Transferencia de Calor
Capitulo 2
Conducción Estacionaria Unidimensional
CONDUCCIÓN
INTRODUCCIÓN
Ahora, se desea examinar las aplicaciones de la ley de
Fourier de la conducción del calor al cálculo del flujo de
calor en algunos sistemas unidimensionales simples.
Dentro de la categoría de los sistemas unidimensionales, se
pueden encontrar varias formas físicas distintas: los
sistemas cilíndricos y esféricos son unidimensionales
cuando la temperatura en el cuerpo es sólo función de la
distancia radial, e independiente del ángulo azimutal o de
la distancia axial.
PLACA PLANA
Considérese primero la placa plana, donde se puede
aplicar directamente la ley de Fourier [Ec. (1.1)]. Su
integración conduce a:
ECUACION 2.1
donde la conductividad térmica se ha supuesto constante.
El espesor de la placa es Ax, y T, y T, son las temperaturas
de las paredes de la placa.
Si la conductividad térmica varía con la temperatura de
acuerdo con alguna relación lineal, k  k 0 (1   T ) , la ecuación
que resulta para el flujo de calor es:
k0 A 
 2
2 
q
(T 2  T1 )  (T 2  T1 )

 x 
2

ECUACION 2.2
Si hay más de un material presente,
multicapa mostrada en la Figura 2.1,
siguiente: en los tres materiales
gradientes de temperatura, y el flujo
escribir.
q  k A A
T 2  T1
xA
 kB A
T3  T 2
xB
como en la pared
el análisis sería el
se muestran los
de calor se puede
  kC A
T 4  T3
 xC
Resolviendo estas tres ecuaciones simultáneamente, el
flujo de calor se puede poner:
q
T1  T 4
 x A k A A   x B k B A   xC k C A
ECUACION 2.3
En este punto, se replantea ligeramente el enfoque del desarrollo para
introducir la ley de Fourier desde un punto de vista conceptual
diferente. La rapidez de la transferencia de calor puede considerarse
como un flujo, y la combinación de la conductividad térmica, el
espesor del material y el área, como una resistencia a dicho flujo. La
temperatura es la función potencial, o motriz, del flujo de calor, y la
ecuación de Fourier se puede escribir:
Flujo de calor = diferencia de potencial térmico ECUACION 2.4
resistencia térmica
relación bastante parecida a la ley de Ohm de la teoría de circuitos
eléctricos. En la Ec. (2.1) la resistencia térmica es Ax/kA, y en la Ec.
(2.3) dicha resistencia es la suma de los tres términos del
denominador. Se debería esperar la situación de la Ec. (2.3), ya que
las tres paredes adosadas actúan como tres resistencias térmicas en
serie. El circuito eléctrico equivalente se muestra en la Figura 2.lb.
La analogía eléctrica se puede emplear para resolver
problemas más complejos que incluyan tanto resistencias
térmicas en serie como en paralelo. En la Figura 2.2 se
muestra un problema típico y su circuito eléctrico
análogo. La ecuación del flujo de calor unidimensional
para este tipo de problema puede escribirse
q 
ECUACION 2.5
 T total

R termica
donde las R térmica, son las resistencias térmicas de los
distintos materiales. Las unidades de la resistencia
térmica son °C/W ó °F h/Btu.
Es oportuno mencionar que en algunos
sistemas como el de la Figura 2.2, el flujo de
calor puede ser bidimensional si las
conductividades térmicas de los materiales B,
C y D difieren apreciablemente. En estos
casos hay que emplear otras técnicas para
obtener una solución.
AISLAMIENTO Y VALORES DE R
En el Capítulo 1 se hizo notar que las
conductividades térmicas de algunos de los
materiales aislantes vienen dadas en el Apéndice A.
A la hora de clasificar las cualidades del aislante, es
una práctica común en la industria de la
construcción utilizar un término denominado calor
R, definido como:
R 
ECUACION 2.6
T
q
A
C  m / W
Las unidades de R son
2
 F  ft h / Btu
2
. Nótese que
ésta difiere del concepto de resistencia térmica discutido
anteriormente en que se utiliza el flujo de calor por unidad
de superficie.
