How Much Elementary Mathematics Training
from an Advanced Standpoint do Mathematics
Teachers Need?
Tomás Ortega
U. Valladolid
Luis Puig
U. Valencia
Didáctica de la Matemática
1
Planteamiento teórico. Conferencia de Decanos
Interés y preocupación en la Sociedad Española de Investigación
matemática (SEIEM)
Primera Reunión de Decanos y Directores de Departamentos de
Matemáticas (2000)
La articulación de los estudios universitarios de Matemáticas
(tanto en nuestra Licenciatura como en otras titulaciones)
con la enseñanza Secundaria es mala.
Plantean soluciones ajenas al grado de Matemáticas.
2
Theoretical Approach.
Deans' Conference
Interest and concern on the part of the Spanish Society for
Mathematical Research (SEIEM)
First Meeting of Deans and Directors of Mathematics
Departments (2000)
“The coordination between the study of Mathematics at the
university level (both in Mathematics degrees and other
degrees) and secondary-level teaching is inadequate.”
Proposed solutions are unrelated to Mathematics
3
Planteamiento teórico. Conferencia de Decanos
En la Segunda Reunión de Decanos y Directores de
Departamentos de Matemáticas (2000), como sociedad invitada,
SEIEM expuso la necesidad de crear tres orientaciones en la
“licenciatura” de matemáticas tras una formación común:
•Profesor de Universidad
•Especialista en Modelos Matemáticos Aplicados
•Profesor de Enseñanza Secundaria
Tuning (2003) las recoge y en el VII SEIEM (Granada, 2004) se
expusieron como: Orientación académica, Perfil aplicado y
Orientación educativa .
4
Theoretical Approach.
Deans' Conference
At the Second Meeting of Deans and Directors of Mathematics
Departments (2000), SEIEM, as invited speaker, issued an appeal
for the creation of a series of core studies which would later
branch into three different orientations with regard to degrees in
Mathematics:
•University professor
•Specialization in applied mathematical models
•Secondary school teacher
Proposal accepted by the Tuning Project (2003). Reformulated as
Academic Profile, Applied Profile and Teaching Profile at the VII
SEIEM (Granada, 2004)
5
Planteamiento teórico. Itinerario Educativo
La Subcomisión Española de la International Comission on
Mathematics Instruction (ICMI_E) celebró en Granada (2004) un
Seminario “Itinerario Educativo de la Licenciatura de
Matemáticas” para analizar y diseñar líneas maestras para la
tercera orientación de la licenciatura (grado) de Matemáticas. La
primera competencia general que se fijó, fue ésta.
El dominio de los contenidos matemáticos de Educación
Secundaria desde una perspectiva matemática superior y su
conocimiento como objetos de enseñanza-aprendizaje;”
(Recio, 2004, 35).
6
Theoretical Approach.
Teaching Itinerary
The Spanish Subcommittee of the International Commission on
Mathematics Instruction (ICMI_E) held a seminar titled A
Teaching Itinerary in the Degree in Mathematics (Granada, 2004)
to analyze the third profile of the degree in Mathematics and
design pertinent guidelines. The first general competence set,
was it.
“The knowledge of mathematical content for secondary
education from the perspective of higher mathematics education
and the mastery of this knowledge in the realm of teaching and
learning.” (Recio, 2004, 35)
7
Planteamiento teórico. Itinerario Educativo
El Seminario es consciente de que existen contenidos curriculares
de Educación Secundaria que no se desarrollan en las
licenciaturas y nuevamente aparece el espíritu de Klein en la
propuesta de módulos formativos.
Primer módulo: Fundamentos de las Matemáticas de la
Educación Secundaria desde un punto de vista superior, con
sus aspectos filosóficos, históricos, epistemológicos y las
conexiones con otras materias, como Física, Biología,
Economía, etc.” (Recio, 2004, 36).
8
Theoretical Approach.
Teaching Itinerary
The Seminar acknowledges that part of the secondary curriculum
content is not covered in current university studies. The Klein
Project again appears in the proposal for content modules.
