1.Las cuatro operaciones fundamentales
2.Productos notables y factorización
3.Fracciones
4.Ecuaciones de primer grado
5.Funciones y gráficas
6.Ecuaciones simultaneas de primer grado
7.Exponentes radicales
8.Ecuaciones de segundo grado
9.Razones, proporciones y variaciones
10.Logaritmos
3.1 El principio fundamental de las
fracciones
3.2 Reducción a la mínima expresión
3.3 Multiplicación de fracciones
3.4 División de fracciones
3.5 El mínimo común múltiplo
3.6 La adición de fracciones
3.7 Fracciones complejas
3.1 El principio fundamental de las
fracciones
3.2 Reducción a la mínima expresión
3.3 Multiplicación de fracciones
3.4 División de fracciones
3.5 El mínimo común múltiplo
3.6 La adición de fracciones
3.7 Fracciones complejas
a
Numerador
b
Denominador
Genéricamente se les llama miembros
S i cada m iem bro de una fracción
se m ultiplica o se divide por una
m ism a cantidad diferente de cero,
el valor de la fracción no se altera
 E n u n a fracció n se p u ed en cam b iar
sim u ltan eam en te lo s sig n o s d el n u m erad o r
y d el d en o m in ad o r sin alterar el valo r
d e la fracció n .
 S i se cam b ia el sig n o d el n u m erad o r ó
el sig n o d el d en o m in ad o r, se d eb e c am b iar
en to n ces el sig n o q u e p reced e a la fracc ió n .
3.1 El principio fundamental de las
fracciones
3.2 Reducción a la mínima expresión
3.3 Multiplicación de fracciones
3.4 División de fracciones
3.5 El mínimo común múltiplo
3.6 La adición de fracciones
3.7 Fracciones complejas
La m ínim a expresión de una fracción
es aquella en la cual el num erador y
el denom inador no tienen factores
com unes.
La m ínim a expresión de una fracción es aquella en la cual el
num erador y el denom inador no tienen factores com unes.
P ara reducir una fracción a su m ínim a
expresión se factorizan prim ero el
num erador y el denom inador y luego
se divide cada uno de ellos entre cada
factor. que les sea com ún.
x  y
3
x  y
2
3
2
x  3x  2
2
x x2
2
x3
2x  5 x  3
E l uso de la supresión de factores
com unes suele llevar a graves errores
cuando se aplica descuidadam ente o
cuando el procedim iento no se
entiende con claridad.
S e debe tener la seguridad que,
cuando el num erador y el denom inador
no están factorizados totalm ente,
la expresión suprim ida debe ser factor
de cada térm ino escrito encim a y
debajo de la línea.
 a  2b   3a  b 
 a  2b  3a  b
¡¡¡¡¡G rave erro r!!!!!
 a  2b   3a  b 
 a  2b  3a  b
1
3.1 El principio fundamental de las
fracciones
3.2 Reducción a la mínima expresión
3.3 Multiplicación de fracciones
3.4 División de fracciones
3.5 El mínimo común múltiplo
3.6 La adición de fracciones
3.7 Fracciones complejas
a
b

