerardo Peña Lecona.
La Carta de Smith

La C.S. consiste en la gráfica de la impedancia o
admitancia normalizada en el plano definido por .

Se aplica a líneas de transmisión c/s pérdidas.
 Considere el coeficiente de reflexión en la carga L, para
una línea cualquiera:
L 
Z L  Z0
Z L  Z0
 L e
j L
 r  ji
Como  L 1
Todos los valores de L están circunscritos
al círculo unitario ( radio=1).
La Carta de Smith
 Para un punto cualquiera de la línea de transmisión,
ubicado a una distancia d de la carga:
d  Le
2d
 L e
2d
e
j  L 2 d 
 Definiendo la impedancia normalizada en este punto
se tiene:
z
Z

Z0
1  d
1  d

1  L e
2 d
1  L e
 2 d
 Para el caso d=0 ( Z = ZL)
z
ZL
Z0

1  L
1  L

RL  jX L
Z0
 r  jx
La Carta de Smith
O bien:
L 
ZL 1
ZL  1
 r  j i
 Combinando estas dos últimas ecuaciones se obtiene:
2
r
1  r  i
1  r 
2
2
 i
2
x
2 i
1  r 
2
2
 i
2
La Carta de Smith
 Arreglando estas dos últimas ecuaciones, se tiene:
2
r 

 1 
2
 r 
  i  

1 r 

1  r 
2
Centro
(*)
Radio
Ecuación que representa una familia de círculos que
decriben el lugar geométrico de resistencia constante.
2
1

1
r  1   i     
x

 x
2
2
(**)
La Carta de Smith
i
 1 


1 r 
 r 


1 r 
(*)
r
Obs: A lo largo del eje real de  , r varia desde 0 .
La Carta de Smith
i
Grafica
de círculos
de resistencia
constante
en el plano
complejo
para
distintos
radios
r =0.5
r =1
Círculo
unitario
(*)
r =2
r =0
r
La Carta de Smith
 Considerando ahora la segunda ecuación (**):
2
r 

 1 
2
 r 
  i  

1 r 

1  r 
Centro
2
 1
1, 
 x
2
1

1
r  1   i     
x

 x
2
2
(*)
Radio
(**)
Ecuación que representa una familia de círculos que
decriben el lugar geométrico de reactancia constante.
La Carta de Smith
i
1
 
x
(**)
 1
1, 
 x
Obs: Con - < x < 
r
La Carta de Smith
La superposición de estas dos familias de
círculos da origen a
La Carta de Smith
La Carta de Smith
i
r =0.5
r =1
r =2
r =0
 1
1, 
 x
r
Hacia el Generador
Círculo
r=0
Reactancias
(suceptancias)
constantes
Corto
Circuito
(Z=0 )
Circuito
abierto
(Z=)
Resistencias
(conductancias)
constantes
Círculo
unitario
(r=1/g=1)
Hacia la Carga
La Carta de Smith
Adaptación de impedancias.
 Cuando una línea de Transmisión es terminada en una
impedancia distinta de su impedancia característica:
Se originan reflexiones que se traducen
en ondas estacionarias indeseadas.
 En el caso general de posible desadaptación, se
considera:

ZG  Z0
y ZL Z0.
Es necesario ubicar elementos adaptadores
de impedancia en ambos extremos de la línea.
La Carta de Smith
ZG
Z0 , 
Malla
de
Adapt.
VG
ZG
donde:
Z*
Z0
G
ZG  Z0
ZL Z0
Z0
Malla
de
Adapt.
Z0
Z0
Z*
ZL
ZL
L
La Carta de Smith
Elementos de Adaptación de impedancias.
 Diversos son los dispositivos que pueden conformar
las mallas de adaptación de impedancia, por ejemplo:
- Transformador /4
- Stubs
- Mallas , T y L
Secciones
de líneas
Elementos
concentrados
Obs: Cada uno de estos elementos se utiliza según la
aplicación y el tipo de desadaptación.
La Carta de Smith
Transformador /4.
 Se utiliza principalmente si ZL es resistiva pura.
 Consiste en un trozo de cable coaxial (línea de Tx.)
de longitud /4, localizada a una distancia d de la carga.
 /4
d
Z0
ZT
ZL
zt
La Carta de Smith
 Si ZL es carga resistiva pura:
 Se utiliza un Transformador de /4 entre Z0 y ZL:
i)
d=0
ii)
ZT 
Z0 Z L
 Si ZL es carga compleja:
 Se utiliza un Transformador de /4 a una distancia
d (dada por la C.S.) y
ZT 
Obs:
Z 0 Zt
; Zt
Normalmente, para cargas complejas se
emplean los elementos restantes.
 Z 0 zt
La Carta de Smith
Stub Simple.
 Consiste en ubicar un elemento de línea de Tx. en
algún punto P de la línea, a cierta distancia d de la carga,
como muestra la siguiente figura:
P
d
Z0
ZL
La Carta de Smith
 Este elemento (sección) debe proveer una reactancia
(suceptancia) tal que anule la reactancia (suceptancia)
vista en dicho punto P.
 Estas secciones pueden ser terminadas en c.c. o c.a.
 La conexión es como sigue:
P
l
y11
ZL
Z0
P
d
ys
yd
yL
La Carta de Smith
 Dado que la conexión del stub es paralelo, se trabaja
con admitancias.
 El stub debe ubicarse a una distancia d de la carga,
yd  1  jb
donde:
esto es:
yd 
Yd
Y0

