INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL
Introducción
Metodología
Objetivos
Desarrollo
temático
Introducción
Esta Guía orienta el uso del contenido del Cálculo, dirigida a docentes y estudiantes de la
Fundación Universitaria Tecnológico Comfenalco de Cartagena, interesados en desarrollar
cursos de matemáticas básicas de I semestre en el Aula virtual.
Se comenzará con los siguientes interrogantes:
1) Cuando hablas por celular, ¿De qué depende el costo de la llamada?
2) Un vendedor de electrodomésticos tiene un sueldo fijo de $750.000 y recibe una
comisión por cada artículo vendido. ¿De qué dependerá su sueldo el próximo mes?
Ahora analiza estas dos preguntas, te darás cuenta de que en ambos casos existe una
relación entre dos cantidades, y que una de las cantidades depende de la otra; Para
describir esa correspondencia, usamos un concepto que se llama función.
créditos
INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL
1.Introducción
Bienvenida
Metodología
Objetivos
Desarrollo
temático
Créditos
Expertos temáticos
Acosta Jiménez, Juan
Carlos
Asesor pedagógico
Haydar, Olga
Coordinador Tecnológico
Noriega, José
Producción
Programa de permanencia
académica, convenio 260
Dirección de Fomento de
la Educación Superior
Ministerio de Educación
Nacional
Bogotá - Colombia
Imagen
Diseñador gráfico y
Desarrollador de
contenido
Martinez, Carlos
Diseñador instruccional
Fong, Rafael
Coordinador general
Buendía, Felipe
Centro de Educación
Virtual.
Fundación Universitaria
Tecnológico Comfenalco.
Cartagena - Colombia
(2014)
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Introducción
Metodología
Objetivos
Desarrollo
temático
Metodología
El OVA está dividido en tres unidades, la primera inicia con una actividad de
conocimientos previos, la cual es socializada inmediatamente, luego se
introducen conceptos básicos sobre operaciones con los distintos conjuntos
numéricos existentes, resaltando el manejo adecuado de las fracciones, junto
con la resolución de una gran variedad de ejemplos. Se finaliza con dos
actividades: una de retroalimentación y otra de profundización.
En la segunda parte, se introduce el concepto de función y sus distintas
tipificaciones con una gran cantidad de ilustraciones. En la última unidad, se
muestran las utilidades del uso de derivadas en todos los campos mediante la
reproducción de videos, luego se presentan las propiedades de las derivadas
contextualizadas en ejemplos de optimización y se proponen nuevamente
actividades complementarias de aprendizaje.
Puedes usar el menu o la flecha de siguiente
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Introducción
Metodología
Objetivos
Desarrollo
temático
Objetivos
Objetivo General
Desarrollar habilidades en el estudiante que le permitan plantear,
analizar y resolver situaciones de la vida cotidiana a través de la
modelación de funciones y de la obtención de máximos y mínimos
que optimicen los recursos disponibles en un entorno dado.
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Introducción
Metodología
Objetivos
Desarrollo
temático
Objetivos
Objetivos específicos
1. Realizar operaciones con números reales que permitan simplificar
procedimientos algebraicos.
2. Identificar el tipo de gráfica de una función con el fin de buscar los
intervalos sobre los cuales una función es creciente o decreciente.
3. Aplicar los criterios de las derivadas para resolver problemas de la
vida real con razones de cambio de relacionadas
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Introducción
Metodología
Objetivos
Desarrollo
temático
Glosario
Fracción
Es la expresión de una cantidad dividida entre otra.
Números reales
Familia de números formados por los números racionales e irracionales.
Números racionales
Familia de números formados por el cociente de dos enteros donde el número
de denominador debe ser siempre diferente de cero.
Números irracionales
Familia de números donde su parte decimal debe ser no periódica.
Cálculo Diferencial
Rama de las matemáticas que trata de las unidades de cambio en las
cantidades variables. En el cálculo diferencial se consideran solamente los
incrementos en las cantidades variables; se antepone a ellas el símbolo “d”, lo
que significa un incremento.
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Introducción
Metodología
Objetivos
Desarrollo
temático
Glosario
Curva
Línea o trayectoria que se desvía constantemente de su dirección y no
contiene ninguna posición de línea recta.
Derivación
Es la operación con la que se encuentra la derivada de una función.
Variable dependiente
Magnitud que en una relación o función depende del valor que se le asigne
a otras variables.
Variable independiente
Magnitud que no depende de otra para obtener su valor.
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Desarrollo
Temático
Referencias
o
Hernández. E, Cálculo diferencial e integral con aplicaciones, Revista digital Matemática
educación e internet, 2013.
o
Larson. R, Edwards. B, Cálculo I, 9ed, Mc Graw Hill, 2010
o
Morales. F,C.
o
Stewart. J, Cálculo de una variable, trascendentes tempranas, 7ed, Cengage Learning,
2012.
o
Thomas. J, Cálculo de una variable, 12ed. Pearson Educación, 2010.
o
Zill. D, Wright. W, Cálculo con trascendentes tempranas, 4ed, Mc Graw Hill, México,
2011.
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Temático
Sitios sugeridos
Matemáticas para bachillerato y carrera de ciencias
http://matematicasbachiller.com/
Espacio que brinda materiales de libre uso, didácticos y actualizado
Matemático
http://matematico.es/
Espacio de libre uso que brinda muchos ejemplos de
operaciones básicas de matemáticas con animaciones
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Temático
Objetivos
Contenido temático
o
1. Números Reales
1.1. Actividad de conocimientos previos: Sistemas numéricos
1.2. Operaciones con números enteros (Z)
1.3. Operaciones con números reales (Q)
1.4. Actividad de retroalimentación
1.5. Operaciones con números reales (R)
1.6. Actividad de profundización
o
2. Funciones y modelos matemáticos
2.1. Concepto de función
2.2. Dominio y Rango de funciones
2.3. Tipos de funciones
o
3. Derivada de una Función
3.1. ¿Para qué sirven las derivadas?
3.2. Conceptos básicos sobre derivadas
3.3. Reglas de derivación
3.4. Actividad de retroalimentación
3.5. Bosquejo de curvas
3.6. Aplicaciones de la derivada
3.7. Actividades de profundización
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Números Reales
Funciones y modelos
matemáticos
Derivada de una
Función
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Objetivos
1. Números Reales
1.1. Actividad de cononcimientos previos: Sistemas numéricos
De acuerdo a tus conocimientos, responde la siguiente pregunta ¿Cuál sistema numérico usamos
diariamente?
a) Sistemas numéricos antiguos
b) Sistema Binario
c) Sistema Decimal
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Función
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Objetivos
1. Números Reales
1.1. Actividad de cononcimientos previos: Sistemas numéricos
Retroalimentación
La mayoría de los tópicos desarrollados en los cursos de matemáticas a nivel de pregrado y
secundaria están relacionados con los sistemas numéricos, específicamente con los números
reales. Dichos sistemas se usan para representar cantidades abstractas llamadas números y se
definen por la base que utiliza; por ejemplo: El número decimal 10 es igual al número binario 1010, el
cual es equivalente al número octal 12 y es representado en el sistema hexadecimal con la letra A.
Nuestro sistema de numeración es decimal y utiliza 10 símbolos llamados dígitos.
Ver sistemas numéricos
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Números Reales
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Derivada de una
Función
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Objetivos
1. Números Reales
1.2. Operaciones con números enteros
Inicialmente empezamos con los Números naturales, los cuales fueron creados por
la mente humana para contar los objetos en diversas colecciones, se representan con
la letra ℕ, el primer elemento es el número 1, no tienen un último elemento
ℕ = {1,2,3,4,5,6,7,8,9, …
Podemos representar los números naturales sobre una recta numérica de la siguiente
manera:
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Derivada de una
Función
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1. Números Reales
1.2. Operaciones con números enteros
Los Números enteros se forman con los números naturales, sus opuestos y el cero. Se
denotan con la letra ℤ y se pueden representar así:
ℤ = {… , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …
En la recta numérica se representan así:
Observa lo siguiente:
Dados los números enteros a, b, c y d establecemos las siguientes operaciones básicas
entre ellos: Ver cuadro
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Función
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Objetivos
1. Números Reales
1.2. Operaciones con números enteros
Operaciones
Definición
o
Adición y
Sustracción
o
Ejemplos
Si los signos de las dos
cantidades son iguales, los
números se suman y queda el
mismo signo.
Si los signos de las dos
cantidades son diferentes, los
números se restan y se coloca
el signo del número mayor.
Ley de los signos
Producto y
Cociente
+
−
+
−
×
×