Llegados a este punto, merece la pena clasificar los
materiales aislantes en función de su aplicación y de los
intervalos de temperatura permitidos. La Tabla 2.1
proporciona dicha información y puede utilizarse
como guía para seleccionar materiales aislantes.
SISTEMAS RADIALES
Cilindros
Considérese un cilindro largo de radio interior ri’, radio exterior re
y longitud L, como el que se muestra en la Figura 2.3. Este
cilindro se somete a una diferencia de temperaturas Ti – Te’’ y se
plantea la pregunta de cuál será el flujo de calor. En un cilindro
cuya longitud sea muy grande comparada con su diámetro, se
puede suponer que el calor fluye sólo en dirección radial, con lo
que la única coordenada espacial necesaria para definir el
sistema es r. De nuevo, se utiliza la ley de Fourier empleando la
relación apropiada para el área. El área para el flujo de calor en
un sistema cilíndrico es:
A r  2  rL
De modo que la ley de Fourier se escribe:
q r   kA r
dT
dr
ó
ECUACION 2.7
Con las condiciones de contorno:
La solución de la Ec. (2.7) es:
ECUACION 2.8
En este caso la resistencia térmica es:
El concepto de resistencia térmica puede utilizarse con
paredes cilíndricas multicapa de la misma manera en que se
hizo con paredes planas. Para el sistema de tres capas
mostrado en la Figura 2.4 la solución es:
ECUACION 2.9
El circuito térmico se muestra en la Figura 2.4b:
ESFERAS
Los sistemas esféricos pueden tratarse también como
unidimensionales cuando la temperatura sea función
únicamente del radio. El flujo de calor es entonces:
ECUACION 2.10
EJEMPLO 2.1. CONDUCCIÓN ENMULTICAPA. Una pared exterior de una casa se
puede aproximar por una capa de lo,16 cm de ladrillo corriente [k = 0,7 W/m .
°C] seguida de una capa de 3,81 cm de yeso [k = 0,48 W/m. °C]. ¿Qué espesor
de aislante de lana de roca [k = 0,065 W/m . °C] debería añadirse para reducir
en un 80 por 100 la pérdida de calor (o la ganancia) a través de la pared?
Solución. La pérdida total de calor vendrá dada por:
Dado que la pérdida de calor con el aislamiento de lana de roca será sólo el 20
por 100 (una reducción del 80 por 100) de la que se tenía antes del aislamiento:
Para el ladrillo y el yeso se tiene, por unidad de área,
de modo que la resistencia térmica sin aislamiento es:
Entonces:
y esto representa la suma del valor anterior y de la resistencia de
la lana de roca:
Así que:
EJEMPLO 2.2. SISTEMA CILÍNDRICO MULTICAPA. Un tubo de paredes gruesas
de acero inoxidable Cl8 % Cr, 8 % Ni, k = 19 W/m. “C] de 2 cm de diámetro
interior (DI) y 4 cm de diámetro exterior (DE), se cubre con una capa de 3 cm
de aislante de asbesto [k = 0,2 W/m . “Cl. Si la temperatura de la pared interna
del conducto se mantiene a 6OO”C, calcúlese la pérdida de calor por metro de
longitud. Calcúlese también la temperatura de la interfaz tubo-aislante.
Solución. La figura adjunta muestra el circuito térmico para este problema. El
flujo de calor viene dado por:
Este flujo de calor se puede emplear para el cálculo de la
temperatura de la interfaz entre la pared del tubo y el
aislante. Se tiene
donde Ta es la temperatura de la interfaz, y de ella se obtiene
La resistencia térmica mayor corresponde claramente al
aislante, con lo que la mayor parte de la caída de temperatura
tiene lugar a través de este material.
