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Unidad 1. Números reales
Algebra superior
Unidad 1. Números reales
Álgebra superior
Los números naturales
Da clic en cada título
para conocer su
definición, operaciones
y propiedades
Los números primos
Los números enteros
Los números racionales
Los números reales
Ejercicios
Los números naturales
Se les llama números naturales a aquellos números que sirven para contar los
elementos de un conjunto, se designan por:
N ={0,1,2,3,4,...}
Gráficamente se representan en la recta numérica, el primer elemento es el cero y
se extienden hasta el infinito.
…
Con los números naturales se pueden realizar dos operaciones básicas: La suma y
el producto y cumplen con las siguientes propiedades:
Los números naturales
Propiedades de la suma y el producto de los números naturales
Suma
Multiplicación
Cerradura. Cuando se suman dos
números naturales, a y b, se obtiene
otro número natural, c
a+b=c
Cerradura. Cuando se multiplican dos
números naturales, a y b , se obtiene
otro número natural c
ab=c
Conmutatividad. Para todo a y b en N,
Conmutatividad. Para todo a y b en N,
a+b=b+a
ab=ba
Asociatividad. Para todo a, b y c en N,
(a + b) + c = a + (b +c)
Asociatividad. Para todo a, b y c en N,
(a b) c = a (b c)
Elemento neutro aditivo. El elemento
neutro para la adición es el cero. Para
todo a en N, a + 0 = a
Elemento neutro multiplicativo. El
elemento neutro para la multiplicación
es el 1. Para todo a en N, a 1 = a
Distributividad. La multiplicación es distributiva respecto a la suma. Para todo a,
b y c en N se tiene que: a (b + c) = a b + a c
Los números primos
Los números naturales que sólo tienen como factores a ellos mismos y a la
unidad se llaman números primos; los que tienen, además a otros factores, se
les llama números compuestos.
Por convención 0 y 1 no son primos.
Ejemplo. Los números primos que hay entre 2 y 100 son:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
El teorema más importante relacionado con los números naturales es el Teorema
fundamental de la aritmética el cual dice:
Todo número natural diferente de 0 o 1 puede descomponerse como producto de
factores primos (la descomposición es única).
Ejemplo
Los números primos
La descomposición en factores primos de 317520 esta dada por:
317520
2
158760
2
79380
2
39690
2
19845
3
6615
3
2205
3
735
3
245
5
49
1
7
Por lo tanto:
317520 = 2 2 2 3 3 3 3 5 7
Los números enteros
El conjunto de los números enteros se representa por Z y está dado como la
unión de los naturales y sus inversos aditivos:
Z =N U {-1,-2,-3,-4,...}
Los números enteros cumplen con las propiedades de los números naturales y
tienen una propiedad adicional.
Para todo número a en Z existe su inverso aditivo en Z , que se denota por –a, tal
que:
a +(-a) = 0
Con lo que incluimos a la resta dentro de las operaciones que realizamos con los
números que hasta ahora conoces.
Los números racionales
Un número racional es el cociente de dos números enteros a y b, en donde
b ≠ 0 . Se representa como:
a
b
Este tipo de números forman en conjunto de números racionales que se
denota con la letra Q
Ejemplos.
8
5
5
1
1
4
Si se tienen dos números racionales a /b y c/d se definen dos propiedades básicas:
La suma:
c
a
+
d
b
ad + bc
bd
=
La multiplicación:
a
b
c
d
=
ac
bd
Los números racionales
Estas operaciones (suma y multiplicación) tienen las siguientes propiedades:
Suma
Multiplicación
Cerradura. Cuando se suman dos
números racionales, a /b y c/d, se
obtiene otro número racional e /f
a /b + c/d = e /f
Cerradura. Cuando se multiplican dos
números racionales, a /b y c/d, se
obtiene otro número racional g /h
a /b c/d = g/h
Conmutatividad. Para todo a y b en N,
Conmutatividad. Para todo a y b en N,
a+b=b+a
ab=ba
Asociatividad. Para todo a, b y c en N,
(a + b) + c = a + (b +c)
Asociatividad. Para todo a, b y c en N,
(a b) c = a (b c)
Elemento neutro aditivo. El elemento
neutro para la adición es el cero. Para
todo a en N, a + 0 = a
Elemento neutro multiplicativo. El
elemento neutro para la multiplicación
es el 1. Para todo a en N, a 1 = a
Distributividad. La multiplicación es distributiva respecto a la suma. Para todo a,
b y c en N se tiene que: a (b + c) = a b + a c
Los números reales
Antes de ver el concepto de números reales, definamos a los números irracionales.
Los números irracionales son aquellos cuyos decimales son infinitos y sin
periodicidad. Se representan con la letra I
Ejemplos: π = 3.141592654…, e = 2.718281828459, √2 =1.414213562
Entonces, el conjunto de los números reales está formado por la unión del
conjunto de los números racionales (Q) con el conjunto de los números
irracionales (I). Se representan con la letra R
R=QUI
Los números reales satisfacen todas las propiedades de los conjuntos anteriores,
además de tener un orden que se puede definir de igual manera que con los otros
conjuntos de números.
Ejercicios
1. Verifica que se cumplen las propiedades de las operaciones de los siguientes
números 3, 5 y 6.
2. Completa la siguiente tabla colocando la propiedad de los números enteros que
se aplica o bien cómo se lleva a cabo el proceso.
3. Verifica si los siguientes números primos 5 y 7 cumplen con la propiedad de
cerradura bajo la suma.
4. Aplica las propiedades de las operaciones de los números reales para justificar
la siguiente igualdad: 5 – 8 + 6 = 5 + 6 – 8
5. Realiza la siguiente operación:
-15+7.5-8+22+2
Soluciones
Soluciones
1. Verifica que se cumplen las propiedades de las operaciones de los siguientes
números 3, 5 y 6.
Solución
Soluciones
2. Completa la siguiente tabla colocando la propiedad de los números enteros que
se aplica o bien cómo se lleva a cabo el proceso.
Solución
Ejercicios
3. Verifica si los siguientes números primos 5 y 7 cumplen con la propiedad de
cerradura bajo la suma.
Solución
Propiedad de cerradura bajo la suma. La suma de dos números primos da
como resultado un número primo.
Sea a = 5 y b=7, entonces 5 + 7 = 12 el cuál es un número compuesto, por lo
tanto no se cumple la propiedad de cerradura.
4. Aplica las propiedades de las operaciones de los números reales para justificar
la siguiente igualdad: 5 – 8 + 6 = 5 + 6 – 8
Solución
En esta igualdad se aplica la propiedad conmutativad a + b = b + a.
5. Realiza la siguiente operación:
-15+7.5-8+22+2
Solución
-15+7.5-8+22+2 = -9.5
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a + b