×
×
+
−
−
+
=
=
=
=
+
+
−
−
+
−
+
−
÷
÷
÷
÷
+
−
−
+
=
=
=
=
+
+
−
−
1)
2 − 7 = −5
2)
−3 − 9 = −12
3)
−12 + 9 = −3
4)
5 − 9 − 8 + 10 = −2
5)
10 − 9 + 8 − 7 + 6 − 5 = 3
6)
−13 − 14 − 15 + 42 = 0
1)
−2 × 23 = −46
2)
−5 × −3 = 15
3)
−20 ÷ 4 = −5
4)
85 ÷ −5 = −17
5)
− − −10
6)
2 × 12 ÷ 4 = 6
= −10
7)
−3 + 2 × −5 − 2 = 7
8)
−5 − 2 ÷ 3 − 2 = −7
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matemáticos
Derivada de una
Función
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Objetivos
1. Números Reales
1.3. Operaciones con números Racionales
Los números naturales eran un recurso que permitían satisfacer la necesidad de contar
objetos, el hecho de fraccionar la unidad en partes iguales dio origen al concepto de
fracción. Los números racionales se simbolizan con la letra ℚ y están formados por los
números que representan cocientes entre números enteros, esto es:
a
ℚ = { /donde a, b son numeros enteros y b ≠ 0
b
Este conjunto numérico se representan por fracciones reducidas a su mínima expresión
−a
a
a
(completamente simplificadas) donde
=
=−
b
−b
b
Todos los números enteros son racionales pues se cumple que a =
a
1
Observa lo siguiente:
Dados los números racionales
Ver cuadro
a
b
y
c
d
establecemos las siguientes operaciones entre ellos.
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Función
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1. Números Reales
1.3. Operaciones con números Racionales
Operaciones
Adición o Suma
Sustracción o
Resta
Producto o
Multiplicación
Cociente o
División
Definición
a c ad + bc
+ =
b d
bd
a c ad − bc
− =
b d
bd
a c ac
× =
b d bd
a c ad
÷ =
b d bc
Ejemplos
1)
2
3
4
5
2)
−3
7
+ =
−3 8 +7 5
7 8
3)
−1
4
+2=
−1
4
1)
−3
7
− 10 =
−3 10 −7(6)
7(10)
=
−30−42
70
=
−72
70
2)
−5
3
−
−2
9
−5 9 −3(−2)
3(9)
=
−45+6
27
=
−39
27
3)
7− = − =
1)
−8
9
×2
3
2)
+ =
2(5)+3(4)
3(5)
5
8
6
5
8
=
7
1
2
1
+ =
5
8
=
−4 × 2 =
−4
1
9
1)
20
−4
÷
7
15
20(15)
7(−4)
2)
1
7
9
=
1
Funciones y modelos
matemáticos
10
1
=
=
22
15
=
−24+35
56
−1 1 +4 2
4 1
−72
6
×2=
÷ 10 = 7 ÷
10+12
15
7 8 −1(5)
1(8)
−8(9)
3(2)
=
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Números Reales
=
=
=
11
56
=
−1+8
4
56−5
8
=
−36
3
=
−4 9
1 2
=
−36
2
300
−28
1(1)
=
150
−14
=
−12
1
=
=
=
7
4
=
=
−36
35
−13
9
51
8
= −12
−18
1
= −18
75
−7
1
= 7(10) = 70
Derivada de una
Función
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Temático
Objetivos
1. Números Reales
1.4. Actividad de Retroalimentación
PARA DISEÑADOR GRÁFICO
1) Realice las operaciones indicadas y relacione la respuesta correcta.
−13
−5
2
a)
−26
3
Nota: Crear y/o habilitar la herr
se puedan relacionar las opcio
mostrar la solución y retroalim
.
b)
−6
7
c)
−
−9
8
4
− 10
3
d)
7−
−2
3
15
56
−13
2
−6
7
4
3
−23
2
−5=
−
−9
8
−13
2
=
−6
7
4
10
1
7
2
− 10 = 3 −
7−
−2
3
23
3
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Funciones y modelos
Derivada de una
Números Reales
matemáticos
Función
+
−5
1
9
8
+
=
=1+3=
=
−13−5 2
2
=
=
−
−6 8 +7 9
56
4 1 −3 10
3
7 3 +1 2
3
=
=
4−3
3
21+2
3
=
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Objetivos
1. Números Reales
1.4. Actividad de Retroalimentación
2.¿Cuántos litros de agua contiene un depósito de 400 litros que está ocupado en sus
3/5 partes?
a) 210 litros
b) 240 litros
c) 180 litros
d) 270 litros
Nota para diseñador gráfico: Después de dos intentos mostrar la solución y
3
3×400
5
5
retroalimentación. Hay que calcular los 3/5 de 400, es decir: × 400 =
= 240
litros
3. Juan leyó la semana pasada la mitad de un libro y esta semana la tercera parte,
pero aún le faltan 30 páginas, ¿cuántas páginas tiene el libro?
a) 120 páginas
b) 180 páginas
c) 160 páginas
d) 100 páginas
Nota: después de dos intentos mostrar la solución y retroalimentación.
1
1
5
1
Juan ha leído + = partes del libro, le faltaría del total dicho libro, esto implica
2
3
6
6
que el libro tiene 30 × 6 = 180 páginas.
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Números Reales
Funciones y modelos
matemáticos
Derivada de una
Función
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Objetivos
1. Números Reales
1.5. Operaciones con números Reales (ℝ)
Existe otro tipo de números que no pueden escribirse en la forma
a
b
con a y b enteros, éstos se conocen como Números Irracionales
y se representan con la letra (), son decimales no periódicos
infinitos, por ejemplo:
1)
2)
3)
4)
5)
π = 3,141592 … .
e = 2,718281828459 …
0,34344344434444 … .
0,12345678910111213 … . .
2 = 1,4142 …
.
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Función
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Objetivos
Desarrollo
Temático
1. Números Reales
1.5. Operaciones con números Reales (ℝ)
El siguiente esquema muestra la relación entre los conjuntos numéricos más
usuales.
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Derivada de una
Números Reales
matemáticos
Función
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Temático
Objetivos
1. Números Reales
1.5. Operaciones con números Reales (ℝ)
Del anterior diagrama, concluimos que los Números reales se conforman por
la unión de los números racionales e irracionales, se denota con la letra ℝ y se
pueden realizar operaciones combinadas llamadas polinomios aritméticos.
Ejemplos:
1) Reducir el siguiente polinomio aritmético:
−3
5
+
7
8
×
6
5
Solución:
Aplicando las definiciones de suma y multiplicación de fracciones tenemos que
−3 5
6
−3 8 + 7 5
+
× =
7
8
5
7 8
×
6
−24 + 35
6 11 6 11(6)
66
33
=
× =
× =
=
=
5
56
5 56 5 56(5) 280 140
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Números Reales
Funciones y modelos
matemáticos
Derivada de una
Función
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Metodología
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Objetivos
1. Números Reales
1.5. Operaciones con números Reales (ℝ)
2) Simplificar la siguiente expresión:
−5 + 3 −
2
5
÷3
+
1
2
Solución:
−5 + 3 −
2
÷3
5
1
2
= −2 −
÷3
2
5
2
1
= −2 −
+
15
2
−2 15 − 2
1
=
+
15
2
−30 − 2
1
=
+
15
2
−32
1
=
+
15
2
−32 2 + 15(1)
=
15(2)
−64 + 15
=
30
−49
=
30
+
+
1
2
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Números Reales
Funciones y modelos
matemáticos
Derivada de una
Función
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Objetivos
1. Números Reales
1.6. Actividad de profundización
Realiza los siguientes ejercicios, entrégaselos a tu docente y espera la respectiva
retroalimentación.
1) ¿Qué fracción del día ha transcurrido cuando son las seis de la tarde?
2) Una aleación está compuesta por 24/29 de cobre, 4/29 de estaño y 1/29 de zinc. ¿Cuántos
Kilogramos de cada metal habrá en 348 Kg de aleación?
3) Dos ciudades se encuentran a 240 Km de distancia. Un caminante recorre un día 1/6 de esa
distancia, otro día 1/4 y un tercer día 1/8 de la misma. ¿A qué distancia se encuentra del
punto de llegada después del tercer día?
4) Un propietario vendió primeramente 3/4 de su finca y después ½ de lo que le quedaba. Si
todavía le quedaron 4 hectáreas. ¿Cuál era la extensión de la finca?
5) Una epidemia mató los 3/7 de las vacas de un granero y de las que le quedaron vendió 1/2.
Si todavía le quedaron 24 vacas, ¿Cuántas vacas tenía al principio, cuántas murieron y
cuántas vendió?
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Funciones y modelos
matemáticos
Derivada de una
Función
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Temático
2. Funciones y modelos matemáticos
2.1. Concepto de función
En nuestra vida diaria encontramos una infinidad de situaciones en las
que identificamos una relación entre dos cantidades que dependen una
de la otra.
Una función  de un conjunto  a un conjunto  es una
correspondencia que asigna a cada elemento  de  exactamente un
elemento  de . Lo anterior lo podemos denotar así:
:  → 
La expresión  = () significa que “ á  ó  ", en donde  se llama
variable dependiente y  se llama variable independiente
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Función
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2. Funciones y modelos matemáticos
2.2. Dominio y rango de funciones
El dominio de una función es el conjunto de todos los posibles valores de la
variable independiente ; mientras que el rango es el conjunto de valores
correspondientes a la variable dependiente .
Para graficar funciones, evaluamos valores arbitrarios de la variable
independiente  en la fórmula  = () , obteniendo los correspondientes
valores de la variable dependiente .
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Funciones y modelos
Derivada de una
Números Reales
matemáticos
Función
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2. Funciones y modelos matemáticos
2.2. Dominio y rango de funciones
Veamos algunos ejemplos:
1)
Si   =  − 1 , realice un bosquejo de la gráfica de la función e identifique su dominio y
rango.
Solución:
Por definición, la gráfica de   es la gráfica de la ecuación  =  − 1, la siguiente tabla es
una lista de coordenadas de varios puntos sobre la gráfica:
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Función
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2. Funciones y modelos matemáticos
2.2. Dominio y rango de funciones
Según la gráfica, el dominio de  está formado por todos los números reales  tales que
 ≥ 1, lo cual equivale al intervalo 1, ∞ .
El rango de  es el conjunto de todos los números reales  tales que  ≥ 0, lo cual
equivale al intervalo [0, ∞).