“First Module: The Foundations of Mathematics in Secondary
Education from the perspective of Higher Education, including
philosophic, historical and epistemological considerations as well
as in relation to Physics, Biology, Economics, etc.” (Recio, 2004,
36)
9
Planteamiento teórico. El libro blanco
La Conferencia de Decanos (amparada por la ANECA) impulsa la
creación de un libro blanco para elaborar la estructura de los
Grados de Matemáticas adaptándolos al EEES.
• Se fija una troncalidad de 144 ECTS (de los 240 del grado) y la
vincula a las “cinco grandes áreas de conocimiento de
Matemáticas”.
En cualquier caso, no se propone un catálogo cerrado de
orientaciones, sino que cada Universidad podrá organizar
las que resulten más adecuadas a sus circunstancias y
objetivos” (ANECA, 2004, 125).
10
Theoretical Approach.
Consultation Document
The Deans' Conference (under the auspices of the ANECA)
authorizes the creation of a consultation document to be used
when designing future degrees in Mathematics adapted to the
European Higher Education Area.
•144 (of a total of 240) ECTS credits will be assigned to basic core
subjects pertaining to the “five general areas of mathematical
knowledge”.
“This is not to be interpreted as a closed catalogue of
orientations: each University will organize them as best suits
their own circunstances and objectives” (ANECA, 2004, 125).
11
Planteamiento teórico. El libro blanco
• Se detectan ocho perfiles profesionales: docente universitario
o investigador, docente no universitario, administración
pública, de banca-finanzas y seguros, consultoría, industria,
telecomunicaciones, empresas y otros organismos.
• Se asignan competencias (demasiado genéricas) transversales
(instrumentales, personales y sistémicas) y específicas
(disciplinares, profesionales, académicas, otras).
“Profesor de Secundaria” es la profesión con el mayor número de
egresados, las competencias asociadas aparecen excesivamente
marcadas por un academicismo, se muestran diluidas entre ocho
opciones y, además, la asignación resulta un tanto arbitraria. 12
Theoretical Approach.
Consultation Document
• Eight professional profiles: university teacher o researcher;
non-university teacher; public administration; banking, finance
and
insurance;
industry;
consulting
agencies;
telecommunications; business and other organizations.
• Transverse competences (instrumental, personal and systemic)
and
specific competences (subject-related, professional,
academic, etc.).
As most graduates go on to become “secondary education
teachers”, the related competences are characterized by an
excessively academic bent. Furthermore, they are distributed
among seven options in a rather arbitrary manner.
13
Planteamiento teórico. El libro blanco
Ejemplo de asignación de competencias transversales
Las competencias en Docencia no universitaria son las mismas que
en Banca-finanzas y seguros con estas excepciones:
• Resolución de problemas y Reconocimiento de la diversidad y
multiculturalidad figuran en la primera y no en la segunda.
• Trabajo en equipo y Capacidad de análisis y síntesis son de la
segunda, pero no de la primera.
¿Qué calidad profesional tendía un Profesor de Secundaria que no
hubiera adquirido estas competencias asignadas a la banca?
14
Theoretical Approach.
Consultation Document
An example of transverse competences
The competences for non-university-level teaching are the same as
those for banking, finance and insurance, with the following
exceptions:
• Problem solving and Identification of diversity
multiculturality are on the first list, but not the second.
and
• Team work and Analysis and synthesis capabilities are on the
second list, but not the first.
How effective will secondary school teachers be if they do not
internalize the competences assigned to banking?
15
Planteamiento teórico. Las Sociedades
En la Federación de Sociedades de Profesores de Matemáticas se
enlaza con el espíritu del Seminario de Granada y se muestra
esperanzada “Tenemos la oportunidad de hacer las cosas mejor
rompiendo rutinas e inercias del pasado” García Cuesta (2009).
La Comisión de Educación de la Real Sociedad Matemática
española (Millavibarrena, 2009) enfatiza la importancia de
desarrollar en los Grados de Matemáticas los contenidos de
Educación Secundaria siguiendo el espíritu Klein, y señala que los
Complementos de Matemáticas (Materia del Máster en Profesor
de Educación Secundaria) deben desarrollarse para que pueda
impartir la docencia que se le asigne en las mejores condiciones.
16
Theoretical Approach.