Condiciones de contorno con convección
Ya se ha visto en el Capítulo 1 que la transferencia de calor por
convección puede calcularse con:
También se puede establecer una analogía con la resistencia
eléctrica para el proceso de convección reescribiendo la
ecuación como
ECUACION 2.11
donde el término 1/hA se convierte ahora en la resistencia a la
transferencia de calor por convección.
COEFICIENTE GLOBAL DE
TRANSFERENCIA DE CALOR
Considérese la pared plana de la Figura 2.5, en contacto con un fluido caliente A por
una cara y con un fluido más frío B por la otra cara. La transferencia de calor se
expresa por:
El proceso de transferencia de calor se puede representar por el circuito de
resistencias de la Figura 2.5b, y la transferencia de calor global se calcula como
el cociente entre la diferencia total de temperaturas y la suma de las resistencias
térmicas
ECUACION 2.12
Obsérvese que el valor de 1/hA se emplea para representar la resistencia a la
transferencia de calor por convección. La transferencia de calor global que
combina la conducción y la convección se expresa con frecuencia en función de
un coeficiente global de transferencia de calor U, definido por la relación
ECUACION 2.13
donde A es algún área apropiada para el flujo de calor. De acuerdo con la Ec.
(2.12), el coeficiente global de transferencia de calor sería:
El coeficiente global de transferencia de calor está también
relacionado con el valor de R de la Ec. (2.6) a través de:
Para un cilindro hueco cuyas superficies interior y exterior se
hallan expuestas a un ambiente convectivo, la analogía de la
resistencia eléctrica podría quedar como se muestra en la Figura
2.6 donde, de nuevo, TA y TB y son las dos temperaturas del
fluido. Nótese que en este caso el área para la convección no es
la misma para ambos fluidos, y depende del diámetro interior
del tubo y del espesor de la pared. El coeficiente global para la
transferencia de calor en este caso se expresaría con:
ECUACION 2.14
de acuerdo con el circuito térmico mostrado en la Figura 2.6.
Los términos Ai y Ae representan las áreas de las caras interna
y externa del tubo interior. El coeficiente global de transferencia
de calor puede basarse tanto en el área interna como externa
del tubo. Por tanto:
ECUACION 2.15
ECUACION 2.16
Los cálculos de los coeficientes de transferencia de calor
por convección que se utilizan en el coeficiente global de
transferencia de calor, se efectúan de acuerdo con los
métodos descritos en capítulos posteriores. En la Tabla
10.1 se dan algunos valores típicos del coeficiente global
de transferencia de calor para cambiadores de calor.
EJEMPLO 2.3. TRANSFERENCIA DE CALOR A TRAVÉS DE UNA PARED COMPUESTA.
Los listones de madera «dos por cuatro» tienen unas dimensiones reales de 4,13 x
9,21 cm y una conductividad térmica de 0.1 W/m * °C. Una pared típica de una
casa está construida como se muestra en la Figura Ejemplo 2.3. Calcúlese el
coeficiente global de transferencia de calor y el valor de R de la pared.
Solución. Se puede suponer que la sección de la pared tiene dos caminos paralelos
para el flujo de calor: (1) a través de los listones, y (2) a través del aislante. Se
calculará la resistencia térmica para cada uno, y luego se combinarán los valores
para obtener el coeficiente global de transferencia de calor.
1. Transferencia de calor a través de listones (A = 0,0413 m² por
unidad de profundidad). Este flujo de calor tiene lugar a través de seis resistencias
térmicas:
a) Resistencia a la transferencia de calor por convección en el exterior
del ladrillo
b) Resistencia a la transferencia de calor por conducción en el
ladrillo
c) Resistencia a la transferencia de calor por conducción a través del
revestimiento externo
d) Resistencia a la transferencia de calor por conducción a través del
listón de madera
e) Resistencia a la transferencia de calor por conducción a través del
revestimiento interno
f) Resistencia a la transferencia de calor por convección en el interior
La resistencia térmica total a través de la sección del listón de madera es
2. Sección del aislante (A = 0,406 - 0,0413 m² por unidad de profundidad). A
través de la sección del aislante, cinco de los materiales son el mismo, pero las
resistencias llevan términos de áreas diferentes, esto es, 40,6 - 4,13 cm en lugar
de 4,13 cm, de modo que cada una de las resistencias anteriores se debe
multiplicar por un factor igual a 4,13/(40,6 - 4,13) = 0,113. La resistencia a
través del aislante es
y la resistencia total a través de la sección del aislante es
La resistencia global de la sección se obtiene combinando las
resistencias en paralelo de las Ecs. anteriores para dar
Este valor está relacionado con el coeficiente global de transferencia
de calor por
donde A es el área total de la sección = 0,406 m². Así,
Como se ha visto, el valor de R es algo diferente de la resistencia
térmica y viene dado por
Comentario.