 = ()
-1
 −1 = −1 − 1 = −2
(No existe en R)
0
 0 = 0 − 1 = −1
(No existe en R)
1
 1 = 1−1= 0=0
2
 2 = 2−1= 1=1
3
 3 = 3 − 1 = 2 ≈ 1.4
4
 4 = 4 − 1 = 3 ≈ 1.7
5
 5 = 5−1= 4=2
6
 6 = 6 − 1 = 5 ≈ 2.2
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Derivada de una
Función
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2. Funciones y modelos matemáticos
2.2. Dominio y rango de funciones
2) Si   =  , entonces el bosquejo de la gráfica es:
Por lo tanto, el dominio de  lo constituye todos los valores reales de  tales

que  ≠ + .
2
El rango (también llamado recorrido) son todos los números reales, esto es
−∞, ∞ .
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Derivada de una
Función
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2. Funciones y modelos matemáticos
2.2. Dominio y rango de funciones
Otra forma de determinar si una relación es una función, es por medio de la
regla de la línea vertical, la cual consiste en trazar líneas verticales en la
gráfica de la función; si dichas líneas cortan la gráfica en un solo punto
entonces si es una función.
Las siguientes gráficas no representan funciones:
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2. Funciones y modelos matemáticos
2.3. Tipos de funciones
Constan
te
Lineal
Algebrai
cas
Cuadráti
ca
Polinómi
ca
Raciona
les
Tipos de
Funciones
Trascend
entales
Especia
les
Radical
es
Expone
ncial
Logarít
mica
  =
 
