Vectores Aleatorios
1 Distribución conjunta de un vector aleatorio
2 Distribuciones marginales y condicionadas
3 Independencia entre variables aleatorias
4 Características de un vector aleatorio
Esperanza
Varianza, Covarianza, Correlación
5 Transformaciones de vectores aleatorios
6 Distribución Normal multivariante
1
1 Distribución conjunta de un vector aleatorio
En el tema anterior estudiamos distribuciones de probabilidad para una
variable aleatoria. Sin embargo, a menudo nos interesa estudiar más de
una variable en un experimento aleatorio.
Por ejemplo, en la clasificación de señales emitidas y recibidas, cada señal
se clasifica como de baja, media o alta calidad. Podemos definir X=número
de señales de baja calidad recibida, e Y=número de señales de alta calidad
En general, si X e Y son dos variables aleatorias la distribución de
probabilidad que define simultáneamente su comportamiento se
llama distribución de probabilidad conjunta
2
Estadística. Profesora: María Durbán
1 Distribución conjunta de un vector aleatorio
Variables discretas
Dadas dos v.a. discretas, X , Y definimos su función distribución de
probabilidad mediante la función de probabilidad conjunta:
p ( x , y )  P r( X  x , Y  y )
Como en el caso unidimensional está función debe verificar:
p ( x, y )  0

x
p ( x, y )  1
y
La función de distribución conjunta:
F ( x 0 , y 0 )  P r( X  x 0 , Y  y 0 ) 
 
P r( X  x , Y  y )
x  x0 y  y 0
3
Estadística. Profesora: María Durbán
1 Distribución conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información
digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no
aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.
Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
X = Número de bits aceptables
Y = Número de bits sospechosos
4
Estadística. Profesora: María Durbán
1 Distribución conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información
digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no
aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.
Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
Y
p ( x, y )  0

x
p ( x, y )  1
y
Estadística. Profesora: María Durbán
4
4.1x10-5
3
4.1x10-5
2
1.54x10-5 1.38x10-3 3.11x10-2
1
2.56x10-6 3.46x10-4 1.56x10-2
0.2333
0
1.6x10-7 2.88x10-5
7.83x10-2
0
1.84x10-3
1
1.94x10-3
2
3
0.6561
4
X
5
1 Distribución conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información
digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no
aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.
Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
Y
P r( X  1, Y  2)
Estadística. Profesora: María Durbán
4
4.1x10-5
3
4.1x10-5
2
1.54x10-5 1.38x10-3 3.11x10-2
1
2.56x10-6 3.46x10-4 1.56x10-2
0.2333
0
1.6x10-7 2.88x10-5
7.83x10-2
0
1.84x10-3
1
1.94x10-3
2
3
0.6561
4
X
6
1 Distribución conjunta de un vector aleatorio
Variables continuas
Dadas dos v.a. continuas, X , Y definimos su función distribución de
probabilidad mediante la función de densidad conjunta:
f ( x, y )
Como en el caso unidimensional está función debe verificar:
f ( x, y )  0

 



f ( x , y ) dxdy  1
2
f ( x, y ) 
d F ( x, y )
d xd y
La función de distribución conjunta:
F ( x 0 , y 0 )  P r( X  x 0 , Y  y 0 ) 
y0
x0


 
f ( x , y ) dxdy
7
Estadística. Profesora: María Durbán
1 Distribución conjunta de un vector aleatorio
Variables continuas
La probabilidad ahora se calcula como un volumen:
P r( a  X  b , c  Y  d ) 
b
 
a
d
f ( x , y ) dxdy
c
P r(  1  X  1,  1.5  Y  1.5)
8
Estadística. Profesora: María Durbán
1 Distribución conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
Sea X la variable aleatoria que representa el tiempo hasta que un servidor
se conectar con tu ordenador (en milisegundos) e Y el tiempo hasta que el
servidor te autoriza como usuario.
La función de densidad conjunta viene dada por:
f ( x , y )  6  10
6
exp(  0.001 x  0.002 y )
0 x y
¿ P r( X  1000, Y  2000) ?
9
Estadística. Profesora: María Durbán
1 Distribución conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
f ( x , y )  6  10
6
exp(  0.001 x  0.002 y )
0 x y
¿ P r( X  1000, Y  2000) ?
Y
3000
Recinto donde la función de
densidad no es 0
2000
1000
1000 2000 3000
Estadística. Profesora: María Durbán
X
10
1 Distribución conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
f ( x , y )  6  10
6
exp(  0.001 x  0.002 y )
0 x y
¿ P r( X  1000, Y  2000) ?
Y
3000
2000
Recinto de integración para el cálculo
de esa probabilidad
1000
1000 2000 3000
Estadística. Profesora: María Durbán
X
11
1 Distribución conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
f ( x , y )  6  10
6
exp(  0.001 x  0.002 y )
0 x y
Y
P r( X  1000, Y  2000) 

