Dr. Álvaro Alberto Aldama Rodríguez1 y Dr. Aldo Iván Ramírez Orozco2
1Consultor Independiente, 2Profesor Investigador del Centro del Agua del ITESM
Hidrografía del sistema Grijalva-Usumacinta
N
R
M É X IC O
ío
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R ío
G O L F O
P
G ri
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Río Grijalva
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Río Usumacinta
pa
G A V IO T A S
R ío S a m a ría
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BOCA DEL CERRO
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Río Chilapa
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Ríos de la Sierra
R ío
PRESA M ALPASO
ja lv
a
TEAPA
PUYACATENGO
ESCALA GRAFICA
0
C . H . C H IC O A S É N
10
20
3
0
40
50
KILÓMETROS
C . H. LA AN G O STURA
T U X T L A G U T IÉ R R E Z
Río Alto Grijalva
R ío A lto G rija lva
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Río
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S A M A R IA
G
ro
ja lv
Ríos Samaria
y Carrizal
R ío
Introducción
 La seguridad de una estructura cualquiera está determinada por
su respuesta ante un evento que puede presentarse o ser
excedido con una probabilidad determinada.
 En el caso de una presa o una obra para control de
inundaciones, dicho evento puede ser la tormenta de diseño o
la avenida de diseño.
 Dado que el evento que incide directamente sobre un vaso o
cualquier obra para control de inundaciones es la avenida de
diseño, se considera más apropiado caracterizar la seguridad de
una presa en términos de su respuesta ante la ocurrencia de dicha
creciente.
Estimación de avenidas de diseño
 La estimación de avenidas de diseño es el proceso de obtener
las características del hidrograma que se utilizará para
determinar las dimensiones de una obra.
 El fin de los métodos de estimación de avenidas de diseño es
determinar de la mejor manera posible la magnitud del evento
correspondiente a un nivel de riesgo aceptable.
 La estimación de avenidas se realiza con base en un nivel de
riesgo determinado, que se traduce en un periodo de retorno
de diseño, que corresponde al número de años en el que,
estadísticamente, el evento de diseño puede presentarse o ser
excedido.
Enfoques de estimación de
avenidas de diseño
 Hidrometeorológico. Basado en registros de
precipitación y la modelación del proceso lluviaescurrimiento.
 Hidrométrico. Basado en registros de
escurrimiento y el uso de funciones de distribución
de probabilidad.
Ventajas del enfoque
hidrometeorológico
 Registros de precipitación más abundantes que
los de escurrimiento
 Obtención del hidrograma completo de la
avenida
Medición de la precipitación en México
 5575 estaciones climatológicas con datos históricos (la mayoría con
pluviómetro solamente)
 77 observatorios meteorológicos
 4594 estaciones con coordenadas conocidas
 Densidad aproximada = 1 estación pluviométrica / 400 km2
Recomendación mínima de la OMM:
 Terreno plano
1 estación por cada 600 a 900 km2
 Terreno montañoso
1 estación por cada 100 a 250 km2
México no cumple con la recomendación mínima
Ventajas del enfoque hidrométrico
 Registros de caudales suficientemente prolongados
para realizar análisis de frecuencias de gastos
máximos anuales.
 Obtención de estimaciones con significado
probabilista.
 Existencia de una gran diversidad de distribuciones
de probabilidad, incluidas las de poblaciones
mezcladas, a fin de tomar en cuenta el comportamiento
y origen de las avenidas.
Desventajas del enfoque hidrométrico
 Los registros de escurrimiento no son homogéneos
(dependen de los cambios de la cuenca).
 Puede existir incertidumbre en la estimación de los
parámetros de la distribución de probabilidad.
 En los métodos convencionales sólo se obtiene una
característica de la avenida, esto es, el gasto pico, y
la forma de la avenida de diseño se obtiene
“mayorando la avenida máxima histórica”, lo cual en
estricto sentido haría imposible asociar un periodo de
retorno a la misma.
Tormenta elemental en una cuenca
 Considérese una tormenta elemental que ocurre en una cuenca,
sobre un área A, con una intensidad I y una duración d, a una
distancia efectiva L de la salida de aquélla. El efecto de la
tormenta será un hidrograma de salida, caracterizado por el
gasto pico Qp, el tiempo pico tp, y el volumen escurrido V.
i(t)
I
Q(t)
d
A
Qp
t
L
V
tp
t
Modelo advectivo-difusivo del proceso
lluvia-escurrimiento
 Para fines de argumentación conceptual, el proceso lluvia-
escurrimiento puede ser modelado representando a la cuenca como
un “metacanal”, como lo han propuesto Snell y Sivalpan (1995).
Entonces, puede considerarse que el gasto Q a lo largo del cauce
principal de la cuenca está gobernado por la siguiente ecuación de
advección-difusión:
Q
t
U
Q
x
 Q
2
D
x
2
donde t representa el tiempo; x, la coordenada espacial a lo largo
del cauce principal; U, una velocidad advectiva efectiva, y D, un
coeficiente de difusión efectivo.
Gasto pico producido por una tormenta elemental
 El gasto pico producido por una tormenta elemental puede obtenerse a
partir de la solución analítica del problema gobernado por el modelo
advectivo-difusivo, que resulta en la siguiente expresión:
Q p  fIAg ( Pe , C r )
donde f representa un factor de escurrimiento directo y
g ( Pe , C r ) 
1
2
e
e
Pe / 2
 Pe / 2