=  + 
 
=  2 +  + 
 
=    + −1  −1 + ⋯
+ 1  + 0
 
()
=
 (x)
=
()
 
= ()

= sen x
 
ln ()
= cos x
 
Trigonomé
= tan x
 
tricas
= cot x
  =
 
  =
sec
 x  ∈
A trozos
csc x
    ∈ 
=
…


Parte
    ∈ 
entera
= 
Valor
 
absolut
= 
o
Las funciones se clasifican en algebraicas, trascendentales y en especiales, veamos algunos
ejemplos
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Funciones y modelos
matemáticos
Derivada de una
Función
INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL
Introducción
Metodología
Objetivos
Desarrollo
Temático
2. Funciones y modelos matemáticos
2.3. Tipos de funciones
1) Funciones cuadráticas
2) Función definida a trozos
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Función
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Metodología
Objetivos
Desarrollo
Temático
2. Funciones y modelos matemáticos
2.3. Tipos de funciones
3) Función valor absoluto
4) Función parte entera
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Objetivos
Desarrollo
Temático
2. Funciones y modelos matemáticos
2.3. Tipos de funciones
5) Funciones polinómicas
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Objetivos
Desarrollo
Temático
2. Funciones y modelos matemáticos
2.3. Tipos de funciones
6) Funciones racionales
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Desarrollo
Temático
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2.3. Tipos de funciones
7) Funciones exponenciales
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Desarrollo
Temático
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2.3. Tipos de funciones
8) Funciones logarítmicas
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2.3. Tipos de funciones
9) Funciones trigonométricas
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Función
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2.3. Tipos de funciones
9) Funciones trigonométricas
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Función
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2.3. Tipos de funciones
9) Funciones trigonométricas
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Temático
Objetivos
3. Derivada de una función
3.1. ¿Para qué sirven las derivadas?
El cálculo diferencial e integral es la herramienta matemática más poderosa en la
actualidad. Sobre ellos se desarrollan muchos conceptos de la física y química,
como por ejemplos:
o
o
o
La mecánica de fluidos y su estudio hizo posible por ejemplo los aviones y las
represas.
El descubrimiento de las leyes del electromagnetismo hicieron posible todos los
electrodomésticos, la TV y otros con el cálculo de circuitos.
En múltiples aplicaciones de ingeniería se parte del cálculo y derivadas para
comprender problemas muy complejos, como en resistencia de materiales.
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3. Derivada de una función
3.1. ¿Para qué sirven las derivadas?
La aplicación de derivadas sirve para resolver problemas de optimización
de resultados, cuando debemos encontrar los extremos de una función, es
decir, dónde una función alcanza sus máximos y mínimos relativos o si no
es un extremo.
Se pueden observar otras aplicaciones en los siguientes links:
 Aplicación de Calculo diferencial en clepsidras
https://www.youtube.com/watch?v=ce-BUePo2SE&feature=youtu.be
 Aplicaciones de cálculo diferencial: El menor costo de un cilindro
https://www.youtube.com/watch?v=RJKEnzUXinI&feature=youtu.be
 Cálculo diferencial aplicado a la industria del skateboard
https://www.youtube.com/watch?v=0CFtE9oUS5A
 Otras aplicaciones del cálculo diferencial
https://www.youtube.com/watch?v=vnzENwwqbDc
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3. Derivada de una función
3.2. Conceptos básicos sobre derivadas
La derivada de  en  está dada por  ′  = lim
 +ℎ −()
ℎ→0
ℎ
siempre que ese
límite exista. Ese resultado también es una función de  y representa la pendiente 
de la recta tangente a la gráfica de  en el punto , () .
El proceso de calcular la derivada se llama derivación y se dice que una función es
derivable en  si su derivada en  existe. Decimos que la función es derivable en
un intervalo abierto (, ) si es derivable en todos y cada uno de los puntos de ese
intervalo.
Además de  ′  , que se lee “ prima de ”, se usan otras notaciones para la
derivada de  = ().las más usuales están dadas por:
′  = ′ =