1000
0

y
f ( x , y ) dxdy 
0
3000
2000
x=y
1000
1000 2000 3000
Estadística. Profesora: María Durbán
X
12
1 Distribución conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
f ( x , y )  6  10
Y
6
exp(  0.001 x  0.002 y )
Pr( X  1000, Y  2000) 

1000
0

y
0
0 x y
f ( x , y ) dxdy  
2000
1000

1000
f ( x , y ) dxdy
0
 0.9 15
3000
2000
x=y
1000
1000 2000 3000
Estadística. Profesora: María Durbán
X
13
2 Distribuciones marginales
Si se definen más de una v.a. en un experimento, es importante
distinguir entre la distribución de probabilidad conjunta y la distribución
de probabilidad de cada variable individualmente. A la distribución de
cada variable se le denomina distribución marginal.
Variables Discretas
Dadas dos v.a. discretas, X , Y con función de probabilidad conjunta
p ( x , y ) las funciones de probabilidad marginales de ambas variables son:
p X ( x )  P r( X  x ) 
 P r( X
 x, Y  y )
 P r( X
 x, Y  y )
y
p Y ( y )  P r(Y  y ) 
x
Son funciones de probabilidad
Se puede calcular su esperanza,
varianza, etc.
14
Estadística. Profesora: María Durbán
2 Distribuciones marginales
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información
digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no
aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.
Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
Y
X = Número de bits aceptables
La función de probabilidad 4 4.1x10
Y = Número de bits sospechosos
-5
marginales se obtendrían
sumando en ambas
direcciones
Estadística. Profesora: María Durbán
3
4.1x10-5
2
1.54x10-5 1.38x10-3 3.11x10-2
1
2.56x10-6 3.46x10-4 1.56x10-2
0.2333
0
1.6x10-7 2.88x10-5
7.83x10-2 0.6561
0
1.84x10-3
1
1.94x10-3
2
3
4
X
15
2 Distribuciones marginales
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información
digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no
aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.
Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
Y
X = Número de bits aceptables
La función de probabilidad
Y = Número de bits sospechosos
marginales se obtendrían
sumando en ambas
direcciones
0.0001 0.0036
Estadística. Profesora: María Durbán
0
1
0.0486
2
0.2916
3
0.6561
4
X
16
2 Distribuciones marginales
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información
digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no
aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.
Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
Y
X = Número de bits aceptables
La función de probabilidad 4 4.1x10
Y = Número de bits sospechosos
-5
marginales se obtendrían
sumando en ambas
direcciones
Estadística. Profesora: María Durbán
3
4.1x10-5
2
1.54x10-5 1.38x10-3 3.11x10-2
1
2.56x10-6 3.46x10-4 1.56x10-2
0.2333
0
1.6x10-7 2.88x10-5
7.83x10-2 0.6561
0
1.84x10-3
1
1.94x10-3
2
3
4
X
17
2 Distribuciones marginales
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información
digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no
aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.
Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
Y
X = Número de bits aceptables
La función de probabilidad 4 0.00004
Y = Número de bits sospechosos
marginales se obtendrían
sumando en ambas
direcciones
Estadística. Profesora: María Durbán
3
0.00188
2
0.03250
1
0.24925
0
0.71637
X
18
2 Distribuciones marginales
Variables Continuas
Dadas dos v.a. continuas, X , Y con función de densidad conjunta f ( x , y )
las funciones de densidad marginales de ambas variables son:
f X ( x) 
fY ( y ) 