Este
ejemplo
ilustra
las
relaciones entre los conceptos de resistencia
térmica, coeficiente global de transferencia de
calor, y valor R. Nótese que el valor R implica
el concepto de unidad de área, mientras que
la resistencia térmica no.
EJEMPLO 2.4. COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR DE UN
TUBO. Por el interior de un tubo de 2,5 cm de diámetro interior circula agua
a 50°C de modo que hi = 3.500 W/m². °C. El tubo tiene una pared de 0,8
mm de espesor, con una conductividad térmica de 16 W/m. °C. El exterior
del tubo pierde calor por convección natural con he = 7,6 W/m² °C.
Calcúlese el coeficiente global de transferencia de calor y la pérdida de calor
por unidad de longitud hacia el aire circundante, que está a 20°C.
Solución. En este problema hay tres resistencias en serie, como se ilustra en
la Ec. (2.14). Con :
La resistencia del exterior a la transferencia de calor por convección es claramente
la mayor, y es así de manera irrefutable. Esto significa que ésta es la resistencia
que controla la transferencia total de calor, dado que las otras resistencias (en
serie) son, en comparación, despreciables. El coeficiente global de transferencia de
calor se basará en el área exterior del tubo y se escribirá
Que es un valor muy próximo de he=7,6 para el coeficiente de convección
exterior. La transferencia de calor se obtiene de la ec. (a) con:
Comentario. Este ejemplo ilustra el hecho importante de que
muchos problemas prácticos de transferencia de calor implican
múltiples modos de transferencia de calor actuando en
combinación; en este caso, como una serie de resistencias
térmicas. No es inusual que uno de los modos de transferencia
de calor domine el problema global. En este ejemplo, la
transferencia de calor total se podría haber calculado de forma
muy aproximada calculando, únicamente, la pérdida de calor
por convección natural desde el exterior del tubo, mantenido a
una temperatura de 50 °C. Debido a que las resistencias a la
transferencia de calor por convección interior y de la pared del
tubo son tan pequeñas, las caídas de temperatura son
consecuentemente pequeñas, y la temperatura exterior del tubo
estará muy próxima a la del líquido del interior, 50°C.
ESPESOR CRITICO DE AISLAMIENTO
Considérese una capa de aislante que podría instalarse alrededor
de una tubería circular, como se muestra en la Figura. 2.7. La
temperatura interna del aislante está fijada en Ti, y la superficie
externa está expuesta a un entorno convectivo a T∞. Según el
circuito térmico, la transferencia de calor es
ECUACION 2.17
Ahora se analiza esta expresión para determinar el radio exterior
de aislamiento re que hace máxima la transferencia de calor. La
condición con para conseguir el máximo es:
Que conduce al resultado:
ECUACION 2.18
La Ec. (2.18) expresa el concepto de radio crítico de
aislamiento. Si el radio exterior es menor que el valor
dado por esta ecuación, entonces la transferencia de
calor aumentará al añadir más aislante. Para radios
externos mayores que el valor crítico, un aumento de
espesor de aislante causará una disminución de la
transferencia de calor. El concepto fundamental es que,
para valores suficientemente pequeños de h, la pérdida
de calor por convección puede aumentar realmente con
la adición de aislante, debido al aumento del área
superficial.