=
  =   
 
Veamos unos ejemplos:
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3. Derivada de una función
3.2. Conceptos básicos sobre derivadas
Ejemplos:
1) Calcule la derivada de   = 3 2 + 4 − 5
Solución:
  + ℎ − ( )
ℎ→0
ℎ
 ′  = lim
= lim
3 +ℎ
ℎ→0
2
+ 4  + ℎ − 5 − (3 2 + 4 − 5)
ℎ
3  2 + 2ℎ + ℎ2 + 4 + 4ℎ − 5 − 3 2 − 4 + 5
= lim
ℎ→0
ℎ
3 2 + 6ℎ + 3ℎ2 + 4 + 4ℎ − 5 − 3 2 − 4 + 5
= lim
ℎ→0
ℎ
Aplicamos la definición de la derivada
Evaluamos la función en  y  + ℎ
Elevamos el binomio  + ℎ
al cuadrado y
realizamos los productos indicados
Simplificamos términos semejantes
6ℎ + 3ℎ2 + 4ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ
Dividimos cada término del trinomio del numerador
entre ℎ
= lim (6 + 3ℎ + 4
Calculamos el límite cuando ℎ → 0
ℎ→0
= 6 + 4
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3. Derivada de una función
3.2. Conceptos básicos sobre derivadas
Ejemplos:
2) Pruebe que si   =  (constante o número), entonces:
 ′  = 0 para todo  ∈ ℝ
Solución:
 +ℎ − 
−
0
=
lim
= lim 0 = 0
= lim ℎ
ℎ→0
ℎ→0 ℎ
ℎ→0
ℎ
ℎ→0
 ′  = lim
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3. Derivada de una función
3.2. Conceptos básicos sobre derivadas
Ejemplos:
3) Determine la pendiente de la gráfica de  =  en los puntos (1,1) y (4,2)
Solución:
 +ℎ − 
+ℎ− 
= lim
= lim
ℎ→0
ℎ→0
ℎ→0
ℎ
ℎ
+ℎ −
= lim
ℎ→0 ℎ
+ℎ+ 
ℎ
= lim
ℎ→0 ℎ
+ℎ+ 
+ℎ− 
ℎ
 ′  = lim
= lim
ℎ→0
=
+ℎ+ 
+ℎ+ 
1
+ℎ+ 
1
2 
Continúa en la diapositiva siguiente
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3. Derivada de una función
3.2. Conceptos básicos sobre derivadas
Por tanto, en el punto (1,1) la pendiente es  ′ 1 =
(4,2) la pendiente es  ′ 4 =
1
2 4
1
4
1
2 1
=
1
2
y en el punto
= , lo cual se puede observar en la
siguiente gráfica:
Viene de la diapositiva anterior
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3. Derivada de una función
3.3. Reglas de derivación
Se muestran algunas fórmulas y propiedades que nos permiten derivar una gran
variedad de funciones. Una vez que las hayamos comprobado serán capaces de
derivar funciones sin tener que aplicar la definición de derivada
Nombre
Función
Fórmula
Derivada de una constante
  =
′  = 0
Derivada de un
múltiplo constante
  = 
′  = 
Derivada de una potencia
  = 
 ′  =  −1
Derivada de una suma o
resta de dos funciones
± 
 ±  ′ =  ′ ± ′
Derivada del producto de
dos funciones
× 
 ×  ′ =  ′  + ′ 
Derivada del cociente de
dos funciones
/ 






/  ′ =
 ′  − ′ 
2
Derivadas de funciones
trigonométricas






=  
=  
=  
=  
=  
=  
   = cos 
   = −sen 
   =  2 
   = − 2 
   = sec  tan 
   = − csc  cot 
Derivadas de funciones
exponenciales
  =  ()
  () = ′  ∙  ()
Derivadas de funciones
logarítmicas
  = ln ()
Derivadas de funciones
compuestas
(Regla de la Cadena)
∘  =  
 ln () =
 ∘  ′  = ′  
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′ 
()
∙ ′ ()
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3. Derivada de una función
3.3. Reglas de derivación
Observemos los siguientes ejemplos:
1)
 −8 = 0
2)
 36052 = 0
3)

4)
 2.57 = 0
5)
  =0
6)
 −8 = −8
7)
 36052 = 36052
8)

Haz clic para visualizar solución
5 =0
5 = 5
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3. Derivada de una función
3.3. Reglas de derivación
Haz clic para visualizar solución
2
2 −2
2
−4 −3
−2−1
=


=
−2

=


3 2
3
3
3
9)

10)

