Estimación de la diferencia
de medias poblacionales
Objetivos
 Disponemos de muestras independientes de dos
poblaciones.
 Queremos estimar la diferencia entre el valor medio
poblacional de una variable que sigue la
distribución normal en ambas poblaciones
 Por ejemplo, disponemos de un grupo control y un
grupo de tratamiento y queremos estimar la
diferencia en la concentración media de un
metabolito entre ambos grupos para determinar si
el tratamiento consigue disminuir la concentración.
Método
 Calcular las medias y las desviaciones típicas en cada
una de las muestras:
2
Muestra 1 : N 1 , X 1 , s1
Muestra
2:
2
N 2 , X 2 , s2
 El intervalo de confianza de la diferencia de las medias
poblacionales será:
X
1
 X 2   t v ,1  / 2
2
s1
2

N1
s2
N2
v  Entero más próximo
s
s
2
1
/ N1
2
1
 /N
al resultado
/ N1  s / N 2
2
2
2
1


 1  s / N 2
2
2
de calcular
2
 /N
2
2
 1
Ejemplo
 Se determinan los valores de colesterol en niños de
padres que han fallecido por fallo cardiaco (Grupo 1) y
en niños de padres sin historial de problemas
cardiovasculares (Grupo 2). Los resultados son:
N 1  100
X 1  207 . 3
s1  35 . 6
N 2  74
X 2  193 . 4
s 2  17 . 3
 Estima la diferencia de la concentración media de
colesterol en ambos grupos e interpreta el resultado.
Ejemplo
 Con estos valores:
N 1  100
X 1  207 . 3
s1  35 . 6
N 2  74
X 2  193 . 4
s 2  17 . 3
 Calculamos:
( 35 . 6 / 100  17 . 3 / 74 )
2
v
2
 151 . 4
( 35 . 6 / 100 ) /( 100  1)  (17 . 3 / 74 ) /( 74  1)
2
2
2
2
v  151
 El intervalo buscado es:
t151 , 0 .975  1 . 96
( 207 . 3  193 . 4 )  1 . 96 
35 . 6
100
13 . 9  8 . 01  5 . 89 , 21 . 91 
2

17 . 3
74
2
Ejemplo
 Interpretación:
 Con una confianza de 0.95, podemos indicar que
la diferencia de medias poblacionales de
colesterol entre los hijos de padres fallecidos por
fallos cardiacos y los hijos de padres sin historial
de problemas cardiacos se sitúa entre 5.89 y
21.89.
 Por lo tanto, con una confianza de 0.95,
podemos afirmar que el nivel medio de
colesterol es más elevado en los hijos de padres
que han fallecido por fallos cardiacos.
Ejemplo numérico

En un ensayo clínico, se quiere estudiar la efectividad de un nuevo
tratamiento como prevención de parto prematuro. En este ensayo,
se asignan al azar 15 mujeres al grupo control y 15 al grupo de
tratamiento. El tratamiento (o el placebo) se suministran en dosis
diarias únicas entre la semana 24 y la 28 de gestación.
Disponemos de los pesos de los niños nacidos en cada parto (en
libras).




Grupo de tratamiento:
6.9 7.6 7.3 7.6 6.8 7.2 8.0 5.5 5.8 7.3 8.2 6.9 6.8 5.7 8.6
Grupo control
6.4 6.7 5.4 8.2 5.3 6.6 5.8 5.7 6.2 7.1 7.0 6.9 5.6 4.2 6.8
Calcula el intervalo de confianza para la diferencia de medias del
grupo control respecto al de tratamiento y comenta el resultado.
Supongamos que la tercera mujer del grupo control (que ha tenido
un hijo que peso 5.4 lb.) da a luz fuera del hospital que realiza el
estudio y que sus datos se pierden. Calcula el nuevo intervalo de
confianza e interpreta los resultados.
Introducción de los
datos en SPSS
 Definir una variable para
el grupo:
 1: Control
 2: Tratamiento
 Introducir cada caso
especificando grupo y
valor del peso
Cálculo de medias y varianzas
 Utilizar la opción
Analizar>Comparar medias>Medias
Se calcularan estos
índices
El peso es la
variable dependiente
El grupo es la
variable independiente
Podemos espedificar
los índices en Opciones
Resultado
Informe
Peso
Grupo
Control
Media
N
Desv. típ.
6,2600
15
,96051
Tratamiento
7,0800
15
,89936
Total
6,6700
30
1,00487
( 0 . 90 / 15  0 . 96 / 15 )
2
v
2
2
( 0 . 90 / 15 ) / 14  ( 0 . 96 / 15 ) / 14
2
2
2
2
 27 . 88  28
t 28 , 0 . 975  2 . 0484
( 7 . 08  6 . 26 )  2 . 0484 
0 . 90
15
0 . 82  0 . 70  0 . 12 , 1 . 52 
2

