MODELOS DE OPTIMIZACIÓN
RESTRINGIDA
 Programación Lineal
Programación lineal
La programación lineal es el planteamiento de
modelos en forma numérica y en donde las
variables de decisión sobre las cuales se basa el
modelo son lineales
Sistema
Real
MODELO
Decisión
óptima
Ajustes
Comparación
(+) o ( -)
Resultados
Implementación
Decisión
final
¿Cuál es la
estructura del
modelo matemático?
•Variables de decisión
•Parámetros y constantes
•Función de optimización: Max/Min
•Ecuaciones de restricción
Problema
Tecnipolímeros produce 2 líneas de tubo especial flexible,
simple y reforzado. La mayor demanda la presenta el tubo
simple (E-9) que es utilizado en construcción. El resto de la
producción se destina al tubo reforzado (F-9) utilizado
en agricultura para riego y transporte de agua. Ambos se
producen con el mismo equipo y en el mismo departamento.
El gerente de mercadeo asegura que el próximo mes se
venderán todos los rollos de E-9 y F-9 que se produzcan.
La utilidad por cada E-9 es de Q5000.00 y de
Q4000.00 por cada F-9.
Nota: cada rollo mide 2000 metros y se vende para producir
rollos mas pequeños
El proceso
Primero se realiza el aglomerado de la materia prima y luego su
extrusión. Para aglomerarlo hay una disponibilidad de 150 hr./mes
y para la extrusión 160 hr./mes. Para el E-9 se necesitan 10 hr. de
aglomerado y 20 hrs. de extrusión y para el F-9 15 hrs. de
aglomerado y 10 de extrusión. Control de calidad, para cumplir
con la producción necesita un mínimo de un 10% menos de horas
por mes del disponible en aglomerado (150). Para el CC del E-9 se
requiere 30 hrs. y cada F-9 10 hrs. La política que se ha mantenido
es que por cada E-9 se producen no mas de 3 F-9. Existe un
pedido de 5 rollos de cualquier combinación de E-9 y F-9.
Optimizar la producción de rollos.
Planteamiento:
Hrs.
Aglomerado
Extrusión
C.C.
Política
Pedido
E-9
10
F-9
15
Disponibilidad/total
150
20
30
1
10
10
3
160
135
5
Planteamiento:
Si identificamos como E a los rollos de E-9 y como F a los rollos
de F-9, podemos expresar las relaciones matemáticamente de la
siguiente manera:
Restricciones
10E  15F  150
20E  10F  160
30E  10F  135
E  3F  E - 3F  0
E F 5
Planteamiento:
Que nos interesa:
El interés del problema es la optimización de las utilidades a
través de la producción de rollos de poliducto.
Es decir, maximizar la suma de utilidades
Max. 5000E  4000F
Función Objetivo
Planteamiento matemático:
Max. 5000E  4000F
B. R.
10E  15F  150
20E  10F  160
30E  10F  135
E - 3F  0
E F 5
Restricciones de no
E, F  0
negatividad.
Graficación de desigualdades:
Una desigualdad es una expresión matemática que contiene
un signo mayor que, menor que, mayor o igual que, menor o
igual que. Estudiaremos las desigualdades-igualdades que son
las que nos interesan, los pasos a seguir son:
1.- Convertir la desigualdad en igualdad y graficar.
2.- Escoger un punto de referencia (cualquier punto que no
pertenezca a la recta.
3.- Valuar el punto de ensayo y verificar:
a) si el punto satisface la desigualdad todos los puntos
de ese lado la satisfacen.
b) si no satisfacen la desigualdad entonces todos los
puntos que no estén en ese lado la satisfacen.
Ejemplo 1:
Graficar
2x - x  -2
2
1
X2
4
3
2
Punto de ensayo
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
X1
-1
-2
Región de desigualdad
-3
No existe relación entre el sentido de la desigualdad y el cuadrante
Ejemplo 2:
Graficar el siguiente sistema lineal:
Max. 5000E  4000F
10E  15F  150
20E  10F  160
30E  10F  135
E - 3F  0
E F 5
E, F  0
F
16
14
30E + 10F = 135
12
20E + 10F = 160
10
REGION FACTIBLE
8
E – 3F = 0
6
4
10E + 15F = 150
E + F =5
2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
E
Región factible
Es el área dentro de la cual se satisfacen todas las restricciones
a las que esta sometido el modelo y dentro de la cual se encuentra
la solución optima localizada en un vértice.
