PERIMETRO Y ÁREA DEL
TRIÁNGULOS
@ Angel Prieto Benito
Apuntes Matemáticas 1º ESO
1
Perímetro del Triángulo
La palabra perímetro Proviene del griego “prímetron”
que quiere decir “la medida alrededor”
El perímetro de un triángulo
es la suma de los tres lados
P= A+B+C
C
A
B
Área del Triangulo
El área de un triángulo de base B y
altura h, se obtiene mediante la
formula:
a
c
h
b
Altura (h)
La recta perpendicular a un lado, que hace de base,
trazada desde el vértice opuesto a dicho lado.
3
FÓRMULA DE HERÓN
El área de un triángulo de lados a,b,c, también se puede
obtener sin conocer la altura “h”, usando la Formula de
Herón de Alejandría:
Donde “s” significa semiperímetro
FÓRMULA DE HERÓN
Ejemplo: Calcular el perímetro y el área que se muestra
en la siguiente figura
P= a + b + c
P= 2 cm + 3 cm + 4 cm = 9 cm
b=3 cm
c=4 cm
a=2 cm
Ejemplo: Calcular el
perímetro y el área que
se muestra en la
siguiente figura
P=a+b+c
P = 8 + 6 + 10 = 24 cm
a = 8 cm
b = 6 cm
c = 10 cm
Un triángulo isósceles mide 23 cm de Perímetro y
uno de sus lados iguales mide 9 cm ¿Cuánto mide
el lado desigual?
P=a+b+c
23 = 9 + 9 + c
23 – 18 = c
5=c
FÓRMULA DE HERÓN
• EJEMPLO 1
• Hallar el perímetro y el área del triángulo cuyos
lados miden a=3, b=5 y c=7 cm
•
•
•
•
•
P = a+b+c = 4+5+7 = 16
p= P/2 = 16/2 = 8
A= √(p.(p – a).(p – b).(p – c))
A=√(8.(8 – 4).(8 – 5).(8 – 7))
A=√(8.4.3.1) = √96 = √16.6 = 4.√6 u2
8
Área del Triángulo Rectángulo
Si el triángulo es rectángulo, un
cateto es la altura correspondiente al
otro cateto y viceversa.
Ello nos permite calcular el área sin
necesidad de hallar previamente la
altura.
A=b.c/2
a
b
ha
c
9
Área del Triángulo Rectángulo
•
Ejemplo 2
•
Hallar el perímetro y el área del triángulo rectángulo cuyos
catetos miden b= 8 cm y c= 6 cm, así como la altura
relativa al lado a.
•
•
•
Calculamos el lado a o hipotenusa mediante el T. de
Pitágoras
a=√(b2+ c2) = √(82+62) = √100 = 10 cm
Perímetro: P=a+b+c = 10+8+6 = 24 cm
•
•
•
•
Si tomamos b=8 como base  h=c=6
A=b.h/2 = 8.6/2 = 24 cm2
Si tomamos c=6 como base  h=b=8
A=c.h/2 = 6.8/2 = 24 cm2
•
•
El área es único, aunque halla cuatro formas de calcularlo.
b.c/2 = a.ha/2  8.6/2=10.ha/2  ha = 8.6/10 = 4,8 cm
a
b
ha
c
10
Triángulo Isósceles
•
Ejemplo 3
•
Hallar el perímetro y el área del triángulo isósceles de
altura hc=12 cm y lado c=10 cm, así como la altura
relativa a los lados iguales.
•
•
•
Calculamos el lado a=b o hipotenusa mediante el T. de
Pitágoras, gracias al triángulo rectángulo que se forma.
a=b=√(hc2+ (c/2)2) = √(122+52) = √169 = 13 cm
Perímetro: P=a+b+c = 13+13+12 = 38 cm
•
•
Si tomamos c=10 como base  h=hc=12
A=b.h/2 = 10.12 / 2 = 60 cm2
•
•
•
•
El área es único, aunque halla cuatro formas de calcularlo.
A = a.ha / 2  60 =13.ha / 2  ha = 60.2/13 = 9,23 cm
La altura correspondiente al lado b es:
hb=ha=9,23 cm
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Apuntes Matemáticas 1º ESO
b
hc
a
ha
c
11
•
Ejemplo 4
•
•
Comprobar el área hallada en el Ejemplo 2 mediante la Fórmula de Herón:
a=10 cm, b=8 cm, c= 6 cm
•
•
•
•
•
P = a+b+c = 10+8+6 = 24
p= P/2 = 24/2 = 12
A= √(p.(p – a).(p – b).(p – c))
A=√(12.(12 – 10).(12 – 8).(12 – 6))
A=√(12.2.4.6) = √24.24 = 24 cm2
•
Ejemplo 5
•
•
Comprobar el área hallada en el Ejemplo 3 mediante la Fórmula de Herón:
a=13 cm, b=13 cm, c= 10 cm
•
•
•
•
•
P = a+b+c = 13+13+10 = 36
p= P/2 = 36/2 = 18
A= √(p.(p – a).(p – b).(p – c))
A=√(18.(18 – 13).(18 – 13).(18 – 10))
A=√(18.5.5.2) = √36.25 = 6.5 = 30 cm2
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Apuntes Matemáticas 1º ESO
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Triángulo Equilatero
•
Ejemplo 6
•
Hallar el perímetro y el área del triángulo equilátero de
lado 12 cm.
•
•
En un triángulo equilátero a=b=c=l
Perímetro: P=a+b+c = l+l+l = 3.l = 3.12 = 36 cm
•
Asimismo las alturas correspondientes a los lados también
son iguales:
ha=hb=hc=h
Mediante el T. de Pitágoras, gracias al triángulo
rectángulo que se forma.
h=√(l2 – (l /2)2) = √(122 – 62) = √(144 – 36) = √108 = 6.√3
cm
•
•
•
•
•
l
l
h
h
h
l
Si tomamos l=12 como base  h= 6.√3
A=b.h/2 = 12. 6.√3 / 2 = 36.√3 cm2
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Apuntes Matemáticas 1º ESO
13
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6.4 Perimetro y areas