0 . 96
15
2
Obtención de resultados con SPSS
 Utilizar el procedimiento:
Analizar>Comparar medias>Prueba T para
muestras independientes
Obtención de resultados con SPSS
Estadísticos de grupo
Peso
Grupo
Tratam iento
N
Control
Media
Desviación
típ.
Error típ. de
la media
15
7,0800
,89936
,23222
15
6,2600
,96051
,24800
Prueba de muestras independientes
Prueba de Levene
para la igualdad de
varianzas
F
Peso
Se han asumido
varianzas iguales
No s e han asumido
varianzas iguales
Sig.
,091
,766
Prueba T para la igualdad de medias
t
gl
Sig. (bilateral)
Diferencia
de medias
Error típ. de
la diferencia
95% Intervalo de
confianza para la
diferencia
Inferior
Superior
2,414
28
,023
,82000
,33975
,12406
1,51594
2,414
27,880
,023
,82000
,33975
,12392
1,51608
El procedimiento empleado no asume igualdad de varianzas
Esta situación puede considerarse de aplicación general
Método asumiendo varianzas
iguales
 Calcular las medias y las desviaciones típicas en cada
una de las muestras:
2
Muestra 1 : N 1 , X 1 , s1
Muestra
2
2:
N 2 , X 2 , s2
 El intervalo de confianza (asumiendo varianzas iguales)
de la diferencia de las medias poblacionales será:
X
1
 X 2   t v ,1  / 2
s
2
N1

s
2
N2
v  n 1  n2  2
( n 1  1) s 1  ( n 2  1) s 2
2
s 
2
n1  n2  2
2
Método asumiendo varianzas
iguales
 Calcular las medias y las desviaciones típicas en cada
una de las muestras:
Estadísticos de grupo
Grupo
Tratam iento
Peso
Control
N
Media
Desviación
típ.
Error típ. de
la media
15
7,0800
,89936
,23222
15
6,2600
,96051
,24800
 El intervalo de confianza (asumiendo varianzas iguales)
de la diferencia de las medias poblacionales será:
X
1
 X 2   t v ,1  / 2
s
2

N1
s
2
v  1 5  15  2  28
N2
(15  1) 0 . 90  (15  1) 0 . 96
2
s 
2
7 . 08  6 . 26   2 . 0484
15
 0 . 86
28
t v ,1   / 2  t 28 , 0 .975  2 . 0484
0 . 86
2

0 . 86
15
 0 . 82  0 . 69  ( 0 . 13 ,1 . 51 )
Cálculo del tamaño muestral para estimar la
diferencia de medias poblacionales
 Si consideramos que el IC se calcula como:
X
1
 X 2   t v ,1   / 2
2
  t v ,1   / 2
 Entonces:
2
s1
s1

N1
N2
 X 1  X 2   
2
s2

N1
N2
N 2 / N1  r

z 1   / 2 r s1  s 2
2
N1 
2
s2
r
2
2

2
 Si asumimos igualdad de
varianzas
N 2 / N1  r
2
N1 
z1  / 2 s
2
r
r  1
2
Cálculo del tamaño muestral para estimar la
diferencia de medias poblacionales
N 2 / N1  r
 Ejemplo:
2
N1 
 En el caso anterior teníamos

z 1   / 2 r s1  s 2
r
2
2

2
Estadísticos de grupo
Peso
Grupo
Tratam iento
Control
N
Media
Desviación
típ.
Error típ. de
la media
15
7,0800
,89936
,23222
15
6,2600
,96051
,24800
 Para estimar la diferencia de medias con una precisión
de 0.5 y tamaños iguales en las dos muestras
(confianza del 95%)
N 2 / N1  r  1
2
N1 

1 . 96 1  0 . 90  0 . 96
2
1  0 .5
2
2
  26 . 6  27
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Estimación de la diferencia de medias