 Pe / 2
 erf
e




 erf


1

2

1

2

Pe 1  C r ( t p / d  1) 
 erf

Cr
( t p / d  1)

Pe 1  C r ( t p / d  1) 
 erf
Cr
( t p / d  1) 

1

2

1

2

Pe 1  C r t p / d  


Cr
tp / d
 

Pe 1  C r t p / d   

Cr
t p / d  
 
siendo Pe=UL/D un número de Pécléct, y Cr=Ud/L un número de
Courant, ambos característicos del binomio tormenta elementalcuenca. Se puede demostrar que la relación tp/d es una función de Pe y
Cr y, por tanto, de L.
Caracterización probabilista de una
tormenta elemental
 La descripción más simple que se puede proponer de una tormenta
elemental que ocurre en un área fija y tiene una duración fija, es
aquélla en la que intervienen dos variables aleatorias: I y L. Sea
entonces la densidad de probabilidad conjunta de dichas variables
ζ(I,L), a partir de la cual se puede calcular la distribución de
probabilidad conjunta, así como las distribuciones marginales de I
y L, dadas respectivamente por:
I L
Z ( I , L )  P (i  I , l  L ) 
   ( i , l ) dldi
,
0 0
I 
Z i ( I )  P (i  I ) 
   ( i , l ) dldi
0 0
L 
, Z l ( L )  P (l  L ) 
   ( i , L ) didl
0 0
Periodo de retorno conjunto
 Se puede demostrar que el periodo de retorno
conjunto de I y L, o dicho de otro modo, el periodo de
retorno de la tormenta elemental está dado por:
TI ,L 
1
P (i  I , l  L )

1
1  Zi (I )  Zl (L)  Z (I , L)
Periodos de retorno de tormentas y avenidas (1)
 Cuando se realiza un análisis de frecuencias de tormetas máximas
anuales, se puede estimar una intensidad de diseño, ID, asociada
con un periodo de retorno seleccionado para tal fin, TID. Ahora bien,
empleando la teoría de distribuciones derivadas se puede calcular la
distribución de probabilidad del gasto pico producido por una
tormenta elemental, a partir de ζ(I,L). Se puede demostrar que los
periodos de retorno de diseño de la intensidad y del gasto pico se
pueden expresar respectivamente como:
Qp


 
 
1
q
dq




1


,
l
dl

D
    g P ( l ), C ( l )    g P ( L ), C ( L )  
P (i  I ) 
e
r
e
r

 
0 0


D
TI
D
Qp

 
 

1
q
dl


 1      
,l
 dq 
D
P (q  Q p ) 
 g  Pe ( l ), C r ( l )   g  Pe ( l ), C r ( l )   
0 0