Professional Organizations
The Federation of Math Teachers' Organizations is hopeful and
reflects the spirit of the Granada Seminar: “We have a chance to
make things better by breaking with the routines and inertia of the
past.” (García Cuesta, 2009)
The Education Commission of the Royal Spanish Mathematics
Society (Millavibarrena, 2009) highlights the importance of
following the Klein Project when developing the content of the
Secondary Education curriculum. It indicates that Complements of
Mathematics (a subject included in the Master in Secondary
Education) should be designed to assure that the candidates can
teach the subjects assigned to them in a most satisfactory
manner”.
17
Situación real de los grados
En el currículo de Educación Secundaria aparecen muchos
contenidos que nuestros graduados no han estudiado jamás en la
universidad y, si el máster u otros cursos no lo remedian, serán
profesores de matemáticas y tendrán que desarrollar esos
conocimientos matemáticas con los conocimientos que ellos
adquirieron como alumnos de Educación Secundaria. Incluso en la
actualidad hay contenidos que no figuraban en el currículo que
ellos estudiaron y, por tanto, no tendrán una preparación
adecuada para desarrollar su profesión.
18
The Present Degree Program
In the secondary education curriculum there are many topics
that our graduates have never studied at university. If the
Master or other courses do not remedy this situation, future
math teachers will have to teach these contents using the
knowledge they acquired in secondary school. At present
there are contents that were not present in their syllabi. Thus
they will lack adequate preparation for the teaching
profession.
19
Situación real de los grados. Entrevista
Se preguntó a dos alumnos del máster de Secundaria (un egresado
de Físicas, F, y otro de Matemáticas, M) sobre el desarrollo en la
Universidad de una amplia relación de contenidos y las respuestas
casi siempre eran éstas:
M. En Matemáticas no se estudia nada de eso.
F. En Físicas tampoco.
En algunos casos había matizaciones cómo éstas tres.
1. Sobre cónicas:
M. En matemáticas sólo se hace un tratamiento algebraico
buscando los invariantes que clasifican a las mismas.
F. En físicas no se estudian.
20
The Present Degree Program.
Interview
Two students in the Master in Secondary Education program, one
holding a degree in Physics (P) and the other in Mathematics (M),
were asked a wide range of questions about the contents taught in
University courses. The answers were almost always the same:
M. In Math we don't study anything about that.
P. Nor in Physics.
In some cases there were explanations, such as the following.
1. With regard to conic sections:
M. In Mathematics we only deal with this from an algebraic
standpoint: finding the invariants that classify them.
P. In Physics we don't study that.
21
Situación real de los grados. Entrevista
2. Sobre recogida de información y representación de datos:
M. En matemáticas, no como algo específico.
F. En físicas, datos de laboratorio.
3. En Resolución de Problemas ambos coinciden:
Cada profesor resuelve los problemas de su asignatura, y sólo
algunos de ellos aportan algunas ideas, estrategias y técnicas
para resolver problemas de su materia.
También señalan ambos que los contenidos del grado se estudian
en la carrera desde una perspectiva exclusivamente matemática y
sin tener en cuenta los currículos de Educación Secundaria.
22
The Present Degree Program.
Interview
2. Regarding information gathering and data representation:
M. In Mathematics, not as something specific.
P. In Physics, laboratory data.
3. Regarding Problem Solving, both interviewees agree:
Each instructor solves problems relating to his course material;
only a few offer ideas, strategies and tecniques for solving
problems related to their subject.
Both interviewees agreed that content in courses leading to their
degree was presented exclusively from a mathematical perspective,
without taking into account secondary school curricula.
23
Situación real de los grados. Encuesta
Se realiza entre profesores de ESO y Bachillerato:
1. Las matemáticas de la universidad son demasiado teóricas y
tienen pocas aplicaciones prácticas.
2. Los graduados tienen que estudiar por su cuenta muchos
contenidos porque no les forman en ellos.
3. Los objetivos de las licenciaturas no están pensados para
formar profesores, sino para ser científicos; que debiera haber
una licenciatura distinta para ser profesor de ESO y
Bachillerato
4. No enseñan como trasmitir el conocimiento y sólo el primer
curso de la carrera y parte del segundo son apropiados para
ser Profesores de Matemáticas.