EJEMPLO 2.5. ESPESOR CRÍTICO DE AISLAMIENTO. Calcúlese el espesor crítico de
aislamiento para el asbesto [k = 0,17 W/m °C] que rodea una tubería y se halla
expuesto al aire de una habitación a 20 °C con h = 3,0 W/m² °C. Calcúlese la
pérdida de calor desde una tubería a 200 °C, de 5,O cm de diámetro, cuando se
cubre de aislante con el radio
crítico, y sin aislamiento.
Solución. De la Ec. (2.18) se calcula re como
El radio interior del aislamiento es 5,012 = 2,5 cm, de modo que la transferencia
de calor se calcula a partir de la Ec. (2.17) como
Sin aislamiento, la convección desde la superficie exterior de la tubería es
Así, la adición de 3,17 cm (5,67 - 2,5) de aislante, realmente
aumenta la transferencia de calor en un 25 por 100.
Como alternativa, podría emplearse como material aislante la
fibra de vidrio, con una conductividad térmica de 0,04 W/m °C.
Entonces, el radio crítico sería
Ahora, el valor del radio crítico es menor que el radio exterior de
la tubería (25 cm), por lo que la adición de cualquier cantidad
de aislante de fibra de vidrio originaría una disminución de la
transferencia de calor. En un problema práctico de aislamiento
de tuberías, la pérdida total de calor estará también
influenciada por la radiación, tanto como por la convección
desde la superficie exterior del aislante.
SISTEMAS CON FUENTES DE CALOR
Gran cantidad de aplicaciones interesantes de los
principios de la transferencia de calor están relacionadas
con sistemas en los que puede generarse calor
internamente. Los reactores nucleares son un ejemplo; los
conductores eléctricos y los sistemas químicamente
reactantes, otros. En este punto la discusión se ceñirá a
sistemas unidimensionales, o, más específicamente, a
sistemas donde la temperatura sólo es función de una
coordenada espacial.
Pared plana con fuentes de calor
Considérese la pared plana con fuentes de calor distribuidas
uniformemente, mostrada en la Figura 2.8. El espesor de la
pared en la dirección x es 2L, y se supone que las
dimensiones en las otras direcciones son suficientemente
grandes como para que el flujo de calor pueda considerarse
unidimensional. El calor generado por unidad de volumen es ԛ’
y se supone que la conductividad térmica no varía con la
temperatura. Esta situación podría producirse en un caso
práctico haciendo pasar una corriente a través de un material
que sea conductor de la electricidad. Del Capítulo 1, la
ecuación diferencial que gobierna el flujo de calor es:
ECUACION 2.19
Como condiciones de contorno, se especifican las temperaturas a cada
lado de la pared, esto es
ECUACION 2.20
La solución general de la Ec. (2.19) es
ECUACION 2.21
Debido a que la temperatura debe ser la misma a cada lado de la pared,
C1, tiene que ser cero. La temperatura en el plano medio se denota por
T0, y de la Ec. (2.21)
La distribución de temperatura es, por tanto,
ECUACION 2.22A
ECUACION 2.22B
una distribución parabólica. Para la temperatura del plano
medio, T0, se puede obtener una expresión por medio de un
balance de energía. En condiciones estacionarias, el calor total
generado debe ser igual al calor perdido por las caras. Así
donde A es el área de la sección transversal de la placa. El
gradiente de
entonces
y
ECUACION 2.23
Este mismo resultado se podría haber obtenido
sustituyendo T = T0, para x = L en la Ec. (2.22a).
La ecuación para la distribución de temperatura podría
escribirse también de forma alternativa:
ECUACION 2.22C
CILNDROS CON FUENTES DE
CALOR
Considérese un cilindro de radio R con fuentes de calor
uniformemente distribuidas y conductividad térmica constante.