11)
    =     +     = 1   + (cos ) =   +  
12)
 ln 4 − 3
6
1
 =   6 =
=
1 1−1 1 −5
1
6 =  6 = 6
6
6
6 5
 (4 − 3)
4
=
ln 4 − 3
ln 4 − 3
13) Obtenga la derivada de la función   =
3 2 −2
3
Solución: Al aplicar la fórmula de la derivada de un cociente, obtenemos:


 ′  − ′  3 6 − 2 − 3 2 − 2 3
18 2 − 6 − 9 2 + 6 9 2
=
=
=
= 2=1

2
3 2
9 2
9
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3.3. Reglas de derivación
14) Hallar la derivada de la función   = (4 3 ) − 2  ( 2 ) + sec (2 − 1)
Solución:
Haz clic para visualizar solución
Se tiene la derivada de una suma de tres funciones, aplicando las fórmulas
correspondientes para obtener la derivada de cada término y simplificando, se tiene:
   = 
 4 3
=  2 4 3  4 3
−  2  ( 2 ) +  sec 2 − 1
− −2  2  2   2
+  2 − 1  2 − 1  2 − 1
2
= 12 2  2 (4 3 ) + 4  2 ( ) + 2  2 − 1  2 − 1
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3.3. Reglas de derivación
15) Hallar la quinta derivada de la función   =  7 + 2 6 − 5 4 + 8 3 − 2 + 2
Solución: Se busca la primera derivada de la función y luego la segunda y así
sucesivamente, es decir:
Haz clic para visualizar solución
   = 7 6 + 12 5 − 20 3 + 24 2 − 2
2   = 42 5 + 60 4 − 60 2 + 48
3   = 210 4 + 240 3 − 120 + 48
4   = 840 3 + 720 2 − 120
5   = 2520 2 + 1440
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3.3. Reglas de derivación
16) Hallar ℎ′′  donde ℎ  =  − 2
1
4
Solución:
Haz clic para visualizar solución
Al aplicar fórmulas de derivación tenemos que:
ℎ′  =
ℎ′′  =
1
2 
−
−1
4
3
2
1
2
+
3
4
3
8
7
4
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3.3. Reglas de derivación
17) Determine la derivada de la función racional   =
 2 −−3
 3 +5 2 −2+1
Solución:
Aplicamos la propiedad de derivada de un cociente, es decir:
Haz clic para visualizar solución
 2
 3
2
3
2

−

−
3
∗

+
5
−
2
+
1
−
 + 5 2 − 2 + 1 ∗ ( −  − 3



  =

 3 + 5 2 − 2 + 1 2
=
2−1 ∗  3 +5 2 −2+1 − 3 2 +10−2 ∗( 2 −−3)
 3 +5 2 −2+1 2
− 4 + 2 3 + 12 2 + 32 − 7
=
 3 + 5 2 − 2 + 1 2
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3. Derivada de una función
3.4. Actividad de retroalimentación
En los siguientes cinco ejercicios escoja solo una de las siguientes cuatro opciones
planteadas:
1) Al derivar la función  =
 3 − 2 ++1
 2 +−1
obtenemos:
a)
 4 + 2 3 + 8 2 − 16 + 3
2 +  − 1 2
b)
 4 + 2 3 − 5 2 − 2
2 +  − 1 2
c)
d)
 4 + 2 3 + 5 2 − 2
2 +  − 1 2
 4 − 2 3 + 5 2 − 2
2 +  − 1 2
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3.4. Actividad de retroalimentación
2) Dada la función () =
a)
c)
′  =
′
  =
7 −  2 + 3 + 4 tenemos que:
−2
 +  2 − 4 + 4
3 2 + 1
2 5 +  3 +  + 4
b)
d)
′  =
′  =
2 − 3
 + 2 2 − 6 + 4
2−
3 −  2 + 4 + 7
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3.4. Actividad de retroalimentación
3) El valor de la primera derivada de la función   = 
a)
b)
−
3
−2 +1
4
−2 +2
+3
es:
5
c)
d)
−2
−2 +3
−
4
−1 +3
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3.4. Actividad de retroalimentación
2
4) Al encontrar ′ () dado que   = −3 −2−3 tenemos:
a)
b)
18−3
12−2
2 −2
2 −1
c)
−122
2 +4
d)
−123
2 +2
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3.4. Actividad de retroalimentación
5) El resultado de