D
D
TQ p
1
1
Periodos de retorno de
tormentas y avenidas (2)
 Evidentemente, TQpD≠TID, lo cual demuestra que el
periodo de retorno de la avenida no es el mismo que el
de la tormenta. Pero además, TI,LD≠TID, lo cual muestra
que es inadecuado caracterizar a una tormenta
sólo a través del comportamiento aleatorio de su
intensidad.
Comentarios sobre el enfoque
hidrometeorológico
 La descripción probabilista de tormentas de diseño
a través de la intensidad exclusivamente, es incompleta.
 Para diseñar hidrológicamente una presa es necesario
conocer el periodo de retorno de la avenida de
diseño, lo cual no es posible cuando se emplea una
tormenta de diseño, dado que su periodo de retorno no
coincide con el de la avenida que produce.
 Los modelos lluvia-escurrimiento no funcionan bien
para eventos extremos.
 Lo anterior resalta las limitaciones del enfoque
hidrometeorológico.
Diseño o revisión hidrológica de presas
I(t)
Parámetros de diseño: Zmáx, Omáx
t
O(t)
Zmáx
Omáx
t
 Para determinar Zmáx y Omáx es necesario transitar el hidrograma
completo de la avenida de diseño por el vaso.
Análisis de frecuencias tradicional
Periodo de retorno
T 
1
P q  QP 
Registro histórico
Año
Gasto máximo anual
1940
1941
1942
1943
.
.
.
.
.
1999
2000
2001
2002
1580
2509
1052
4005
.
.
.
.
.
8502
3510
1920
4355
Q
(m3/s)
Muestra aleatoria de una sola
variable: Gasto pico
20000
Q para T=1000 años
10000
••
••
• •• •
•• •
• ••
• •• •
•• ••
10
•• ••
100
1000
T
Observaciones sobre el análisis de
frecuencias tradicional
 Se requiere del hidrograma completo para diseñar o
revisar la presa.
 En la práctica, la forma del hidrograma se define en
forma arbitraria, “mayorando” la avenida máxima
histórica.
 La respuesta de los vasos es sensible al gasto pico y
también a otros parámetros de la avenida.
 Se requiere caracterizar probabilistamente toda la
avenida.
Parametrización de hidrogramas
Q
Q
Qp
V
Q=Q(t;Qp, tp, V)
t
tp
Hidrograma real
Hidrograma parametrizado
Q
QP
Q
Q
QP
QP
V
tp
Triangular
t
V
V
t
t
tp
Pearson
tp
Cúbica
t
Hidrogramas triparamétricos hermitianos

3
   2
t 
t
Q 3   2  ;t  0, t 
p
p
t  
   t p 
p 


 
2
3
 
 t  tp 
 t  tp  
  2
 ;t  t p , t
Q3 t; Q p , t p , tb   Q p 1  3
b
t t 
t t  

 b p
 b p 
 
0;t   ,0  t ,  
b





4
5
   3
t 
t 
t
Q 10   15   6  ;t  0, t 
p
p
t 
t  
   t p 
p 
p 



 
3
4
5


 t  tp 
 t  tp 
 t  tp  
  15
  6
 ;t  t p , t
Q5 t; Q p , t p , tb   Q p 1  10
b
t t 
t t 
t t  

 b p
 b p
 b p 
 
0;t   ,0  t ,  
b





Orden 5
400
Orden 3
350
Orden 1
300

Gasto (m3/s)
t

Q p ;t  0, t p 
 t
p

t  tp 
 
;t  t p , t
Q1 t; Q p , t p , tb   Q p 1 
b
 t t 
b
p 
 
0;t   ,0  tb ,  


250
200
150
100
50
0
0
50
100
150
tiempo (h)
200
250
300
Solución analítica aproximada de
ecuación de tránsito en vasos
I O 
I(t)
dS
dS
dt
dt
S
1 
 I (t )
S (t ;  )  S 0 (t )   S1 (t )  O ( )
2
t
O(t)
S
Omáx
 << 1
Zmáx
t

S0 ( t )  S0 

t
0


e I ( )d e
t


'
'





