COMBINANDO FUNCIONES
COMPOSICIÓN Y DESCOMPOSICIÓN
UNIDAD I
FUNCIONES Y TRANSFORMACIONES
A.PR.11.3.2
J. Pomales
CeL
INTRODUCCIÓN
En el tema pasado realizamos
combinaciones de funciones a través de la
suma, resta, multiplicación y división.
Hoy, trabajaremos con una quinta
combinación llamada composición. Se
realizarán en: expresiones algebraicas,
tablas y gráficas.
Luego definiremos y haremos ejercicios de
su operación contraria: descomposición.
COMPOSICIÓN
DE FUNCIONES
¿QUÉ ES COMPOSICIÓN DE
FUNCIONES?
De forma sencilla, la composición
de funciones es colocar una
función dentro de otra y
simplificarla.
Al igual que con las operaciones
básicas, al hacer la composición
de funciones (concatenación)
generamos una nueva función.
¿QUÉ ES COMPOSICIÓN DE
FUNCIONES?
Se denota: (f o g)(x) = f [g(x)]
Se lee: “ g compuesta con f ”
A g se le llama la función interior,
o primera función y a f la función
exterior, o segunda función en la
composición.
CARACTERÍSTICAS DE LA
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Cuando se escribe f o g
entendemos que g es la
primera función que actúa
en la cadena, a pesar de
que se escribe a la derecha
después de f
CARACTERÍSTICAS DE LA
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES?
No necesariamente todos los
elementos del dominio de g
estarán en el dominio de f o g
La operación de componer
funciones no es conmutativa, es
decir que en general:
fog ≠ gof
(aunque puede haber excepciones)
EJEMPLOS
DE COMPOSICIÓN DE
FUNCIONES
HALLA LAS SIGUIENTES
COMPOSICIONES
Si f(x)  2 x  1 y g(x)  x
2
halla: f
o
g
SOLUCIÓN
(f
o
g )( x)  f [ g ( x)]
2
 f (x )
2
 2( x )  1
2
 2x 1
Lo que hicimos fue colocar
una función dentro de la
otra y simplificar:
f ( x)  2 x  1
 2(
) 1
2
 2x 1
2
2
g ( x)  x
HALLA LAS SIGUIENTES
COMPOSICIONES
Si f(x)  2 x  1 y g(x)  x
2
halla: g
o
f
SOLUCIÓN
( g o f )( x)  g[ f ( x)]
 g ( 2 x  1)
 ( 2 x  1)
2
Lo que hicimos fue colocar
una función dentro de la
2
 4 x  4 x  1 otra y simplificar:
2
 11
g ( x)  x
f ( x)  2 xx 
(
)
2
 4x  4x 1
2
CREA LA TABLA DE VALORES DE LA
SIGUIENTE COMPOSICIÓN
Halla g
o
f
Asegúrate de comenzar por la primera función
que en este caso es f (x)
x
f(x)
x
g(x)
1
-3
2
10
2
2
0
3
3
4
4
4
4
6
-9
-6
5
0
1
0
6
1
-3
2
7
-9
6
-5
x
(g o f)(x)
CREA LA TABLA DE VALORES DE LA
SIGUIENTE COMPOSICIÓN
Halla g
o
CUIDADO: No siempre el dominio de la
nueva función será el mismo que el dominio
de la función original.
f
x
f(x)
x
g(x)
x
1
-3
2
10
1
2
2
2
0
3
3
4
4
4
2
3
10
4
4
6
-9
-6
4
-5
5
0
1
0
6
1
-3
2
5
6
3
0
7
-9
6
-5
7
-6
(g o f)(x)
DIBUJA LA GRÁFICA DE LA SIGUIENTE
COMPOSICIÓN
Halla (m o h)(x)
Dato: La composición de dos funciones
lineales siempre será otra lineal.
Asegúrate de comenzar por la primera función
m(x)
h(x)
2.5
1.6
-5  -2
-2  1
El valor del recorrido lo uso como
dominio en la otra función
-2  2.5
1  1.6
 Cuando no se conoce qué tipo de gráfica será la composición entonces
necesitas encadenar muchas parejas de puntos. 
DIBUJA LA GRÁFICA DE LA SIGUIENTE
COMPOSICIÓN
Halla (m o h)(x)
(m o h)(x)
-5  -2
-2  1
-2  2.5
1  1.6
Como sabemos que de dos
funciones lineales obtenemos la
composición de otra función
lineal, sólo necesitamos dos
puntos para la construcción de la
nueva función.
¿Sabes cuáles son estos puntos?
DIBUJA LA GRÁFICA DE LA SIGUIENTE
COMPOSICIÓN
Halla (m o h)(x)
(m o h)(x)
2.5
1.6
-5  -2
-2  1
-2  2.5
1  1.6
Utilizo el valor del dominio de
la primera función junto al
valor del rango de la segunda
función
-5  2.5
-2  1.6
¡Y listo!
¿Por qué sólo se utilizaron 2 puntos para construir la nueva gráfica?
DESCOMPOSICIÓN
DE FUNCIONES
¿QUÉ ES DESCOMPOSICIÓN
DE FUNCIONES?
Es identificar cuáles funciones se
componen para formar otra.
Es el proceso opuesto a componer
funciones.
Este proceso se estudiará más a
fondo en los cursos de Cálculo.
¿QUÉ ES DESCOMPOSICIÓN
DE FUNCIONES?
La descomposición de una función
cualquiera no es única, puede
incluir dos o más funciones.
Es necesario que se establezca el
orden en que se deben componer
las funciones para obtener la
función original.
EJEMPLOS
DE DESCOMPOSICIÓN
DE FUNCIONES
DESCOMPONER h(x) EN 2
FUNCIONES
Recuerda mencionar el orden en que se debe
componer la función y comprueba su resultado:
1) h ( x ) 
g ( x) 
3x  2
x
El orden sería
COMPROBACIÓN:
f (x)  3 x  2
y
3x
 g (3 x  2 )
h(x)  (g o f)(x)

OTRA SOLUCIÓN PODRÍA SER:
g ( x) 
( g o f )( x )  g [ f ( x )]
y
f (x)  x 
3x  2
( g o f )( x )  g [ f ( x )]
2
3
¿Qué ocurre si cambias el orden?
No se genera la función original h(x), a
menos que intercambies el nombre de las
funciones en la solución.
 g(x 
2
)
3

3( x 

3 x  3

3x  2
2
)
3
2
3
REFERENCIAS
PRECÁLCULO. Waldo Torres,
Publicaciones
Puertorriqueñas
PRECÁLCULO, FUNCIONES Y
GRÁFICAS. Barnett, Ziegler,
Byleen, McGraw Hill
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