donde  = −2(6) está dado por:
a)
−18cos 6 − 3sen 6
c)
12sen 6 − 2cos 6
b)
−12cos 6 − 2sen 6
d)
18sen 6 − 3cos 6
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3.5. Bosquejo de curvas
Las derivadas se utilizan para obtener información sobre el comportamiento de una
función, lo que permite contar con ciertos criterios que ayudan a representarla
gráficamente.
Dada una función, podemos identificar si esta aumenta, disminuye o permanece
constante dentro de un intervalo específico, esto es:
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3.5. Bosquejo de curvas
Al utilizar derivadas debemos tener en cuenta lo siguiente:
Dada una función continua en el intervalo [, ] y derivable en el intervalo abierto
(, ), se tiene el siguiente criterio:
Si  ′  > 0 para todo  en ,  , entonces  es creciente en , 
Si  ′  < 0 para todo  en ,  , entonces  es decreciente en , 
Si  ′  = 0 para todo  en (, ), entonces  es constante en [, ]
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3.5. Bosquejo de curvas
Veamos el siguiente ejemplo:
3
Determinar los intervalos sobre los cuales   =  3 −  2 es creciente o
2
decreciente.
Solución:
Puesto que la función   es un polinomio de grado 3, entonces es continuo y
derivable en toda la recta de los números reales. Para determinar los puntos
críticos de , debemos resolver la ecuación  ′  = 0 o identificar los puntos en
donde  ′  no existe. En efecto:
Si  ′  = 3 2 − 3 entonces
3 2 − 3 = 0
3  − 1 = 0
=0 ó =1
Como no hay puntos para los cuales  ′ no exista, se concluye que  = 0 y  = 1
son los únicos puntos críticos.
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3. Derivada de una función
3.5. Bosquejo de curvas
En la siguiente tabla se resume la prueba de los tres intervalos que se forman con
estos dos puntos críticos:.
Intervalo
−∞ <  < 0
Valor de
prueba
 = −2
Signo de
′ 
 ′ −2 = 18
>0
Conclusión
Creciente
0<<1
1
2
=2
1
3
=−
2
4
′ 2 = 6 > 0
=
′
1<<∞
<0
Decreciente
Creciente
Por lo tanto …
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3.5. Bosquejo de curvas
3
La función   =  3 −  2 crece en los intervalos −∞, 0 y 1, ∞ , pero es
2
decreciente en 0,1 .
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3.5. Bosquejo de curvas
Una función se dice que es estrictamente monótona sobre un intervalo si es
creciente o decreciente en todo el intervalo, lo cual se observa en los siguientes dos
gráficas:
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3. Derivada de una función
3.5. Bosquejo de curvas
 Criterio de la primera derivada
Supongamos que c es un punto crítico de una función continua f que es continua en un intervalo
abierto (, ), excepto posiblemente en el mismo c. Entonces () puede clasificarse así:
Si  ′  cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en , () .
Si  ′  cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en , () .
Si  ′  es positiva en ambos lados de c, o negativa en ambos lados de c, entonces el criterio no
decide.
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3.5. Bosquejo de curvas
Veamos el siguiente ejemplo:
1
 Encuentre los puntos máximos y mínimos de la función   =  −   el
2
intervalo 0,2 .
Solución:
1
1
La derivada de la función   =  −   es  ′  = − cos .
2
2
Como  es continua en el intervalo 0,2 los puntos críticos se encuentran
1
haciendo  ′  = 0, esto es, − cos  = 0
2
cos  =
1
2
 =  cos
=

3
o
1
2
=
5
3
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Metodología
Objetivos
Desarrollo
Temático
3. Derivada de una función
3.5. Bosquejo de curvas
En la siguiente tabla se resume la prueba de los tres intervalos que se forman con
estos dos puntos críticos en el intervalo 0,2 .
Intervalo
Valor de
prueba
Signo de
′ 
Conclusión
0<<

5
<<
3
3

4
=

<0
4
′  > 0
=
′

3
Decreciente
Creciente
5
<  < 2
3
7
=
4
7
′
<0
4
Decreciente

Puesto que  ′  cambia de negativa a positiva en , entonces f tiene un mínimo
relativo en