24
The Present Degree Program Survey
High school teachers responded that:
1. The mathematics taught at university are overly theoretical and
have very little practical application.
2. University graduates must study a large amount of subject matter
on their own as they were not exposed to it at university.
3. The objectives of the degree program are not designed with
future teachers in mind; instead they are geared to scientists.
There should be a specific degree for those desiring to be
secondary school teachers.
4. They were not taught how to transmit knowledge. Only the
subjects studied in the first year of their degree and several from
the second year were suitable for Mathematics teachers.
25
Máster de Formación de Profesorado en
Educación Secundaria
La ORDEN ECI/3858/2007 crea tres módulos formativos generales:
1. Genérico. Dedicado a la Formación psicopedagógica y social.
2. Específico. Complementos para la formación matemática,
Formación en Didáctica de la Matemática, innovación docente
e iniciación a la investigación educativa.
3. Practicum (Practicum en la especialización, incluyendo el
Trabajo fin de Máster).
Se dedican entre 12 y 14 ECTS del módulo específico para esta
formación complementaria en matemáticas, pero no existe ningún
catálogo de contenidos mínimos y, en su totalidad, son fijados por
las universidades de forma independiente.
26
Master in Secondary Education
ORDER ECI/3858/2007 creates three general content modules:
1. General. Psychopedagogical and social content.
2. Specific. Complementary Training in Mathematics. Studies in
the Teaching of Mathematics, Classroom Innovation and
Introduction to Pedagogical Research.
3. Practicum. (Student teaching in each specific field and a
research project).
Twelve to fourteen ECTS credits are assigned to this module for
complementary training in Mathematics. However, there is no list
of minimal contents; the content is established independently by
each university .
27
Máster de Formación de Profesorado en
Educación Secundaria.
Una consulta sobre el máster en 17 universidades españolas en las
que se ha implantado este máster sobre Complementos para la
formación matemática nos ha permitido constatar que:
• La asignación de docencia es arbitraria,
• No se consideran los mismos contenidos en todas universidades.
• La orientación cambia de una universidad a otra y ésta depende
de la fortaleza y generosidad de las cinco grandes áreas de
conocimiento de Matemáticas, del gobierno de cada
universidad, y de las posibilidades de dedicación del área de
Didáctica de la Matemática.
• En todas las universidades se desarrolla una asignatura con
contenidos de Historia de la Matemática
28
Master in Secondary Education.
Questionnaire
Seventeen Spanish universities were asked how they had set up
the Complementary Training in Mathematics. From their answers
we have learned that:
• Courses are assigned arbitrarily.
• Course content differs from one university to another.
• The orientation changes from one university to another,
depending on the strength and generosity of the five great areas
of mathematical knowledge, the governing body of each
university, and the availability of instructors from the
Mathematics Teaching Department.
• All the universities consulted have a course dealing at least in
part with the History of Mathematics.
29
Máster de Formación de Profesorado en
Educación Secundaria. Consulta
Se detectan tres perfiles según qué áreas desarrollen los
contenidos de Complementos para la formación matemática :
1. Docencia a cargo de Didáctica de la Matemática. La formación
se produce siguiendo la orientación de Klein.
2. Docencia compartida Áreas de Matemáticas y Didáctica de la
Matemática. El espíritu de Klein se ve reflejado en mayor o
menor grado justa a contenidos no curriculares
3. Docencia exclusiva de Áreas de Matemáticas. El desarrollo de
contenidos de E.S. según Klein es testimonial, no existe
intencionalidad de formar profesores en E.S., son contenidos
superiores más propios de grado.
30
Master in Secondary Education.
Questionnaire
Three profiles have been identified with regard to Complementary
Mathematics Training depending on which Department designed
the course of study:
1. The content taught by the Department of Mathematics Teaching
adapt to Klein's orientation.
2. In content taught jointly by the Department of Mathematics and
the Department of Mathematics Teaching Klein's ideas are
present to a greater or lesser extent.
3. In content taught exclusively by Departments of Mathematics,
there is token reference to secondary education. No intention is
made to train students to become secondary school teachers.
The content is appropriate for undergraduate courses.