Restricción Redundante
Es aquella restricción que al quitarla no hace cambiar la
región factible, es decir no se encuentra dentro de la región
factible y no conforma un vértice de la misma.
Solución
Para encontrar la solución al sistema planteado gráficamente
se le dan valores totales aleatorios a la función objetivo y se
grafican tratando de que coincidan con algún vértice de la
región factible y es en ese vértice en donde se encuentra la
solución óptima.
F
16
14
12
10
PUNTO OPTIMO
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
E
Solución:
Como se puede ver que el punto óptimo esta en la intersección
de las rectas
10E + 15F = 150
20E + 10F = 160
y
Se despejan las incógnitas ya que se tienen dos ecuaciones con
dos incógnitas. Multiplicando la primera por dos y restándole
la segunda se tiene:
20E + 30F = 300
-20E - 10F = -160
20F = 140 lo que hace que F = 7
y E = 4.5
Comprobación
La solución encontrada debe de satisfacer todas las desigualdades.
Substituyendo tenemos los siguiente: E= 4.5, F = 7
10E  15F  150
20E  10F  160
30E  10F  135
E - 3F  0
E F 5
E, F  0
10 (4.5) + 15(7) = 150
20 (4.5) + 10(7) = 160
30 (4.5) + 10(7) = 205
4.5 - 3(7) = -16.5
4.5 + 7 = 11.5
4.5, 7 > 0
Definiciones
Las desigualdades que en el punto óptimo se vuelven igualdades
se conocen como RESTRICCIONES ACTIVAS, y son por las
que pasa la solución óptima.
10 (4.5) + 15(7) = 150
20 (4.5) + 10(7) = 160
Cuando en el planteamiento de un problema existe una igualdad
siempre es activa.
Definiciones
Estudiemos la siguiente restricción:
30E  10F  135
Al valuarla en el punto óptimo queda como:
30 (4.5) + 10(7) = 205
Excedente
La diferencia es:
205 – 135 = 70
135
205
Excedente
Definiciones
Estudiemos la siguiente restricción:
E -3F  0
Al valuarla en el punto óptimo queda como:
4.5 - 3(7) = -16.5
Holgura
La diferencia es:
-16.5 – 0 = -16.5
-16.5
0
Holgura
Definiciones
Si la restricción es inactiva, para una restricción > o =
hay excedente y para una < o = hay holgura.
El término solución óptima o punto óptimo se refiere a
los valores de las variables de decisión que maximizan
o minimizan (según el caso) la función objetivo.
El término valor óptimo se refiere al valor de la función
objetivo valuada en el punto óptimo.
En el planteamiento de un sistema lineal no pueden existir
desigualdades exactas, todas son o igualdades o desigualdad
igualdad.
El problema de la industria de
juguetes “Galaxia”.
 Galaxia produce dos tipos de juguetes:
* Space Ray
* Zapper
 Los recursos están limitados a:
* 1200 libras de plástico especial.
* 40 horas de producción semanalmente.
 Requerimientos de Marketing.
* La producción total no puede exceder de 800 docenas.
* El número de docenas de Space Rays no puede exceder al
número de docenas de Zappers por más de 450.
 Requerimientos Tecnológicos.
* Space Rays requiere 2 libras de plástico y 3 minutos de
producción por docena.
* Zappers requiere 1 libra de plástico y 4 minutos de producción
por docena.
 Plan común de producción para:
* Fabricar la mayor cantidad del producto que deje mejores
ganancias, el cual corresponde a Space Ray ($8 de utilidad
por docena).
* Usar la menor cantidad de recursos para producir Zappers,
porque estos dejan una menor utilidad ($5 de utilidad por
docena).
 El plan común de producción consiste en:
Space Rays = 550 docenas
Zappers
Utilidad
= 100 docenas
= $4900 por semana
Solución
 Variables de decisión
* X1 = Cantidad producida de Space Rays (en docenas por
semana).
* X2 = Cantidad producida de Zappers (en docenas por
semana).
 Función objetivo
* Maximizar la ganancia semanal.