S1 (t )  e  S 0   e I ( ') d '    ln S0   e I ( ' ) d ' d
 

 
o 
o
0

t
t
Almacenamiento (Mm 3)
Tránsito de la avenida de diseño de la presa
“El Molinito”, Son. (ε=0.23756)
280
260
240
Solución
220
Verdadera
Orden Cero
Orden Uno
Orden Dos
200
180
160
140
Tiempo (h)
0
50
100
150
Para fines prácticos, la solución de orden uno es suficiente.
Análisis de sensibilidad de vasos ante avenidas
0.90
Q
Qp
V
t
tp
Almacenamiento Máximo
(adimensional )
Gasto pico
0.80
Volumen
0.70
Tiempo pico
0.60
0.50
0

0.20
0.40
tp, Qp, V
(adimensional)
Descripción biparamétrica (Qp, V )
0.60
Sensibilidad de la respuesta del vaso al
volumen de las avenidas
 La gráfica anterior hace evidente que la asignación
arbitraria del volumen de escurrimiento de la
avenida, que es lo que se haría con el análisis de
frecuencias tradicional del gastos pico, tiene una gran
influencia en el volumen del superalmacenamiento y
por consiguiente en el nivel máximo que alcanza el
agua dentro del vaso.
Análisis de frecuencias conjunto (1)
Periodo de retorno conjunto del hidrograma
TQ p ,V 
TQ p ,V 
1
P q  Q p ,v  V 
1
1  Fq (Q p )  Fv (V )  Fqv (Q p ,V )
donde:
Fqv Q p ,V   P q  Q p ,v  V 
(función de distribución de probabilidad conjunta)

Fq Q p    Fqv Q p ,V dV  P q  Q p 


Fv V    Fqv Q p ,V dQ p  P v  V 

(funciones de distribución de probabilidad marginales)
Análisis de frecuencias conjunto (2)
Los periodos de retorno individuales están dados por:
Gasto pico:
TQ p 
1
1  Fq (Q p )
Volumen:
TV 
1
1  Fv (V )
Problema de optimización no lineal
 Sea Zm= Zm(Qp,V) la máxima elevación que alcanza el agua
en el vaso de una presa cuando se transita un hidrograma
caracterizado por el par (Qp,V). Entonces, la avenida de
diseño para un periodo de retorno TD dado, corresponderá
a la solución del siguiente problema:


máx Z m  Z m (Q p , V ) sujeta a :
( Q p ,V )
TQ p ,V 
1

p


p

1  Fq (Q )  Fv (V )  Fqv (Q ,V )
 TD
y a la curva elevaciones-capacidades del embalse, así como
a su política de operación.
Procedimiento de solución
Se pretende determinar el par de valores (QP,V) que
produzca los efectos más desfavorables (máximo nivel Zm)
en la presa por diseñar o revisar.
 Definir un periodo de retorno de diseño o revisión.
 Determinar Qp y V para satisfacer TQp,V =TD.
 Construir el hidrograma completo con la mejor parametrización de
acuerdo con la cuenca en estudio.
 Transitar el hidrograma por el vaso y determinar Zm (se ven
implicadas la topografía, las características del vertedor, las políticas
de operación, etc.)
 Elegir otro par (Qp,V) y repetir el proceso hasta obtener el máximo de
Zm.
 Calcular los periodos de retorno individuales.
Revisión del diseño hidrológico de la
presa “El Infiernillo”, Mich. y Gro.
Diseño original
Qp = 38,777 m3/s (Creager)
Una revisión del diseño, en 1982,
motivó la modificación de niveles y
la sobrelevación de la cortina.
Datos actuales
Presa “El Infiernillo”, Mich. y Gro.
NAMO = 165.00 msnm
NAME = 180.40 msnm
Ecorona = 184.00 msnm
Análisis de frecuencias de gastos máximos anuales
(convencional)
Para un periodo de retorno de 10,000 años se tiene:
Qp = 60,060 m3/s
El hidrograma de diseño se definió mayorando la avenida máxima histórica (en
gasto pico), ocurrida en 1967, con lo cual el volumen de escurrimiento es:
V = 12,400 millones de m3
Al transitar esta avenida, se alcanza una elevación de la superficie libre del
agua de 183.00 msnm. El NAME se sobrepasa por 2.60 m y queda aún 1.00 m
a la corona.
Análisis de frecuencias conjunto utilizando marginales
Gumbel doble
Para un periodo de retorno conjunto de 10,000 años se tiene:
Qp = 54,000 m3/s
V = 13,960 millones de m3
60000
GD isch
m 3 /s
asto
a rg e (m 3 /s)
50000
Zmáx = 186.73 msnm
40000
30000
TQ p =
3,800 años
TV = 4,507 años
20000
10000
La corona se sobrepasa en 2.73 m.
0
0
50
100
150
tim e (h )
T iem po (h)
200
250
La presa no es segura para un
evento con periodo de retorno de
10,000 años
Revisión del diseño hidrológico de la
presa “Huites”, Sin.
Diseño original
Qp = 30,000 m3/s
V = 5,240 millones de m3
Datos actuales
NAMO = 270.00 msnm
NAME = 290.00 msnm
Ecorona = 290.75 msnm
Presa “Luis Donaldo Colosio” Huites, Sinaloa
Análisis de frecuencias de gastos máximos anuales
(convencional)
Para un periodo de retorno de 10,000 años se tiene:
Qp = 30,000 m3/s
El hidrograma de diseño se definió mayorando la avenida máxima anual de
1990, mientras la máxima histórica (en gasto pico) ocurrió en 1960. El volumen
de escurrimiento es:
V = 5,240 millones de m3
Al transitar esta avenida, se alcanza una elevación de la superficie libre del
agua de 289.37 msnm, dejando un bordo libre, a la corona, de 1.38 m.
La presa parece segura
Análisis de frecuencias conjunto utilizando marginales
Gumbel doble
Para un periodo de retorno conjunto de 10,000 años se tiene:
Qp = 29,000 m3/s
V = 5,979 millones de m3
35000
30000
25000
G a s to (m
3
/s )
Zmáx = 290.58 msnm
20000
TQ p = 6,034 años
15000
TV = 3,135 años
10000
La presa es menos segura de lo que
se cree
5000
0
0
50
100
150
tie m p o (h )
200
250
Revisión del diseño hidrológico del
proyecto “La Parota”, Guerrero
Diseño convencional
Qp = 22,993 m3/s
V = 8,912 millones de m3
Datos relevantes
Sitio para la ubicación de la cortina de la
presa “La Parota”, Guerrero
NAMO (avenidas) = 170.00 msnm
NAMO (estiaje) = 175.00 msnm
NAME = 180.00 msnm
Ecorona = 183.00 msnm
Análisis de frecuencias conjunto
Para un periodo de retorno conjunto de 10,000 años se
tiene:
Qp = 23,531 m3/s
V = 5,726 millones de m3
Zmáx = 179.50 msnm
La presa es hidrológicamente segura
Conclusiones
 Tanto el enfoque hidrometeorológico como el análisis de
frecuencias de gastos máximos tradicionales, para la
estimación de avenidas de diseño de presas, son
incompletos e inadecuados.
 Para el caso de vasos, el método propuesto evita la
arbitrariedad en la asignación del volumen de la avenida.
Se obtiene la solución con los efectos más desfavorables
sobre el vaso en particular, cuyas características se
involucran en el proceso de estimación de la avenida de
diseño
Comentarios
 La teoría multivariada de valores extremos ha sido aplicada y
extendida por los autores para resolver problemas de estimación de
avenidas de diseño en redes de ríos, en las que comúnmente se
requiere el uso de distribuciones de tres o más variables aleatorias.
 En particular, se ha demostrado que la distribución de probabilidad de
poblaciones mezcladas comúnmente conocida como “Gumbel doble”,
satisface las denominadas “fronteras de Fréchet” y las “condiciones de
Galambos”.
 Asimismo, se ha desarrollado una metodología para la estimación del
parámetro de asociación del modelo logístico de Gumbel, para la
construcción de funciones de probabilidad de extremos multivariadas,
basada en el concepto de “contenidos de probabilidad”.
 Actualmente se trabaja en el problema de presas en cascada y en una
estrategia de solución que permita acotar la complejidad
computacional de problemas que involucren un número apreciable de
variables aleatorias.
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Estimación de avenidas de diseño