31
Máster de Formación de Profesorado en
Educación Secundaria. Consulta
Los profesores que imparten contenidos superiores declaran que
varios alumnos tienen dificultades en las asignaturas de
complementos, porque muchas cosas o no las conocían o no las
recordaban”.
Excepcionalmente, en una de estas universidades, la asignatura de
Innovación en Educación la ha desarrollado Pedagogía General y
ha sido común para todos los módulos del máster (matemáticas,
biología, lengua, literatura,…).
32
Master in Secondary Education.
Questionnaire
The instructors who teach upper-level course content say that
some students had difficulty with the complementary courses
because they either did not know or did not remember many
things.
Only in one university was the course titled Classroom Innovation
designed by the Department of General Education and taken by all
the students enrolled in the Master (whether their degree be in
Mathematics, Biology, Spanish, Literature).
33
Máster de Formación de Profesorado en
Educación Secundaria
Este máster nunca debiera suplir la deficiencia formativa
profesionalizadora. Ésta tendría que ser adquirida en los los
grados, hecho que se produce por no poner en práctica el
itinerario de matemática educativa.
En nuestra opinión, para conseguir una formación adecuado del
profesorado de Educación Secundaria, estos estudios debieran
ser un complemento de formación y no la única formación
específica que reciban estos alumnos.
34
Master in Secondary Education
This Master should never try to complete the professional
content which should have been dealt with during the degree
program. This occurs because the Mathematics Teaching
Itinerary is not being put into practice.
In our opinion, if future secondary education teachers are to
receive adequate instruction, such studies should be a
complement to their training and not the only instruction they
receive.
35
La materia “Complementos…” en la Universidad
de Valencia (6 ECTS)
La materia Complementos para la Formación Disciplinar de la
Especialidad de Matemáticas constituye la primera parte del Módulo
Específico del Máster Universitario en Profesor/a de Educación
Secundaria. Esta materia está diseñada para que forme un todo con
las otras materias del módulo, Aprendizaje y Enseñanza de las
Matemáticas, e Innovación Docente e Iniciación a la Investigación
Educativa en Matemáticas […]
En esta materia se aborda el estudio de determinados elementos
matemáticos necesarios para adquirir un conocimiento adecuado de
la problemática de la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas de
Educación Secundaria y para desarrollar propuestas eficaces e
innovadoras de enseñanza de dichas asignaturas.
36
The subject “Complements… ” at the University
of Valencia (6 ECTS)
The subject Complements for the Disciplinary Training (in
Mathematics) is the first part of the Specific content Module of the
Master in Secondary Education. This subject is designed to make a
whole with the other subjects of the Module, Teaching and Learning
of Mathematics, and Educational Innovation and Introduction to
Educational Research in Mathematics […]
This subject deals with the study of some mathematical elements
which are needed to acquire a suitable knowledge of the
problematics of teaching and learning the mathematical content of
Secondary Education, and which are needed to develop innovative
and effective teaching proposals for this subject matters.
37
La materia “Complementos…” en la Universidad
de Valencia (6 ECTS)
- El uso de modelos, contextos y situaciones matemáticas permite
una aproximación fenomenológica a la docencia de las
Matemáticas en Educación Secundaria, que ayuda a los estudiantes
a comprender los conceptos, propiedades y procedimientos
matemáticos y a conocer y experimentar su utilidad como
herramientas para resolver problemas de la ciencia y la tecnología.
- Conocer la evolución histórica y la epistemología de las ideas
matemáticas permitirá a los profesores de Matemáticas tener una
visión más profunda de los contenidos que tendrán que enseñar y,
al mismo tiempo, les dará un referente para analizar los procesos y
dificultades de aprendizaje de sus alumnos.
38
The subject “Complements… ” at the University
of Valencia (6 ECTS)
• The use of Mathematical models, contexts and situations allows a
phenomenological approach to the teaching of mathematics in
Secondary Education, which helps students to understand
mathematical concepts, properties and procedures, and to know
and experience their usefulness as a tool to solve problems of
science and technology.
• Knowing the historical evolution and the epistemology of
mathematical ideas enables prospective mathematics teachers to
have a deeper view of the mathematical content they will have to
teach. At the same time it will give them a referent to analyse
pupils’ learning processes and difficulties.
39
1.