f ( x , y ) dy
Son funciones de densidad


f ( x , y ) dx
Se puede calcular su esperanza,
varianza, etc.
0 .4
f(x )
0 .3
0 .2
0 .1
0 .0
-4
-2
0
x
Estadística. Profesora: María Durbán
2
4
19
2 Distribuciones marginales
Ejemplo
Sea X la variable aleatoria que representa el tiempo hasta que un servidor
se conectar con tu ordenador (en milisegundos) e Y el tiempo hasta que el
servidor te autoriza como usuario.
La función de densidad conjunta viene dada por
f ( x , y )  6  10
6
exp(  0.001 x  0.002 y )
0 x y
¿ P r(Y  2000) ?
20
Estadística. Profesora: María Durbán
2 Distribuciones marginales
Ejemplo
f ( x , y )  6  10
6
exp(  0.001 x  0.002 y )
0 x y
¿ P r(Y  2000) ?
Podemos resolverlo de dos formas:
Integrar la función de densidad conjunta
en el recinto adecuado
Calcular la función de densidad marginal
de Y y calcular esa probabilidad
21
Estadística. Profesora: María Durbán
2 Distribuciones marginales
Ejemplo
f ( x , y )  6  10
6
exp(  0.001 x  0.002 y )
0 x y
¿ P r(Y  2000) ?
Y
Y
Podemos resolverlo de dos formas:
3000
Integrar la función de densidad conjunta
en el recinto adecuado
2000
1000
P r(Y  2000) 
1000 2000 3000
Estadística. Profesora: María Durbán
X


2000

y
f ( x , y ) dxdy  0.05
0
22
2 Distribuciones marginales
Ejemplo
f ( x , y )  6  10
6
exp(  0.001 x  0.002 y )
0 x y
¿ P r(Y  2000) ?
Y
Y
Podemos resolverlo de dos formas:
Calcular la función de densidad marginal
de Y y calcular esa probabilidad
3000
2000
fY ( y ) 

y
3
f ( x , y ) dx  6  10 e
 0.002 y
(1  e
 0.001 y
)
y 0
0
1000
0
1000 2000 3000
Estadística. Profesora: María Durbán
X
23
2 Distribuciones marginales
Ejemplo
f ( x , y )  6  10
6
exp(  0.001 x  0.002 y )
0 x y
¿ P r(Y  2000) ?
Y
Y
Podemos resolverlo de dos formas:
3000
2000
Calcular la función de densidad marginal
de Y y calcular esa probabilidad
P r(Y  2 0 0 0 ) 


2000
f Y ( y ) d y  0 .0 5
1000
0
24
Estadística. Profesora: María Durbán
2 Distribuciones condicionadas
Cuando se definen más de una v.a. en un experimento, el conocimiento
de una de las variables puede afectar las probabilidades que se asocian
con los valores de la otra variable
Recordamos del Tema 3 (Probabilidad):
Pr B A  
Pr  A  B 
Pr  A 
Mide el tamaño
de uno con
respecto al otro
25
Estadística. Profesora: María Durbán
2 Distribuciones condicionadas
Cuando se definen más de una v.a. en un experimento, el conocimiento
de una de las variables puede afectar las probabilidades que se asocian
con los valores de la otra variable
Variables Discretas
Dadas dos v.a. discretas, X , Y con función de probabilidad conjunta
p ( x , y ) la funcion de probabilidad de Y condicionada a X=x0:
p ( y | x0 ) 
p ( y , x0 )
p X ( x0 )

P r(Y  y , X  x 0 )
P r( X  x 0 )
A B
A
p X ( x0 )  0
Para un valor genérico de x
p ( y , x ) P r(Y  y , X  x )
p( y | x) 

pX ( x)
P r( X  x )
Podemos calcular su esperanza,
varianza, etc.
Estadística. Profesora: María Durbán
p( y, x)  p( y | x) pX (x)
26
2 Distribuciones condicionadas
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información
digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no
aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.
Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
X = Número de bits aceptables
Y = Número de bits sospechosos
Como sólo se transmiten 4 bits, si X=4, necesariamente Y=0
si X=3, Y=0 ó 1
Saber lo que vale X cambia la probabilidad asociada con los valores de Y
27
Estadística. Profesora: María Durbán
2 Distribuciones condicionadas
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información
digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no
aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.
Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
X = Número de bits aceptables
Y = Número de bits sospechosos
Como sólo se transmiten 4 bits, si X=3, Y=0 ó 1
P r(Y  0 | X  3) 
P r(Y  1 | X  3) 
P r(Y  0, X  3)
P r( X  3)
P r(Y  1, X  3)
P r( X  3)