c
d

ac
bd

ac
bd
E l p ro ced im ien to p ara m u ltip licar
d o s o m ás fraccio n es y p ara escrib ir
el resu ltad o en su m ín im a ex p resió n ,
se p u ed e d e o rd in ario efectu ar m ás
fácilm en te si lo s m iem b ro s d e las
fraccio n es están facto rizad o s.
D e esta m an era, es p o sib le d eterm in ar
an ticip ad am en te q u é facto res serán co m u n es
al n u m erad o r y al d en o m in ad o r en el p ro d u cto .
Y esto s facto res p u ed en en to n ces ser
su p rim id o s y elim in ad o s d e n u estra ate n ció n .
A l ig u al q u e en el caso d e red u cir
fraccio n es a su m ín im a ex p resió n ,
la su p resió n d cscu id ad a p u ed e
co n d u cir a erro res g raves.
D eseam o s, p o rtan to , h acer h in cap ié
en q u e n o d eb e efectu arse la su p resió n
d e fac to res co m u n es h asta tan to n o
h aya q u ed ad o facto rizad o cad a u n o d e
lo s m iem b ro s d e cad a fracció n .
A d em ás, las ex p resio n es su p rim id as d eb en
ap arecer p o r p ares, u n a co m o facto r d el
n u m erad o r y la o tra co m o fa cto r d el d en o m in ad o r.
3.1 El principio fundamental de las
fracciones
3.2 Reducción a la mínima expresión
3.3 Multiplicación de fracciones
3.4 División de fracciones
3.5 El mínimo común múltiplo
3.6 La adición de fracciones
3.7 Fracciones complejas
a
b

c
d

a
b

d
c

ad
bc

ad
bc
a
a
d
ad
ad
b   

c
b c
bc
bc
d
3.1 El principio fundamental de las
fracciones
3.2 Reducción a la mínima expresión
3.3 Multiplicación de fracciones
3.4 División de fracciones
3.5 El mínimo común múltiplo
3.6 La adición de fracciones
3.7 Fracciones complejas
E l grado de un polinom io es el m ayor
núm ero que resulta al sum ar los
exponentes de todas las letras que
aparecen en un térm ino.
El grado de un polinom io es el m ayor núm ero que resulta al sum ar
los exponentes de todas las letras que aparecen en un térm ino.
3 xy  6 x y 
2
3
4
2x y
5
El grado de un polinom io es el m ayor núm ero que resulta al sum ar
los exponentes de todas las letras que aparecen en un térm ino.
3 xy  6 x y 
2
3
4
2x y
5
M ultinom io d e grado 9
El grado de un polinom io es el m ayor núm ero que resulta al sum ar
los exponentes de todas las letras que aparecen en un térm ino.
 25 s t  s  t
2
2
El grado de un polinom io es el m ayor núm ero que resulta al sum ar
los exponentes de todas las letras que aparecen en un térm ino.
25s t  s  t
2
2
M u ltin o m io d e g rad o 3
E l m ín im o co m ú n m ú ltip lo
d e u n co n ju n to d e m u ltin o m io s
es el m u ltin o m io d e m en o r g rad o
y d e m en o res co eficien tes en tero s
q u e sea ex actam en te d ivisib le
en tre cad a m u ltin o m io d el co n ju n to .
E l m ínim o com ún m últiplo de un conjunto de polinom ios
es el polinom io de m enor grado y de m eno res coeficientes
enteros que sea exactam ente divisible en tre cada
polinom io del conjunto.
A l m ínim o com ún m últiplo
se le denom ina M C M .
E l m ínim o com ún m últiplo de un conjunto de polinom ios es el
polinom io de m enor grado y de m enores co eficientes enteros
que sea exactam ente divisible entre cada polinom io del conjunto.
1 . S e facto riza cad a u n o d e lo s p o lin o m i o s
2 . S e escrib e en el M C M cad a u n o d e lo s d iferen tes
facto res p rim o s d e lo s p o lin o m io s, y lu e g o se eleva
cad a facto r a la m ayo r p o ten cia co n q u e ap arezca
en alg u n o d e lo s p o lin o m io s facto rizad o s.
2
2
3
5 bc , a c , 3b a
2
2
3
5 bc , a c , 3 b a
2
3
15 a b c
2
3
2
4 bd , 9 ad , 12 c d
3
2
4 bd , 9 ad , 12 c d
2
36 abc d
3
 x  2
2
, x  4,
2
x2
 x  2
 x  2
2
,
2
, x  4,
x2
2
 x  2 x  2,
 x  2 x  2
2
x2
 x  2 y 2x  y ,  x  y 2x  y ,  x  y  x  2 y 
 x  2 y 2x  y ,  x  y 2x  y ,  x  y  x  2 y 
 x  2 y 2x  y  x  y 
3.1 El principio fundamental de las
fracciones
3.2 Reducción a la mínima expresión
3.3 Multiplicación de fracciones
3.4 División de fracciones
3.5 El mínimo común múltiplo
3.6 La adición de fracciones
3.7 Fracciones complejas
La sum a de dos o m ás fracciones
que tienen el m ism o denom inador
es una fracción que tiene com o
num erador la sum a de los
num eradores y com o denom inador
el m ism o de las fracciones.
2a
ab