La materia “Complementos…”
Resolución de problemas (heurística).
1.1. El concepto de problema.
1.2. Tipologías y tipos de problemas.
1.3. El proceso de resolución. Resultado, solución y resolución. El
modelo de Pólya.
1.4. El concepto de heurística en la resolución de problemas.
1.5. Las herramientas heurísticas.
1.6. Los métodos de resolución con contenido heurístico.
1.7. La gestión del proceso de resolución. Tareas del gestor instruido.
1.8. Patrones plausibles.
1.9. Conjeturas y refutaciones. Demostraciones y refutaciones.
1.10. La fase de revisión-extensión.
1.11. Planteo de problemas. Análisis del enunciado o de la solución
para generar problemas.
40
“Complements…”’s syllabus
1.
Problem Solving (Heuristics).
1.1. The concept of problem.
1.2. Problem types and typologies.
1.3. The solving process. Result, solution and resolution. Pólya’s
model.
1.4. The concept of heuristics in problem solving.
1.5. Heuristic tools.
1.6. Solving methods with heuristic content.
1.7. Problem solving management. Tasks of the learned manager.
1.8. Plausible patterns.
1.9. Conjectures and refutations. Demonstrations and refutations.
1.10. The revision-extension phase.
1.11. Problem posing. Statement or solution analysis to generate
problems.
41
Un propósito de Klein
Daré al conjunto un tono en
cierta manera diferente: colocaré
en primer plano, por decirlo así,
el ideal enciclopédico –les
ofreceré un panorama del campo
completo de la geometría en el
que ustedes podrán encajar,
como en un marco rígido, todos
los elementos separados de
conocimiento que ustedes han
adquirido en el curso de sus
estudios. (Klein, 1939, p. 1)
42
Klein’s purpose
I shall give the whole a somewhat
different tone: In the foreground
I shall place, let me say, the
encyclopedic ideal–you will be
offered a survey of the entire
field of geometry into which you
can arrange, as into a rigid frame,
all the separate items of
knowledge which you have
acquired in the course of your
study. (Klein, 1939, p. 1)
43
Un propósito de Klein
Dos instrumentos básicos:
- El uso de la historia
- La “fusión de aritmética y geometría”
El semestre pasado procuré siempre animar las discusiones
abstractas de aritmética, álgebra y análisis mediante figuras y
métodos gráficos […] De forma similar, acompañaré ahora desde el
principio la percepción espacial, que, por supuesto, mantendrá la
primera posición, con fórmulas analíticas, que facilitan en el grado
máximo la formulación precisa de los hechos geométricos. (Klein,
1939, p. 2)
44
Klein’s purpose
Two basic instruments:
- Use of history
- A “fusion of arithmetic and geometry”
Last semester I endeavoured always to enliven the abstract
discussions of arithmetic, algebra and analysis by means of figures
and graphic methods, […]. Similarly, I shall now, from the very
beginning, accompany space perception, which, of course, will hold
first place, with analytic formulas, which facilitate in the highest
degree the precise formulation of geometric facts. (Klein, 1939, p. 2)
45
Un propósito de Klein
En la elementarización de la geometría Klein, pues, se propone abrir
simultáneamente lo que ahora, en entornos informáticos como las
calculadoras gráficas simbólicas o GeoGebra u otros, llamamos dos
ventanas: la ventana gráfica y la ventana algebraica.
La situación de las matemáticas y su enseñanza en la época de Klein
le conduce a situar el énfasis en la ventana algebraica, aun cuando
diga que la ventana gráfica está en primer plano, porque la ventana
algebraica es la que permite “la formulación precisa de los hechos
geométricos”.
46
Klein’s purpose
To treat elementary geometry from an advanced standpoint, Klein
intends to open simultaneously what we call nowadays in computer
environments (symbolic calculators, GeoGebra) two windows: the
graphic window, and the algebraic window.
The situation of the teaching of mathematics by the time of Klein
seems to lead him to stress the algebraic window. The graphical one
will hold first place, however the algebraic window allows “the
precise formulation of geometric facts”.
47
Un propósito de Klein
48
Klein’s purpose
49
Ámbitos de cambio desde Klein
-Las propias matemáticas.
