1
Estadística Administrativa I
Período 2013-3
2
Teorema de Bayes
Fórmula creada por un reverendo para saber
matemáticamente si Dios existe.
3
Teorema de Bayes
El teorema de Bayes es una fórmula desarrollado por el
Reverendo Thomas Bayes, un ministro presbiteriano que
tenía interés en demostrar, matemáticamente que Dios
existía, basándose en la información que veía en la
tierra.
Más tarde, Pierre-Simon Laplace perfeccionó el trabajo
y lo aplicó a asuntos más terrenales.
4
Teorema de Bayes
Sea B un evento simple y A1 y A2 eventos que son
mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, el
teorema de Bayes calcula la probabilidad de que el evento
A1 ocurra, dado que el evento B ya ocurrió.
 1 (  )
1
1

 =
 1    +  2 (  )
1
2
Ejemplo…
5
A está formado por dos eventos y B es un evento
simple, suponer:
P(A1)= 0.05,
P(B/A1)=0.80,
P(A2)=0.95
P(B/A2)= 0.50
Calcular P(A1/B).
(1 )(  )

1
 1  =
 1    +  2 (  )
1
2
(0.05)(0 .80)
0.04
=
=
0.05 0.80 + (0.95)(0.50) 0.04 + 0.475
=
0.04
0.515
=0.0776699=0.078
La probabilidad
es de 0.078
… Ejemplo
6
Diagrama de árbol:
La probabilidad
es de 0.078
… Ejemplo
7
Tabla de contingencia
8
Ejemplo…
Los trabajadores despedidos que se volvieron empresarios
porque no encontraron empleo en otra empresa se conocen
como “empresarios por necesidad”.
El Wall Street Journal reporta que estos empresarios tienen
menos posibilidad de crecimiento en los grandes negocios
que los “empresarios por elección”.
Este artículo establece que el 89% de los empresarios en USA
lo son por elección y que el 11% son empresarios por
necesidad.
… Ejemplo
9
Solo el 2% de los empresarios por necesidad esperan que su
nuevo negocio dé empleo a 20 o más personas dentro de los
siguientes cinco años, mientras que el 14% de los empresarios
por elección esperan emplear por lo menos a 20 personas
dentro de los siguientes cinco años.
Si se selecciona al azar a un empresario y éste espera que su
nuevo negocio emplee a 20 o más personas dentro de los
siguientes 5 años. ¿Cuál es la probabilidad de que esté
individuo sea un empresario por elección?
… Ejemplo
10
A1 :
Empresarios por elección
P(A1) =0.89
A2 :
Empresarios por necesidad
P(A2) =0.11
B :
Esperanza de crecer
B1 :
Espera crecer
B2 :
No espera crecer
P(B/A1) = 0.14
P(B/A2) = 0.02
¿P(A1/B)?
… Ejemplo
11
… Ejemplo
12
Probabilidad Procabilidad probabilidad
Evento
simple
condicional
conjunta
Empresario por elección (A1)
0.89
0.14
0.1246
Empresario por necesidad (A2)
0.11
0.02
0.0022
0.1268

1
 =
 ( 1 )  
1
 ( 1 )   + ( 2 )  
1
2
(0.89)(0.14)
1
(  ) =
(0.89)(0.14) + (0.11)(0.02)
0.1246
1
( ) =
= 0.9826
0.1268
Ejemplo…
13
El 5% de la población de Umen, un país ficticio del
tercer mundo, tiene una enfermedad propia del país.
La probabilidad de que un habitante tenga la
enfermedad es de 0.05.
Existe una técnica de diagnóstico que no es muy
precisa. Se han hecho estudios de su efectividad y se
ha descubierto que la probabilidad de que un
habitante elegido al azar tenga la enfermedad
después de haber hecho el examen es de 0.9 y que la
probabilidad de que no la tenga, aunque se haya
hecho la prueba es de 0.15.
… Ejemplo
14
Elija al azar a una persona de Umen y aplique la prueba.
Los resultados de la prueba indican que la enfermedad
está presente.
¿Cuál es la probabilidad de que la persona en realidad
padezca la enfermedad?
1 =   
2 =    
 =   ó 
 1 = 0.05
 2 = 0.095
  ó 
   =
= 0.9



1
  ó 
   = (
) = 0.15




2
… Ejemplo
15
Diagrama de árbol:
… Ejemplo
16
Teorema de
Bayes

1
Probabilidad Procabilidad probabilidad
Evento
simple
condicional
conjunta
Padece la enfermedad (A1)
0.05
0.9
0.045
No padece la enfermedad (A2)
0.95
0.15
0.1425
0.1875
 = (
  
   )
 1 (  )

1
 1  =
 1    +  2 (  )
1
2

1
(0.05)(0.9)
0.45
 = (0.05)(0.9) + (0.95)(0.15) = 0.1875 = 0.24
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