0.05832
 0.2
0.2916

0.2333
0.2916
 0.8
P r(Y  0 | X  3)  P r(Y  1 | X  3)  1
E [Y | X  3]  0  0.2  1  0.8  0.8
Número esperado de bits sospechosos cuando en número de aceptables es 3
Estadística. Profesora: María Durbán
28
2 Distribuciones condicionadas
Variables Continuas
Dadas dos v.a. continuas, X , Y con función de densidad conjunta f ( x , y )
la función de densidad de Y condicionada a X
f ( y | x) 
f ( x, y )
Es función de densidad
f X ( x)
Se puede calcular su esperanza,
varianza, etc.
f ( x, y )  f ( y | x) f X ( x)
29
Estadística. Profesora: María Durbán
2 Distribuciones condicionadas
Ejemplo
Sea X la variable aleatoria que representa el tiempo hasta que un servidor
se conectar con tu ordenador (en milisegundos) e Y el tiempo hasta que el
servidor te autoriza como usuario.
La función de densidad conjunta viene dada por
f ( x , y )  6  10
6
exp(  0.001 x  0.002 y )
0 x y
¿Cuál será la probabilidad de que el tiempo hasta que el servidor te autoriza
como usuario sea más de 2000 milisegundos si el tiempo que ha tardado el
servidor en conectarse ha sido 1500 milisegundos?
¿ P r(Y  2000 | X  1500) ?
30
Estadística. Profesora: María Durbán
2 Distribuciones condicionadas
Ejemplo
f ( x , y )  6  10
6
exp(  0.001 x  0.002 y )
0 x y
¿ P r(Y  2000 | X  1500) ?
Y
Y
f ( y | x) 
f X ( x)
3000
f X (x) 
2000
1000
f ( x, y )


f ( x , y ) dy  0.003 e
 0.003 x
x 0
x
f ( y | x )  0.002 e
0.002 x  0.002 y
0 x y
0
1000 2000 3000
Estadística. Profesora: María Durbán
X
31
2 Distribuciones condicionadas
Ejemplo
f ( x , y )  6  10
6
exp(  0.001 x  0.002 y )
0 x y
¿ P r(Y  2000 | X  1500) ?
Y
Y
f ( y | x )  0.002 e
0.002 x  0.002 y
0 x y
3000
2000
P r(Y  2000 | X  1500) 

1000


f ( y | X  1500) dy
2000


0.002 e
3  0.002 y
dy
2000
 0.368
0
1000 2000 3000
Estadística. Profesora: María Durbán
X
32
3 Independencia entre variables aleatorias
En algunos experimentos, el conocimiento de una de las variables puede
no afectar ninguna de las probabilidades que se asocian con los valores
de la otra variable
Recordamos del Tema 3 (Probabilidad):
Pr  A  B   Pr  A  Pr  B 
Pr( A | B )  Pr( A )
Pr( B | A ) Pr( B )
33
Estadística. Profesora: María Durbán
3 Independencia entre variables aleatorias
Variables Discretas
Diremos que dos variables
p ( y | x )  pY ( y )
X ,Y
son independientes si:
p( x | y)  p X ( x)
p ( x , y )  p ( x | y ) pY ( y )  p X ( x ) pY ( y )
x, y
34
Estadística. Profesora: María Durbán
3 Independencia entre variables aleatorias
Variables Continua
Diremos que dos variables
X ,Y
f ( y | x )  fY ( y )
son independientes si:
f ( x | y)  f X ( x)
f ( x, y )  f ( x | y ) fY ( y )  f X ( x ) fY ( y )
x, y
35
Estadística. Profesora: María Durbán
3 Independencia entre variables aleatorias
Ejemplo
Sea X la variable aleatoria que representa el tiempo hasta que un servidor
se conectar con tu ordenador (en milisegundos) e Y el tiempo hasta que el
servidor te autoriza como usuario.
La función de densidad conjunta viene dada por
f ( x , y )  6  10
6
exp(  0.001 x  0.002 y )
f ( y | x )  0.002 e
0.002 x  0.002 y

3
f Y ( y )  6  10 e
 0.002 y
0 x y
0 x y
Para todos los valores de x
(1  e
 0.001 y
)
y0
36
Estadística. Profesora: María Durbán
4 Características de un vector aleatorio
Dadas n v.a.
X 1, X 2 ,
,Xn
definimos el vector n-dimensional
 X1 