y L  j tg  d
1  j y L tg  d
(*)
 De esta forma el valor de la suceptancia que marca el
stub, para producir la adaptación en P- P debe ser
y s   jb
La Carta de Smith
Así, entonces en P- P
y11  1
O bien
Y11  Y 0
 El valor de
del stub según:
Z 11  Z 0
ys   jb , lo determina la longitud l
ysS C   j cot  l
ysOC   j tg  l
(**)
La Carta de Smith
Procedimiento de adaptación usando C.S.
 Dado que resolver las ecuaciones anteriores (*) y (**)
resulta complicado, se utiliza un método expedito y rápido
empleando la Carta de Smith.
Procedimiento
1° La impedancia de carga se lleva a admitancia y se
ubica en la C.S.
zL 
ZL
Z0
yL 
1
zL
yL
Admitancia
normalizada
La Carta de Smith
Procedimiento
2° Se traza el círculo de la ROEV constante para yL.
ROEV
cte
centro
yL
Admitancia
normalizada
La Carta de Smith
Procedimiento
2° Se traza el círculo de la ROEV constante para yL.
3° Se va desde yL en el círculo de ROEV, en dirección al
generador hasta interceptar con g=1.
ROEV
cte
A
yL
Admitancia
normalizada
B
Círculo
unitario
(r=1/g=1)
La Carta de Smith
Procedimiento
2° Se traza el círculo de la ROEV constante para yL.
3° Se va desde yL el círculo de ROEV, en dirección al
generador hasta interceptar con g=1.
4° Se obtiene la distancia d, desde yL hasta el punto A.
d
A
yL
Admitancia
normalizada
B
Círculo
unitario
(r=1/g=1)
La Carta de Smith
Procedimiento
2° Se traza el círculo de la ROEV constante para yL.
3° Se va desde yL el círculo de ROEV, en dirección al
generador hasta interceptar con g=1.
4° Se obtiene la distancia d, desde yL hasta el punto A.
5° Del punto A se lee
yd = gd+jbd
; gd=1
El stub entonces deberá sustraer la suceptancia jbd,
al conectarse en paralelo en dicho punto.
Debe proveer una suceptancia de
valor -jbd
jbd
A
yL
Admitancia
normalizada
B
yd= gd+jbd
La Carta de Smith
Procedimiento
6° Se grafica
ys = -jbd
jbd
A
yL
Admitancia
normalizada
B
ys = -jbd
yd= gd+jbd
La Carta de Smith
Procedimiento
6° Se grafica
ys = -jbd
7° La intersección de ys con el círculo r =0 da el puntoD .
Círculo
r=0
yd= gd+jbd
A
yL
B
Admitancia
normalizada
D
ys = -jbd
La Carta de Smith
Procedimiento
6° Se grafica
ys = -jbd
7° La intersección de ys con el círculo r =0 dá el punto P´.
8° La determinación del largo del stub ls, dependerá si este es
un stub en c-c o c-a. Suponiendo que es del primer tipo, entonces
su largo, en términos de , será el arco desde ZL=0, hasta el punto
P´. (en este caso se ha supuesto así).
Por ejemplo:
Si el stub termina en un corto circuito

se debe venir desde ZS = 0.
Círculo
r=0
yd= gd+jbd
A
ZS =0
yL
B
Admitancia
normalizada
D
ys = -jbd
lS
La Carta de Smith
Por tanto,
 El diseño del stub se enfrenta como una línea de
transmisión cualquiera terminada en un c.c. o c.a.
 De esta forma, la admitancia resultante, despues
de ubicar el stub, en el punto P- P es:
y11  1
Línea
adaptada
La Carta de Smith
Stub Doble.
 A veces la adaptación con un único stub es complicada,
debido a que no siempre es posible tener acceso al punto en
que este debe ser colocado.
 La solución a este problema es utilizar dos stub en
paralelos, separados a una distancia x fija,como muestra
la figura:
x
Obs: x
generalmente
es /8, 3(/8)
o 5(/8).
Z0
Stub 2
Stub 1
ZL
La Carta de Smith
n(/8)
d1
Z0
ZL
Stub 2
Stub 1
 El stub más cercano a la carga, ubicado a una
distancia d1 prefijada, es utilizado para ajustar la
susceptancia de manera de “caer” en el círculo
unitario g=1, desplazado algún múltiplo de /8
(hacia la carga).
La Carta de Smith
 De esta forma, cuando se coloque el segundo stub, a una
distancia n/8 del primero, la admitancia normalizada en este
punto tendrá una conductancia unitaria. Este segundo stub
sustraerá la susceptancia que hay en dicho punto.