3

3
, , ( , ) .
3
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3.5. Bosquejo de curvas
Además, como  ′  cambia de positiva a negativa en
máximo relativo en
5
3
5
5
3
, entonces f tiene un
, ( ) , lo cual se observa en el siguiente bosquejo de la
3
gráfica.
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3.5. Bosquejo de curvas
Concavidad
La concavidad hace referencia a la forma en que se curva la gráfica de una función,
se dice que la función  en cóncava hacia arriba en un intervalo abierto (, ), si
 ′  es creciente en (, ). Similarmente, se dice que la función  en cóncava
hacia abajo en un intervalo abierto (, ), si  ′  es decreciente en (, ).
También se puede usar el siguiente criterio para las concavidades:
Si  ′′  > 0 en (, ), entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba.
Si  ′′  < 0 en (, ), entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo.
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3.5. Bosquejo de curvas
Punto de inflexión
Es aquel en donde cambia de concavidad de la gráfica, el cual está dado para los
valores que satisface la ecuación  ′′  = 0 ó en donde  ′′  no esté definida.
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3. Derivada de una función
3.5. Bosquejo de curvas
 Criterio de la segunda derivada
Sea  una función tal que  ′  = 0 y Si  ′′  existe en un intervalo abierto (, )
que contiene a .
Si  ′′  > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (, ()).
Si  ′′  < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (, ()).
Si  ′′  = 0, entonces el criterio no decide.
Resolvamos el siguiente ejemplo:
o
Trazar un bosquejo del gráfico de la función   =  4 − 4 3 + 10
Solución:
En primera instancia buscamos los puntos críticos y los posibles puntos de inflexión;
es decir, buscamos los valores para los cuales  ′  = 0 y  ′′  = 0.
  =  4 − 4 3 + 10
 ′  = 4 3 − 12 2
 ′′  = 12 2 − 24
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3.5. Bosquejo de curvas
Si  ′  = 0, entonces 4 3 − 12 2 = 0
4 2 ( − 3) = 0
4 2 = 0
ó
( − 3) = 0
=0
ó
=3
Si  ′′  = 0, entonces 12 2 − 24 = 0
12( − 2) = 0
12 = 0
ó
=0
ó
( − 2) = 0
=2
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3.5. Bosquejo de curvas
En la siguiente tabla se resume la prueba de los cuatro intervalos que se forman con
estos tres puntos.
Intervalo
−∞ <  < 0
0<<2
Valor de
prueba
 = −1
=1
Signo de
′ 
 ′′ −1 = −16
<0
 ′′ 1 = −8
<0
Signo de
 ′′ 
 ′ −1 = 36
>0
 ′ 1 = −12
<0
Monotonía
creciente
decreciente
creciente
creciente
Curvatura
cóncava hacia
abajo
cóncava hacia
abajo
Cóncava
hacia abajo
cóncava
hacia arriba
Conclusion
es
2<<3
5
2
=4
5
= −12.5
2
 ′′ 4 = 64
>0
5
= 15
2
 ′ 4 = 96
>0
=
 ′′
3<<∞
<0
′
>0
Hay un mínimo relativo en  = 3
Hay dos puntos de inflexión en  = 0 y  = 2
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3.5. Bosquejo de curvas
El siguiente gráfico bosqueja la función   =  4 − 4 3 + 10.
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3.6. Aplicaciones de la derivada
Una vez que se han determinado los intervalos de crecimiento o decrecimiento, se
pueden localizar los extremos máximos o mínimos de la función, a este proceso se
llama Optimización y utiliza los criterios de la primera y segunda derivada descritos
anteriormente. Veamos los siguientes ejemplos:
1)
Se quiere hacer una caja abierta cortando pequeños cuadrados congruentes en
las esquinas de una lámina de hojalata que mide 12 por 12 pulgadas, y
doblando los lados hacia arriba. ¿Qué tan grandes deben ser los cuadrados
que se corten de las esquinas para que la caja tenga la máxima capacidad
posible?
Solución:
Empezamos por hacer un planteamiento gráfico del problema, que nos permita
visualizar la situación…
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3. Derivada de una función
3.6. Aplicaciones de la derivada
… En la figura, los cuadrados de las esquinas tienen lados de  pulgadas.
El volumen de la caja es una función de esta variable y está dado por:
  = ℎ ∙  ∙  = 12 − 2 ∙ 12 − 2 ∙ 
=  12 − 2
2
= 4 3 − 48 2 + 144
Como los lados de la lámina tienen sólo 12 pulgadas de largo, entonces  ≤ 6 y el
dominio de   es el intervalo [0,6].
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3.6. Aplicaciones de la derivada
Ahora debemos maximizar la función volumen, para esto buscamos sus puntos
críticos, en efecto:
  = 4 3 − 48 2 + 144
 ′  = 12 2 − 96 + 144
 ′′  = 24 − 96
Si  ′  = 0, entonces 12 2 − 96 + 144 = 0
2
12( − 8 + 12) = 0
12( − 2)( − 6) = 0
( − 2) = 0
ó
( − 6) = 0
=2
ó
=6
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3.6. Aplicaciones de la derivada
Luego, utilizamos el criterio de segunda derivada:
 ′′ 2 = −48 < 0, lo cual implica que hay un máximo relativo en  = 2
 ′′ 6 = 48 > 0, lo cual implica que hay un mínimo relativo en  = 6
Por lo tanto, el máximo volumen de la caja abierta es de:
 2 = 4(2)3 −48 2
2
+ 144(2) = 128 pulgadas cúbicas,
lo cual ocurre cuando los cortes cuadrados miden  = 2 pulgadas por lado.
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3.6. Aplicaciones de la derivada
En la administración y economía, también podemos utilizar las derivadas, para ello,
definiremos los siguientes conceptos:
  =     í
  =     í
  =  −  =
      í
 ′  =  
 ′  =  
′  =  ′  −  ′  =  
        =  
Según lo anterior, si   = 9 y   =  3 − 6 2 + 15, donde  representa miles
de unidades. ¿Cuál es el nivel de producción que maximice la utilidad?
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3.6. Aplicaciones de la derivada
Solución:
Debemos maximizar la función utilidad   =   −  
= 9 −  3 + 6 2 − 15
= − 3 + 6 2 − 6
Buscamos los puntos críticos, los cuales ocurren cuando ′  = 0, en este caso
tenemos que ′  = −3 2 + 12 − 6 = 0 la cual es una ecuación cuadrática con
soluciones:
=
− ± 2 − 4 −12 ±
=
2
12 2 − 4(−3)(−6) −12 ± 72
=
=2± 2
2(−3)
−6
Luego, los niveles que permitirían maximizar la utilidad son  = 0,586 miles de
unidades, o  = 3,414 miles de unidades.
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3.6. Aplicaciones de la derivada
Ahora utilizamos el criterio de la segunda derivada, esto es:
′′  = −6 + 12
′′ 0,586 = −6 0,586 + 12 > 0, lo implica que hay un mínimo en  =
0,586
′′ 3,414 = −6 3,414 + 12 < 0, lo implica que hay un máximo en
 = 3,414.
Por tanto, al producir 3414 unidades se tendrá una máxima ganancia.
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3. Derivada de una función
3.7. Actividad de profundización
Realiza los siguientes ejercicios, entrégaselos a tu docente de y espera la
respectiva retroalimentación.
1) Calcular la primera derivada de cada una de las siguientes funciones:
a)   = 3 4 − 2 3 + 5 2 −  + 3
6
3
b)   = −2 3 − 8 2 ∓ 3
c) ℎ  =   (7 2 + 4)
+2
d)   =  −3
e)   =  
2
f)  =  4 ln 
g)  =
+ln()
4
h)  = ln(−6 + 4 2 )
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3.7. Actividad de profundización
2) Una pequeña empresa manufacturera puede vender todos los artículos
que produce a un precio de $6000 cada uno. El costo de producir x
artículos a la semana es   = 50000 + 36000 − 300 2 + 10 3 .
Encuentre la utilidad marginal cuando el número de unidades producidas es
10.
3) El costo semanal por concepto de la venta de x unidades
de cierto
2

artículo está dado por c() = 50000 − 2000 + 100 .
a) ¿Cuál es el costo de producir 20 unidades?
b) ¿Cuál es el costo marginal al producir 20 unidades?
4) Una compañía encuentra que su utilidad está dada por   = 2 −0.1
cuando cada unidad de su producto se vende a p dólares. Encuentre la
utilidad marginal con respecto al precio cuando el precio es de 10 dólares.
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3.7. Actividad de profundización
5) Se desea cercar un terreno utilizando 200 m de rollo de tela de alambre,
el terreno cercado debe quedar en forma cuadrada o rectangular.
Determine las dimensiones del terreno de tal manera que el área cercada
sea máxima.
6) Un proyectil es disparado siguiendo una trayectoria parabólica, dada por
1
la ecuación ℎ = −  2 + 60, donde h es la altura en metros y t el tiempo
4
en segundos. Halle el tiempo en que alcanza su altura máxima y el valor de
esta.
7) Se requiere construir un recipiente cilíndrico sin tapa empleando 480 cm2
de lámina. ¿Qué dimensiones debe tener el cilindro para que el volumen
contenido en él sea máximo?
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