 Modelo de Programación Lineal
Max 8X1 + 5X2 (ganancia semanal)
Sujeto a:
2X1 + 1X2 <= 1200 (Cantidad de plástico)
3X1 + 4X2 <= 2400 (Tiempo de producción)
X1 + X2 <= 800 (Limite producción total)
X1 - X2 <= 450 (Producción en exceso)
Xj >= 0 , j= 1, 2. (Resultados positivos)
X2
1200
Restricción del plástico:
Restricción
de plástico
2X1+X2<=1200
Restricción del total de producción:
X1+X2<=800
No Factible
600
Horas de
Producción
3X1+4X2<=2400
Restricción del
exceso de producción:
X1-X2<=450
Factible
600
800
X1
Resolución gráfica para encontrar la
solución óptima.
comenzar con una ganancia dada de = $2,000...
1200
X2
Entonces aumente la ganancia...
...y continúe hasta que salga de la región factible
800
Ganancia
=$5040
Utilid. = $3,
000
2,
4,
600
X1
400
600
800
1200
X2
Región no
factible
800
600
Región
Factible
X1
400
600
800
 Resumen de la solución óptima
Space Rays = 480 docenas
Zappers
= 240 docenas
Ganancia = $5040
* Esta solución utiliza todas las materias primas (plástico) y
todas las horas de producción.
* La producción total son 720 docenas (no 800).
* La producción de Space Rays excede a la de Zappers por solo
240 docenas y no por 450.
Ejemplo:
La empresa Fotográfica S.A. produce dos tipos de líquidos para
revelado de fotografías. El primero, un reactivo químico para
revelar fotografías en blanco y negro cuya producción cuesta
$2,500.00 por tonelada. El segundo, un reactivo químico para
revelar fotografías en color, cuyo costo es de $3,000 la tonelada.
A partir del análisis de los actuales niveles de inventario y de los
pedidos pendientes, el director de producción ha estimado que
se deben de producir para el próximo mes al menos 30 ton., del
reactivo para blanco y negro y 20 ton., del reactivo para color.
Además en bodega hay una materia prima altamente perecedera
que debe de consumirse en un período de 30 días y que se utiliza
en los dos químicos, así que con el fin de consumírsela debe de
producir al menos 60 ton., de ambos reactivos
Ejemplo 2:
Si llamamos:
X1 = ton., producidas del reactivo para blanco y negro
X2 = ton., producidas del reactivo para colores.
Las restricciones nos quedarían así:
X1 ≥ 30
X2 ≥ 20
X1 + X2 ≥ 60
Como en este problema tenemos datos de costo, lo que nos
interesa es minimizar ese costo, de tal forma que nuestra
función objetivo sería:
Minimizar 2,500 X1 + 3,000 X2
Solución Gráfica
60
X2
X1 = 30
50
Región factible
40
Pto. Optimo (40,20)
30
X1 + X2 = 60
20
X2 = 20
10
X1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Ejemplo:
Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa.
Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo
A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el
8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros
en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo
B. Además queremos que la inversión en las del tipo A
sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál
tiene que ser la distribución de la inversión para
obtener el máximo interés anual?
Ejemplo:
En la siguiente tabla se resumen los datos clave a cerca de dos
productos A y B y los recursos Q, R, S que se necesitan para
producirlos.
Uso de recursos por unidad
producida
Recurso
Producto A
Producto B
Cantidad de
Recurso disponible
Q
2
1
2
R
1
2
2
S
3
3
4
Ganancia/unidad
$3,000
$2,000
Realice el planteamiento del problema.
Resuelva gráfica y algebraicamente.
Ejemplo:
Un restaurante prepara comidas para reparto a domicilio. Para este
fin de semana 2 locales le han ordenado menús que requieren algún
tipo de carne y una ensalada. En ambos menús, el restaurante
decide colocar una pieza de carne, sin embargo variará la ensalada
de tal forma que para el local A piensa colocar 9 medidas de
ensalada por plato y para el local B 14 medidas. Debido a la
diferencia de clientes que esta atendiendo el restaurante toma la
política de servir el menú del local B en un plato y el del local A en
dos. En total el restaurante tiene una existencia de 100 piezas de
carne y el equivalente a 1260 medidas de ensalada y platos
disponibles para despacho a domicilio tiene 160. Las ganancias por
menús son 110 pesetas los del local A y 95 los del local B.
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