Si el cilindro es lo suficientemente largo como para que pueda
considerarse la temperatura función del radio únicamente, se
puede obtener la ecuación diferencial apropiada despreciando los
términos axial, azimutal y temporal en la Ec. (1.3b)
ECUACION 1.3B
ECUACION 2.24
Las condiciones de contorno son
y el calor generado es igual a la pérdida de calor en la
superficie:
Puesto que la función de la temperatura a de ser continua en el
centro del cilindro se podría especificar que:
Sin embargo, no será necesario utilizar esta condición, ya que se
verificará automáticamente cuando se satisfacen las dos
condiciones de contorno.
Se reescribe la Ec. (2.24)
y se advierte que
La integración da entonces
De la segunda condición de contorno anterior
Así que
Se podría advertir también que C1, debe ser cero porque, en r = 0, la
función logaritmo se hace infinito, de la primera condición de contorno
de modo que
La solución final para la distribución de temperaturas es
entonces
ECUACION 2.25A
o, en forma adimensional,
ECUACION 2.25B
donde T0, es la temperatura en r = 0 y viene dada por
ECUACION 2.26
Se deja como ejercicio demostrar que el gradiente de
temperaturas en r = 0 es cero.
Para un cilindro hueco con fuentes de calor uniformemente
distribuidas, las condiciones de contorno apropiadas serían
La solución general sigue siendo
La aplicación de las nuevas condiciones de contorno da
ECUACION 2.27
SISTEMAS CON CONDUCCION-CONVECCION
Con frecuencia el calor conducido a través de un cuerpo ha de
evacuarse mediante algún proceso de convección. Por ejemplo el
calor perdido por conducción a través de la pared de un horno de
disiparse por convección hacia los alrededores.
En aplicaciones de cambiadores de calor se podría emplear un
montaje de tubos con aletas para evacuar el calor desde un liquido
caliente.
El calor es conducido a través del material y disipado finalmente
por convección hacia los alrededores.
Obviamente desde un punto de vista practico es muy
importante un análisis de sistemas con conducción y convección
combinadas.
Considérese la aleta unidimensional expuesta a un fluido
circulante que esta a una temperatura T∞ como se muestra en
la figura 2.9 la temperatura de la base de la aleta es T∞ el
problema se trata efectuando un balance de energía en un
elemento de espesor dx de la aleta:
Energía que entra por la cara izquierda= energía que entra por
la cara derecha + energía perdida por convección
Se recuerda que la ecuación que define el coeficiente de
transferencia de calor por convección es:
ECUACION 2.29
Donde el área en esta ecuación es el área superficial para la
convección. Sea A el área de la sección transversal de la aleta y
P el perímetro. Las cantidades de energía son entonces:
Energía que entra por la cara izquierda
Energía que sale por la cara derecha
Energía perdida por convección
Aquí se advierte que el área superficial diferencial para la
convección es el producto del perímetro de la aleta por la
longitud diferencial dx. Cuando se cambian estas unidades el
balance de energía da:
ECUACION 2.30 A
Sea θ=T-T∞ entonces la ecuación (2.30 a) queda:
ECUACION 2.30 B
Una condicion de contorno es:
Si se hace m² = hP/kA, la solución general de la Ec. (2.30b) puede escribirse
ECUACION 2.31
Las condiciones de contorno para el caso 1 son
Y SOLO QUEDA
Para el caso 3 las condiciones de contorno son
ECUACION 2.32
Resolviendo en las constantes C1 y C2, se obtiene:
ECUACION 2.33 A
ECUACION 2.33 B
Las funciones hiperbólicas se definen como
La solución para el caso 2 es algebraicamente más compncaaa,
y el resultado es
ECUACION 2.34
Todo el calor perdido por la aleta debe ser conducido hacia la
base en x = 0. Utilizando las ecuaciones para la distribución de
temperatura, se puede calcular la pérdida de calor a partir de:
Se podría emplear un método alternativo para integrar la
pérdida de calor por convección:
ALETAS
En el desarrollo siguiente, se obtienen relaciones para la
transferencia de calor desde una barra o aleta de área de
sección transversal uniforme, que sobresale de una pared plana.