6b
ab

4 a  5b
ab
2a
ab


6b
ab

4 a  5b
ab
2 a  a  b   6 b  a  b    4 a  5b   a  b 
a  ba  b
2
2
a  ba  b
 2 a  17 ab  b
2


2 a  2 ab  6 ab  6 b  4 a  4 ab  5 ab  5 b
2


a  ba  b
2
2

1. S e factoriza cada denom inador.
2. S e encuentra el M C M de los denom inado res.
3. S e m ultiplican los dos m iem bros de ca da fracción por el
cociente que se obtiene al dividir el M C M de los
denom inadores en tre el denom inador de la fracción consid erada.
4. S e com binan los num eradores obtenidos en el paso anterior
em pleando para cada uno el signo colocad o antes de la fracción
a que pertenecía. S e escribe entonces el resultado sobre el
com ún denom inador.
2
5a

3
4b

7b
20ab
2

5a
3
7b

4b

20ab
 20ab 
 20ab 
 20ab 
2
  3
  7b 

 5a 
 4b 
 20ab 


20ab

2  4 b   3  5 a   7 b 1 

20ab

1 5b  1 5 a
20ab

8b  1 5 a  7 b
20ab
15  b  a 
20ab

3b  a 
4ab

2
3t

1
2r

2 r  3t
1 2 rs
2
3t

1
2r

2 r  3t

1 2 rs
 1 2 rst   1 2 rst 
 1 2 rst 
2

   2 r  3t  

 2   2r 
 2 


1 2 rst
b
ab

a
ab
3x
x 1
2

1
x  x  1
2x  1
2


x x 1
2

1.Las cuatro operaciones fundamentales
2.Productos notables y factorización
3.Fracciones
4.Ecuaciones de primer grado
5.Funciones y gráficas
6.Ecuaciones simultaneas de primer grado
7.Exponentes radicales
8.Ecuaciones de segundo grado
9.Razones, proporciones y variaciones
10.Logaritmos
3.1 El principio fundamental de las
fracciones
3.2 Reducción a la mínima expresión
3.3 Multiplicación de fracciones
3.4 División de fracciones
3.5 El mínimo común múltiplo
3.6 La adición de fracciones
3.7 Fracciones complejas
1
a
b
ab
4x
x y

2y
x y
x  y
2
x  y
2
2
3
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
x
M u ltip licar el n u m erad o r y el
d en o m in ad o r d e la fracció n
co m p leja p o r el M C M d e cad a
d en o m in ad o r q u e ap arezca en
ella.
S i las expresiones en la fracción
com pleja son com plicadas, resulta
a veces m ás fácil reducir el
num erador y el denom inador a
fracciones sim ples y proceder luego
com o en la división.
2 
1
x
1
x
2 
1
x
1
x
Los denom inadores son:
1, x , x
2 
1
x
1
x
L o s d en o m in ad o res so n : 1, x , x
P o r lo tan to , el M C M d e to d o s
lo s d en o m in ad o res es x
2 
1
x
1
x
M ultiplicam os ahora el num erador
y el denom inador por el M C M ,
que es x .
2 
1
x
1
x

2 

1

x
1
x
x

x



2 
2 
x  
1
 1

x
 x
1
1 
x
x 

x

2x 1
1

2 
2 
x  
1
 1

x
 x
1
2
1
x
1 
x
2x 1
x 

1

x

1
x  2x 1
2 
1
x
1
x
2 
1
x
1
x
2 
1
x
1
x 
2x 1
x
1
x
2 
1
1
x 
x
2x 1
x
1
x
2x 1
x
1
x