-El sistema educativo, en particular, la extensión de la educación a
capas mucho más amplias de la población de las que recibían
enseñanza en la época de Klein.
-El desarrollo de la didáctica de las matemáticas como disciplina:
teorías, investigación, institucionalización académica. No hay
parangón entre la situación en la época de Klein y la actual.
- La irrupción de las (nuevas) tecnologías de la información y la
comunicación.
50
Fields of change since Klein
- Mathematics.
- The educational system, specially the extension of compulsory
education.
- Mathematics Education as a discipline: theories, research,
academic institutionalisation. Beyond comparison with the situation
by Klein’s time.
- The bursting of (new) ITC in mathematics education and in
mathematics.
51
Lo nuevo en las nuevas tecnologías
Sócrates - Sobre la conveniencia e inconveniencia del escribir, y de
qué modo puede llegar a ser bello o carecer, por el contrario, de
belleza y propiedad, nos queda aún algo por decir. ¿No te parece?
Fedro - Sí.
Sócrates - ¿Sabes, por cierto, qué discursos son los que le agradan
más a los dioses, si los que se hacen, o los que se dicen?
Fedro - No, no lo sé, ¿y tú?
52
What’s new in new technologies
Socrates
But we have still to speak of propriety and impropriety in writing,
how it should be done and how it is improper, have we not?
Phaedrus
Yes.
Socrates
Do you know how you can act or speak about rhetoric so as to please
God best?
Phaedrus
Not at all; do you?
53
Lo nuevo en las nuevas tecnologías
SÓC. - Pues bien, oí que había por Náucratis, en Egipto, uno de los
antiguos dioses del lugar al que, por cierto, está consagrado el pájaro
que llaman Ibis. El nombre de aquella divinidad era el de Theuth. Fue
éste quien, primero, descubrió el número y el cálculo, y, también, la
geometría y la astronomía, y, además, el juego de damas y el de
dados, y, sobre todo, las letras. […]
Pero, cuando llegaron a lo de las letras, dijo Theuth:
«Este conocimiento, oh rey, hará más sabios a los egipcios y más
memoriosos, pues se ha inventado como un fármaco de la memoria
y de la sabiduría.»
54
What’s new in new technologies
Socrates
I heard, then, that at Naucratis, in Egypt, was one of the ancient gods
of that country, the one whose sacred bird is called the ibis, and the
name of the god himself was Theuth. He it was who invented
numbers and arithmetic and geometry and astronomy, also draughts
and dice, and, most important of all, letters. […]
but when they came to the letters,
“This invention, O king,” said Theuth, “will make the Egyptians wiser
and will improve their memories; for it is an elixir of memory and
wisdom that I have discovered.”
55
Lo nuevo en las nuevas tecnologías
Pero él le dijo: «¡Oh artificiosísimo Theuth! A unos les es dado crear arte, a otros
juzgar qué de daño o provecho aporta para los que pretenden hacer uso de él. Y
ahora tú, precisamente, padre que eres de las letras, por apego a ellas, les
atribuyes poderes contrarios a los que tienen.
Porque es olvido lo que producirán en las almas de quienes las aprendan, al
descuidar la memoria, ya que, fiándose de lo escrito, llegarán al recuerdo desde
fuera, a través de caracteres ajenos, no desde dentro, desde ellos mismos y por sí
mismos.. No es, pues, un fármaco de la memoria lo que has hallado, sino un simple
recordatorio.
Apariencia de sabiduría es lo que proporcionas a tus alumnos, que no verdad.
Porque habiendo oído muchas cosas sin aprenderlas, parecerá que tienen muchos
conocimientos, siendo, al contrario, en la mayoría de los casos, totalmente
ignorantes, y difíciles, además, de tratar porque han acabado por convertirse en
sabios aparentes en lugar de sabios de verdad.
56
What’s new in new technologies
But Thamus replied, “Most ingenious Theuth, one man has the ability to beget
arts, but the ability to judge of their usefulness or harmfulness to their users
belongs to another; and now you, who are the father of letters, have been led by
your affection to ascribe to them a power the opposite of that which they really
possess.