Stub 1: permite estar en cualquier punto
de círculo unitario.
Stub 2: permite llegar a colocarnos en el
centro de la C.S.
Se tendrá resuelto
el problema.
La Carta de Smith
Procedimiento de adaptación usando C.S.
 Esquema general de conexión:
n(/8)
y22
d1
y11
Z0
ZL
S1
S2
l2
yS2
yd2
l1
yS1
yd1
yL
La Carta de Smith
Procedimiento
Determinación de Stub 1
1° Se debe identificar yL y trazar el círculo de ROEV
constante.
ROEV
cte
yL
Admitancia
normalizada
La Carta de Smith
Procedimiento
Determinación de Stub 1
1° Se debe identificar yL y trazar el círculo de ROEV
constante.
2° Dibujar el círculo g=1, desplazado n/8 en
dirección de la carga.
Obs: En el ejemplo 3/8.
ROEV
cte
/8
Círculo
unitario
(r=1/g=1)
2/8
yL
Admitancia
normalizada
3/8
Círculo unitario
desplazado en
3/8
La Carta de Smith
Procedimiento
Stub 1
1° Se debe identificar yL y trazar el círculo de ROEV
constante.
2° Dibujar el cículo g=1, desplazado n/8 en dirección
de la carga.
Obs: En el ejemplo 3/8.
3° Ir desde yL a través de ROEV constante, en sentido
del generador, una distancia d1 conocida.
ROEV
cte
A
d1
yL
Admitancia
normalizada
Círculo unitario
desplazado en
3/8
La Carta de Smith
Procedimiento
Stub 1
1° Se debe identificar yL y trazar el círculo de ROEV
constante.
2° Dibujar el cículo g=1, desplazado n/8 en dirección
de la carga.
Obs: En el ejemplo 3/8.
3° Ir desde yL a través de ROEV constante, en sentido
del generador, una distancia d1 conocida.
4° Se obtiene
yd1= gd1+ jbd1
Y se dibuja gd1 en la C.S.
ROEV
cte
yd1= gd1+jbd1
A
gd1
d1
yL
Círculo unitario
desplazado en
3/8
La Carta de Smith
Procedimiento
5° A partir de yd1 , moverse hacia el generador a través
de gd1 hasta interceptar el círculo unitario desplazado.
ROEV
cte
yd1= gd1 + jbd1
gd1
d1
yL
Círculo unitario
desplazado en
3/8
La Carta de Smith
Procedimiento
5° A partir de yd1 , moverse hacia el generador a través
de gd1 hasta interceptar el círculo unitario desplazado.
6° De esta forma se obtiene
y11= gd1- jb11
y
y11’= gd1 -jb11’
ROEV
cte
yd1= gd1+ jbd1
gd1
d1
yL
y11’= gd1 - jb11’
y11= gd1+jb
- jb1111
La Carta de Smith
Procedimiento
5° A partir de yd1 , moverse hacia el generador a través
de gd1 hasta interceptar el círculo unitario desplazado.
6° De esta forma se obtiene
y11= gd1- jb11
y
y11’= gd1 - jb11’
7° Luego, se obtiene yS1 despejando:
y11 = yd1+yS1
y
S1
= - jbS1
yS1 = y11 - yd1
yS1 = gd1-jb11 - gd1-jbd1
yS1 = -j (b11+bd1)
bS1
La Carta de Smith
Procedimiento
8° Se grafica yS1 en la C. S.
ROEV
cte
yd1= gd1+ jbd1
gd1
d1
yL
y11’= gd1 - jb11’
y11= gd1 -jb11
B
yS1 = - jbS1
La Carta de Smith
Procedimiento
8° Se grafica yS1 en la C. S.
9° Se traza una recta desde el centro hasta el punto en
que yS1 intercepta el círculo r = 0, obteniéndose así el
punto D.
ROEV
cte
yd1= gd1 jbd1
gd1
d1
yL
y11’= gd1  jb11’
y11= gd1  jb11
B
yS1 =  jbS1
D
La Carta de Smith
Procedimiento
8° Se grafica yS1 en la C. S.
9° Se traza una recta desde el centro hasta el punto en
que yS1 intercepta el círculo r = 0, obteniéndose así el
punto D.
10° Desde punto D, moviéndose hacia la carga hasta la
terminación del stub, se obtiene el largo del stub 1 (l1),.
Por ejemplo:
Si el stub1 termina en un corto circuito