2x 1
x

x
1
2 
1
2x 1
1
x 
x
2x 1
x
x
1

2x 1
x

x
1
x

x
1

2x
 1 x
x
2
1
1
2x 1
x 
x
x
1

2x 1
x

x
1

 2 x  1 x
x
x
2x
 1 x
x
 2x 1
4 
2 
1
2
x
1
x
4 
2 
1
2
x
1
x

4





2



1  2
x
2 
x 
1  2
x

x 
4 
2 
1
2
x
1
x

4 



2 

1  2
x
2
2 
4x 1
x 

2
1  2
2x  x
x
x 
4 
2 
1
2
x
1
x

2x

4 



2 

1  2
x
2
2 
4x 1
x 


2
1  2
2x  x
x
x 
 1  2 x  1
x  2 x  1
4 
2 
1
2
x
1
x

2x

4 



2 

1  2
x
2
2 
4x 1
x 


2
1  2
2x  x
x
x 
 1  2 x  1
x  2 x  1

2x 1
x
4 
2 
1
2
x
1
x

2x 1
x
4 
2 
1
2
x
1
x
4 
2 
1
2
x
1
x
4x

1
2
2
x
2x  1
x
4 
2 
1
2
x
1
x
4x

2
1
4x 1
x
x


2
2x  1
x
2x  1
x
2
2
1
4
4x
2
2
x
1

x

4x
x
2
2
1
4x 1
x
x



2
2x  1
x
2x  1
x
2

1 x
2x
2
 1
2
1
4
4x
2
2
x
1

x

4x
x
2
2
1
4x 1
x
x



2
2x  1
x
2x  1
x
2
2

1 x
2x
2
 1

4x
2
1
x  2 x  1
4x 1
2
1
4
4x 1
x
x 
x



2
1
2x  1
x
2x  1
2
x
x


2

4x 1 x
x
2
2
2
2
 2 x  1
4x 1
2

x  2 x  1

 2 x  1  2 x  1
x  2 x  1
4x 1
2
1
4
4x 1
x
x 
x



2
1
2x  1
x
2x  1
2
x
x

2
4x
x
2
2
2
2

1 x
 2 x  1
4x 1
2

x  2 x  1

 2 x  1  2 x  1
x  2 x  1
4x 1
2
1
4
4x 1
x
x 
x



2
1
2x  1
x
2x  1
2
x
x

4x
x

2
2
2

1 x
 2 x  1
2x 1
x
2
2
4x 1
2

x  2 x  1

 2 x  1  2 x  1
x  2 x  1

4 
2 
1
2
x
1
x

2x  1
x
2a  1 
2a  3 
8a
2a  1
4
2a  1
2
1
x
1
y
2
1
y
x

3
x
y
1
2
1
x
2
1
y
2
1
y
x

3
x
y
1

1
x y
y
2
x y
x

3
x y
y
1
2
1
x
2
1
y
2
1
y
x

3
x
y
1

1
x y
y
2
x y
x
2

3
x y
y

1
x y
y
2
3
1
1

x y
x y
x
y
1
2
1
x
2
1
y
2
1
y
x

x
2
x y
1
y
x
2
x y
y

3
1

3
x y
y

y
2
2


1
2
1

x
x y

y
x y
3
1

y
x y
3
1
1

x y
x y
x
1
1
x y
y
1
2
1
x
2
1
y
2
1
y
x

x
2
x y
y

3
1
2
x y
1
y

x
y

3
x y
2
y
2


1
2
1

x
x y

y
2
x y
3
1

y
x y

2x
x y
3
1
1

x y
x y
x
1
1
x y
y
x y

3y
x y
y

1
2
1
x
2
1
y
2
1
y
x

x
2
x y
y

3
1
2
x y
1
y

x
y

3
x y
1
x y
2
3
1  1
x y
x y
y
x
2

1

1
2
1

x
x y

y
2
x y
3
1

y
x y

2x
x y

y
y
2x  y  y
x y
x y

3y