En las aplicaciones prácticas, las aletas pueden tener secciones
transversales de área variable y pueden estar unidas a
superficies circulares. En ambos casos, en la deducción, el área
debe considerarse como una variable y la solución de la ecuación
diferencial básica y las técnicas matemáticas, se hacen más
tediosas. Para esas situaciones más complejas se presentan sólo
los resultados. Para los detalles de los métodos matemáticos
empleados en la obtención de las soluciones, se remite al lector
a las Referencias 1 y 8.
Para indicar la efectividad de una aleta en la transferencia de
una cantidad de calor dada, se define un nuevo parámetro
denominado rendimiento de aleta como
Se supuso que las aletas discutidas anteriormente eran lo
suficientemente anchas como para que el flujo de calor pudiera
considerarse unidimensional. La expresión para mL puede
escribirse
donde z es la anchura de la aleta y t es el espesor. Ahora, si la
aleta es suficientemente ancha, el término 22 será grande
comparado con 2t, y
Multiplicando el numerador y el denominador por L¹∕² se tiene
Lt es el área del perfil de la aleta, que se define como
de modo que
En la Figura 2.10 se muestran ejemplos de
otros tipos de aleta. La Figura 2.11 presenta
una comparación de los rendimientos de una
aleta triangular y una aleta rectangular recta.
La Figura 2.12 muestra los rendimientos de
aletas anulares con área de sección transversal
rectangular.
Es interesante destacar que el rendimiento de aleta alcanza su
máximo valor en el caso trivial en que L = 0, o cuando no hay
aleta en absoluto. Por tanto, no se debería esperar poder
maximizar el rendimiento de la aleta con respecto a la longitud
de la aleta. Es posible, sin embargo, maximizar el rendimiento
con respecto a la cantidad de material de aleta (masa, volumen,
o coste), y tal proceso de maximización tiene un significado
económico bastante obvio. No se ha discutido el tema de la
transferencia de calor por radiación desde aletas. La
transferencia de calor por radiación es una faceta importante en
muchas aplicaciones, y el lector interesado debería consultar a
Siegel y Howell [9] para obtener información sobre este tema.
En algunos casos, un método válido para evaluar el rendimiento
de una aleta es comparar la transferencia de calor con aleta.
con la que se obtendría sin aleta. El cociente de esas cantidades
es
donde A, es el área total de la superficie de la aleta y A, es el
área de la base.
y el cociente de calores quedaría
A esto se le llama a veces efectividad de la aleta.
Resistencia térmica de combinaciones aleta-pared
Considérese una aleta unida a una pared, como se ilustra, tanto
en la Figura 2.11 como en la Figura 2.12. Se puede calcular una
resistencia térmica de la pared utilizando R, = ∆x/kA para una
pared plana, o Rp = In (re/ri)/2pi*kL para una pared cilíndrica.
La resistencia a la transferencia de calor por convección en la
superficie, en ausencia de aleta, sería 1/hA. La resistencia
combinada de la aleta a la conducción y a la convección, Ra’,
está relacionada con el calor perdido por la aleta a través de
o puede expresarse la resistencia de la aleta como
La transferencia de calor global a través de la combinación
aleta-pared es entonces
donde Ti es la temperatura interior de la pared y Rpa, es la
resistencia de la pared en la localización de la aleta. Esta
transferencia de calor es solamente para la parte de pared con
la aleta. Considérese ahora la sección de pared mostrada en la
Figura 2.13, con un área Ab de la pared ocupada por la aleta y
con un área Ai para la parte de la pared que está expuesta
directamente a la convección con el ambiente. La transferencia
de calor de la pared libre es
CONDICIONES DONDE LAS ALETAS NO AYUDAN
En este punto se debería advertir que la instalación de aletas en una superficie con
transferencia de calor no aumentará el flujo de calor necesariamente. Si el valor del
coeficiente de convección h es grande, como 10 es en líquidos en ebullición o en
fluidos a gran velocidad, la aleta puede originar una reducción de la transferencia
de calor, porque la resistencia a la transferencia de calor por conducción
representa, entonces, un impedimento mayor al flujo de calor que la resistencia a
la transferencia de calor por convección. Para ilustrar este punto, considérese una
aleta de aguja de acero inoxidable que tiene k = 16 W/m. °C, L = 10 cm, d = 1 cm
y que está expuesta a la convección en agua en ebullición con h = 5.000 W/m2. °C.