se debe ir hasta ZS1 = 0.
ROEV
cte
yd1= gd1 jbd1
gd1
d1
yL
y11’= gd1  jb11’
y11= gd1  jb11
B
yS1 =  jbS1
D
l1
La Carta de Smith
Procedimiento
Stub 2
1° Se regresa el círculo unitario a su origen y se
identifica y11 .
yL
y11
yS1 =  jbS1
La Carta de Smith
Procedimiento
Stub 2
1° Se regresa el círculo unitario a su origen y se
identifica y11.
2° Dibujar la ROEV constante para y11.
ROEV
cte para
y11
yL
y11
La Carta de Smith
Procedimiento
Stub 2
1° Se regresa el círculo unitario a su origen y se
identifica y11.
2° Dibujar la ROEV constante para y11.
3° Moverse desde y11 hacia el generador por la ROEV
constante, hasta interceptar el círculo unitario,
obteniéndose
yd2= 1+ jbd2
ROEV
cte para
y11
yd2= 1+ jbd2
yL
y11
La Carta de Smith
Procedimiento
Stub 2
1° Se regresa el círculo unitario a su origen y se
identifica y11.
2° Dibujar la ROEV constante para y11.
3° Moverse desde y11 hacia el generador por la ROEV
constante, hasta interceptar el círculo unitario,
obteniéndose
yd2= 1+ jbd2
4° Luego, se obtiene yS2 despejando:
y22 = yd2+yS2 =1
La Carta de Smith
Procedimiento

yS2 = y22 - yd2
yS2 = 1 - 1-jbd2
yS2 = - j bd2
yS2 = - jbd2
5° Se grafica yS2 en la C.S.
jbd2
yd2= 1+ jbd2
yL
y11
yS2= -jbd2
La Carta de Smith
Procedimiento

yS2 = y22 - yd2
yS2 = 1 - 1-jbd2
yS2 = - j bd2
yS2 = -jbd2
5° Se grafica yS2 en la C.S.
6° Se traza una recta desde el centro hasta el punto en
que yS2 intercepta el círculo r = 0, obteniéndose así el
punto H.
jbd2
yd2= 1+ jbd2
yL
y11
H
yS2= -jbd2
La Carta de Smith
Procedimiento
7° Desde H, moviéndose hacia la carga hasta la
terminación del stub, se obtiene el largo del stub 2 (l2).
Por ejemplo:
Si el stub2 termina en un circuito
abierto
 se debe ir hasta ZS2 = .
jbd2
yd2= 1+jbd2
ZS2 =
yL
y11
H
yS2= -jbd2
l2
La Carta de Smith
Malla L.
 Pasabajos:
 Pasa altos:
Obs:
El Q de estas mallas es determinado por la
relación Z0 y RL.
La Carta de Smith
Procedimiento de adaptación usando C.S.
 Es el caso más simple y se trabaja superponiendo la
carta de impedancia y de admitancia simultáneamente.
 Su procedimiento de adaptación depende de la
forma (serial/paralelo) en que el elemento se conecta a
la carga.
Conexión serie.
jx1
-jx2
ZL
ZL
Z0
 z L  rL  j xL
La Carta de Smith
 Al agregar un elemento en serie a ZL, implica
 Trabajar con la carta de impedancia
 Desplazarse por el círculo de resistencia cte rL.
 Como el elemento siguiente se conecta en paralelo, y
sabiendo que su efecto sólo será sobre la susceptancia
 Es necesario situarse antes sobre el círculo de
conductancia g =1.
 Se debe dibujar simultáneamente g =1 y r =1.
La Carta de Smith
Conexión paralela.
 Se procede en forma análoga al caso anterior, excepto
que :
 Ahora se agrega primero un elemento en
paralelo.
jx2
-jx1

ZL
El primer desplazamiento es sobre el círculo
de g = cte., hasta interceptar el círculo g = 1
La Carta de Smith
Malla T.
 Esta malla impone como primer elemento uno en serie
lo que implica desplazarse por un círculo r = cte.
 Como existen dos elementos más a agregar, se dan
infinitas posibilidades de adaptación.
 Un parámetro que restringe el nº de soluciones es el Q
de la malla.
La Carta de Smith
Malla .
Obs:
Las mallas T y  permiten controlar el Q.
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