x y

2x  3y
x y
1
2 
1
x
2 
1
y
2
1
y
x

x
2 
x  y
y

3
1
2
x  y
1
y

y

3
2
x  y
x
1
x  y
3
1
1

x  y
x  y
y
x
2 


1
2
1

1

x
x  y

y
2 
x  y
3

1
y

x  y
2x  2 y  y
2x  3y
x  y
x  y
2x  3y
x  y

2x  3y
x  y
2x
x  y


y
2x  y  y
y
x  y

3y
x  y
2x  3y
x  y
2x  3y
x  y


x  y
x  y
2x  3y

x  y
x  y

x y
x y

x y
x y
x  xy  y
2
1
x  y
2
2
2
x y
x y

x y
x y
x  xy  y
2
1
x  y
2
x  y  x  y
 x  y x  y 
2
2
2

x
2
 y
2
  x
2
x  y
2
2
 xy  y
2
2

x y
x y

x y
x y
x  xy  y
2
1
x  y
2
x  y  x  y
 x  y x  y 
2
2

x
2
 y
2
  x
2
x  y
2
x  2 xy  y  x  2 xy  y
2
2
2
x  y
2

2
x  y  x  xy  y
2
2
2
2
x  y
2
2
2
2
2
 xy  y
2
2

x  2 xy  y  x  2 xy  y
2
2
2
x  y
2
2
x  y  x  xy  y
2
2
2
x  y
2
 4 xy
x  y

xy
2
x  y
2
2
2
2
2
2

x  2 xy  y  x  2 xy  y
2
2
2
x  y
2
2
2
2
x  y
2

 4 xy
x  y
2
2

xy
x  y

xy
2
2
x  y
2
2
2
x  y
2
 4 xy
2
x  y  x  xy  y
2
2
2

x  2 xy  y  x  2 xy  y
2
2
2
x  y
2
2
2
2
x  y
2

 4 xy
x  y
2
2

xy
2
x  y
2
2
2
x  y
2
x  y

xy
2
2
x  y  x  xy  y
2
 4 xy
2
 4 xy  x  y
2
xy  x  y

2
2

2
2


x  2 xy  y  x  2 xy  y
2
2
2
x  y
2
2
2
2
x  y
2

 4 xy
x  y
2
2

xy
2
x  y
2
2
2
x  y
2
x  y

xy
2
2
x  y  x  xy  y
2
 4 xy
2
 4 xy  x  y
2
xy  x  y

2
2

2
2


 4
x y
x y

x y
x y
x  xy  y
2
1
x  y
2
2
2
x y
x y

x y
x y
x y
x y
x  xy  y
2
1
x  y
2
2
2

x y
x  xy  y
2
1

x y
2
x  yx  y
x y
x y

x y
x y
x y
x y
x  xy  y
2
1

x  y
2
2
2

x y
x  xy  y
2
1

x y
2
x  yx  y
 x y
x y


x  yx  y
x y
 x y
2
2

x  xy  y 
 1 
  x  y   x  y 
x  yx  y 


x y
x y

x y
x y
x y
x y
x  xy  y
2
1

x y x


x y x
x  y
2
2

2
1
y
  x  y  x  y 
y
2
x y
x  xy  y
2

x  xy  y 
 1 
  x  y  x  y 
  x  y  x  y  
2

x y
2
x  yx  y
x  y  x  y
2

 x  y  x  y    x
2
2
 xy  y
2

x  y
2
 x  y
x  yx  y  x
 xy  y
2
x  2 xy  y  x  2 xy  y
2

2
2
2
2
x  y  x  xy  y
2
2
2
2


2

 4 xy
xy
 4
Descargar

Capítulo 3. Fracciones