EL INDALO:
En la imagen de arriba tienes un indalo, una
figurilla prehistórica que era considerada
símbolo de buena suerte y que se usaba contra
el mal de ojo. Se encontró hace muchos años en
una cueva de la provincia de Almería y
representa a una persona con los brazos
abiertos y un arco sobre su cabeza.
Doña Eulerina, la profesora de matemáticas, ha pedido a sus alumnos y
alumnas que construyan en el patio un indalo gigante, como el del
gráfico, utilizando latas de refresco que tienen de diámetro de la base
56 mm.
a) Si la pierna del indalo debe medir 1 metro, ¿cuál es la distancia desde
el centro de la cabeza hasta el punto de unión de las piernas? ¿Cuánto
miden los brazos de la figura?
b) Calcula cuántas latas harían falta para representar el arco y cuántas
se necesitarían para rellenar la cabeza del indalo.
Razona las respuestas.
Solución
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Solución:
a) Vamos a calcular la distancia desde el centro de la cabeza
hasta el punto de unión de las piernas y la longitud de los
brazos.
Si trazamos una circunferencia (en rojo
en la figura) vemos que el radio
coincide con la longitud de la pierna y
con la distancia desde el centro de la
cabeza al punto de unión de las
piernas.
Esta longitud es de 5 cuadrículas, con
lo que, si la pierna mide 1 m, cada
cuadrícula mide 20 cm; si la pierna
fuera de 3 m, la cuadrícula mediría 60
cm, etc., y así se determinan las
longitudes que nos pidan a la vista de
la cuadrícula.
Enunciado
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Solución:
a) Podemos resolver el problema con otro planteamiento.
Se puede asignar al lado de la
cuadrícula el valor x, de modo que
aplicando el teorema de Pitágoras al
triángulo ABC obtenemos:
(3x)2 + (4x)2 = 1002
9x2 + 16x2 = 10000
25x2 = 10000
x = 20
B
C
Enunciado
A
Con este cálculo llegamos al valor de la
cuadrícula y, por tanto, deducimos
fácilmente que el valor de la longitud del
brazo de la figura es 80 cm y la distancia
desde el centro de la cabeza al punto de
unión de las piernas es 100 cm.
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Solución:
b) Ahora vamos a calcular el número de latas
necesarias para representar el arco.
Dado que el arco es una semicircunferencia
de radio 80 cm, su longitud es πr = 251.2 cm
= 2512 mm (si aproximamos π por 3.14).
El número de latas sería aproximadamente
2512 / 56 ≈ 45.
Se
podría
hacer
alguna
consideración sobre la curvatura
de la línea del arco que, al no ser
recta, hace que el contacto de las
latas con el arco no esté en la
línea del diámetro de las mismas.
Así, cada lata rellena una longitud de arco superior a su
diámetro y, por tanto, podemos afirmar que con 45 latas será
suficiente y puede que sobre alguna.
Enunciado
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Solución:
b) ¿Cuántas se necesitarían para rellenar la cabeza? Esta
cuestión se puede abordar de varias formas; exponemos dos.
1. Si rellenamos la cabeza con latas deben quedar huecos, por
tanto si dividimos el área del círculo de la cabeza entre el área
del círculo de la lata obtendremos una cantidad que nos dará
un número suficiente de latas y puede que nos sobre alguna.
(π·1002) / (π·282) ≈ 13
La respuesta sería que con 13 latas tenemos bastante.
2. El diámetro de la cabeza en mm es 200. Por
tanto, si colocamos diametralmente las primeras
latas para que no sobresalgan del contorno, sólo
caben 3 y tendríamos bastante con 7 latas, como
se ilustra en la figura.
Enunciado
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Solución:
Hagamos un resumen de los resultados obtenidos:
La distancia desde el centro de la cabeza del indalo
hasta el punto de unión de las piernas es 100 cm.
La longitud del brazo de la figura es 80 cm.
Hacen falta 45 latas para representar el arco del
indalo.
Para rellenar la cabeza de la figura un número
suficiente de latas es 13, aunque podríamos tener
bastante con 7.
HEMOS ENCONTRADO
LA SOLUCIÓN...
… pero, ¿habrá otra forma de hallarla?
Enunciado
Simulando con Geogebra
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