Así, esta varilla, relativamente grande, origina un aumento en la
transferencia de calor de sólo un 13 por 100.
En el Problema 2.66, se discute otro método para evaluar el
comportamiento de una aleta. Kern y Kraus [S] ofrecen una
discusión completa sobre transferencia de calor en superficies
adicionales. En la Figura 2.14 se muestran algunas fotografías de
distintas configuraciones de aletas, empleadas en aplicaciones de
refrigeración en electrónica.
RESISTENCIA TERMICA DE
CONTACTO
Imagínate dos barras solidas puestas en contacto como se indica
en la figura 2.15 con sus superficies laterales aisladas de modo
que el calor fluye únicamente en dirección axial. Los materiales
pueden tener distintas conductividades térmicas pero si las
superficies laterales están aisladas el flujo de calor debe ser el
mismo atreves de ambos materiales en régimen estacionario. La
experiencia muestra que el perfil real de temperatura a traves de
los dos materiales varia aproximadamente como se muestra en
la figura 2.15b .
Se dice que la caída de temperatura en el plano 2, plano de
contacto entre dos materiales es el resultado de una resistencia
térmica de contacto. Efectuando un balance de energía en los
dos materiales se obtienede contacto
Donde la magnitud 1/hA recibe el nombre de resistencia termica
y hc coeficiente de contacto.
Este factor puede resultar extremadamente importante en
muchas aplicaciones, debido a las muchas situaciones de
transferencia de calor que implican la unión mecánica de dos
materiales.
El mecanismo físico de la resistencia de contacto se puede
entender mejor examinando con más detalle una unión, como
se muestra en la Figura 2.16. Se ha exagerado la rugosidad real
de la superficie para llevar a cabo la discusión. Ninguna
superficie real es perfectamente lisa, y se cree que la rugosidad
real de la superficie juega un papel fundamental al determinar
la resistencia de contacto. Hay dos contribuciones principales a
la transferencia de calor en la unión:
1. La conducción sólido-sólido en los puntos de contacto.
2. La conducción a través de los gases atrapados en los espacios
vacíos creados por el contacto
Se cree que el segundo factor representa la mayor resistencia al
flujo de calor, porque la conductividad térmica del gas es
bastante pequeña comparada con la de los sólidos. Designando
el área de contacto por Ac, y el área vacía por Av, se puede
escribir para el flujo de calor a través de la unión
donde L, es el espesor del espacio vacío y k, es la conductividad
térmica del fluido que llena el espacio vacío. El área total de la
sección transversal de las barras es A. Resolviendo en hc,
coeficiente de contacto, se obtiene
En la mayoría de los casos, el aire es el fluido que llena el espacio vacío
y kf es pequeña comparada con ka y k,. Si el área de contacto es
pequeña, la mayor parte de la resistencia térmica proviene del espacio
vacío. El principal problema de esta teoría simple es que resulta
extremadamente difícil determinar valores efectivos de Ac, Av y Lg, y
para superficies en contacto. A partir del modelo físico anterior, se
puede concluir de forma aproximada que:
1. La resistencia de contacto debería aumentar al disminuir la presión
del gas ambiente, cuando la presión desciende por debajo del valor para
el que el recorrido libre medio de las moléculas es grande comparado
con una dimensión característica del espacio vacío, ya que la
conductancia térmica efectiva del gas atrapado disminuirá para esa
condición.
2. La resistencia de contacto debería disminuir al aumentar la presión de
la unión, ya que esto origina una deformación de los puntos
sobresalientes de las superficies de contacto creando, de ese modo, un
área de contacto mayor entre los sólidos.
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Transferencia de Calor