For this invention will produce forgetfulness in the minds of those who learn to
use it, because they will not practice their memory. Their trust in writing,
produced by external characters which are no part of themselves, will discourage
the use of their own memory within them. You have invented an elixir not of
memory, but of reminding;
and you offer your pupils the appearance of wisdom, not true wisdom, for they
will read many things without instruction and will therefore seem to know many
things, when they are for the most part ignorant and hard to get along with, since
they are not wise, but only appear wise .
57
Lo nuevo en las nuevas tecnologías
•
•
Cambios en el uso de la memoria.
Cambios en las reglas de composición.
58
What’s new in new technologies
•
•
Changes in the use of memory.
Changes in the rules of composition.
59
¿Qué formación matemática elemental con
aproximación de orden superior debieran recibir
necesariamente los profesores de matemáticas?
Tras la experiencia ganada en la coordinación del Módulo de
Matemáticas en este Máster y, habida cuenta de que estos
alumnos, además de esta formación en complementos, tienen
que adquirir una formación adecuada en Didáctica de la
Matemática y en innovación e iniciación a la investigación,
afirmamos que la formación específica es insuficiente para
garantizar una formación profesional competente.
60
How much elementary mathematics training
from an advanced standpoint
do mathematics teachers need?
As a result of the experience gained as Coordinators of the
Mathematics Module of this Master and bearing in mind that,
apart from these complementary aspects, students must be given
adequate instruction in the Teaching of Mathematics, in
Classroom Innovation and Initiation into Research, we strongly
believe that the amount of time dedicated to learning how to
teach Mathematics is insufficient to guarantee that a candidate
will be a competent teacher.
61
¿Qué formación matemática elemental con
aproximación de orden superior debieran recibir
necesariamente los profesores de matemáticas?
Lo que tiene que haber en el máster de formación de profesores y lo
que tiene que haber en el grado de matemáticas, lo que hay en el
máster y lo que hay en el grado, lo que haya en el máster y lo que
haya en el grado, está ligado.
Recuperar la fórmula 3+2 podría conducirnos a volver a pensar lo
que pensamos como itinerario educativo, pero ahora tras el grado de
matemáticas con la forma de un máster de dos años. Esto, sin
embargo, no parece estar en el horizonte de lo posible.
62
How much elementary mathematics training
from an advanced standpoint
do mathematics teachers need?
Both what has to be in the Master and in the Degree, both what
actually is in the Master and in the Degree, should be linked.
To go back to the formula 3+2 could lead us to rethink what we have
thought as an Educational Itinerary in the Degree in Mathematics,
now in the form of a two years Master following the Degree in
Mathematics. However, this is fairly impossible in the near future.
63
¿Qué formación matemática elemental con
aproximación de orden superior debieran recibir
necesariamente los profesores de matemáticas?
Cabe recuperar la idea de un itinerario educativo en el grado de
matemáticas, y diseñar de forma conjunta ese itinerario educativo,
que contendría el grueso de los complementos disciplinares para la
enseñanza y el inicio otros componentes educativos, con el máster
de formación de profesores de matemáticas, que tendría que ser
diseñado independientemente del de las otras especialidades de
profesor de secundaria.
La idea de Klein encontraría ahí, mejor que en lo que actualmente
estamos echando a andar, la manera de plasmarse de acuerdo con
los cambios que se han producido, tanto en las matemáticas como
en la didáctica de las matemáticas, en el siglo transcurrido desde su
propuesta.
64
How much elementary mathematics training
from an advanced standpoint
do mathematics teachers need?
We may go back to the idea of an Educational Itinerary in the Degree
of Mathematics, by designing both such an Educational Itinerary and
a Master on Secondary Education in Mathematics linked together.
The Educational Itinerary would contain the disciplinary
complements, as well as it would start there other educational
elements.
Klein’s idea would find there, better than in the Master we have
started this year, a way to be expressed according to the changes
produced since Klein’s time, a century ago, both in mathematics and
in mathematics education.
65
¿Qué formación matemática elemental, con
aproximación de orden superior, debieran recibir
necesariamente los profesores de matemáticas?
Tomás Ortega
U. Valladolid
Luis Puig
U. Valencia
Muchas gracias
66
Descargar

currículum vítae, proyecto docente y proyecto investigador