X2

X 




X
 n
La función de probabilidad/densidad del vector es la función de
probabilidad/densidad conjunta de los componentes del vector.
Esperanza
Se define el vector de medias como el vector cuyas componentes son
las medias o esperanzas de cada componente.
 E  X1


E
X
 2 
μ  E X  




 E  X 
n 

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37
4 Características de un vector aleatorio
Covarianza
Primero comenzamos por definir la covarianza entre dos variables:
Es una medida de la relación lineal entre dos variables
C ov ( X , Y )  E   X  E  X

 Y
 E Y     E  XY   E  X  E Y 

Propiedades
Si
X ,Y
son independientes
Si
C ov ( X , Y )  0  X , Y
 C ov ( X , Y )  0
ya que
E  X Y   E  X  E Y

sean independientes
Z  aX  b
Si hacemos un cambio de origen y escala:
C ov ( Z , W )  abC ov ( X , Y )
W  cY  d
Estadística. Profesora: María Durbán
38
4 Características de un vector aleatorio
Covarianza
C ov ( X , Y )  E   X  E  X

 Y
 E Y     E  XY   E  X  E Y 

¿Cómo lo calculamos?
Necesitamos calcular la esperanza de una función de dos variables
aleatorias:
E h( X ,Y ) 
  h( x, y ) p ( x, y )
x

y
 



h ( x , y ) f ( x , y ) dxdy
39
Estadística. Profesora: María Durbán
4 Características de un vector aleatorio
´Covarianza positiva
Covarianza cero
Hay relación
pero no
lineal
Covarianza
negativa
Estadística. Profesora:
María Durbán
Covarianza cero
40
4 Características de un vector aleatorio
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información
digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no
aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.
Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
X = Número de bits aceptables
Y = Número de bits sospechosos
¿Es la covarianza entre X e Y positiva o negativa?
Sabemos que X  Y  4  cuando Y se acerca a 4, X se acerca a 0
Por lo tanto la covarianza el negativa
41
Estadística. Profesora: María Durbán
4 Características de un vector aleatorio
Correlación
La correlación entre dos variables también es una medida de la relación
linear entre dos variables
 ( X ,Y ) 
Si
X ,Y
son independientes
C ov ( X , Y )
V ar  X  V ar  Y 
  ( X ,Y )  0
ya que
C ov  X , Y
0
|  ( X , Y ) | 1
Si
Y  aX  b  |  ( X , Y ) | 1
42
Estadística. Profesora: María Durbán
4 Características de un vector aleatorio
Matriz de Varianzas y Covarianzas
Dadas n v.a. X 1 , X 2 , , X n llamamos matriz de varianzas y covarianzas
del vector X a la matriz cuadrada de orden n:
MX
 V ar  X 1 


  C ov  X 1 , X 2 

 E X -μX -μ 

 

 C ov  X , X 
1
n

C ov  X 1 , X 2 
V ar  X 2 
C ov  X 1 , X n  




V ar  X n  
Propiedades
Simétrica
Semidefinida positiva
43
Estadística. Profesora: María Durbán
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Al igual que en el caso univariante, hay ocasiones en que es necesario
calcular la distribución de probabilidad de una función de dos o más v.a.
Dado un vector aleatorio X con función de densidad conjunta f ( X )
y lo transformamos en otro vector aleatorio Y de la misma dimensión
mediante una función g
f (Y )  f ( g
1
( Y ))
y 1  g 1 ( x1 ,
, xn )
y 2  g 2 ( x1 ,
, xn )
y n  g n ( x1 ,
, xn )
Existen las
transformaciones
inversas
dX
dX
dY
dY
Estadística. Profesora: María Durbán
dx1
dx1
dy1
dy n
dx n
dx n
dy1
dy n

44
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Si Y tiene menor dimensión que X , completamos Y con elementos
de X hasta completar la misma dimensión.
Ejemplo
f X 1 X ( x1 , x 2 ) 
2
4 x1 x 2
0
0  x1 , x 2  1
en el resto
Calcular la función de densidad de Y1  X 1  X 2
1. Definimos Y 2  X 2
2. Buscamos la distribución conjunta de Y  (Y1 , Y 2 )
3. Calculamos la marginal de Y1
45
Estadística. Profesora: María Durbán
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Ejemplo
f X 1 X ( x1 , x 2 ) 
0  x1 , x 2  1
4 x1 x 2
2
0
en el resto
 Buscamos la distribución conjunta de Y  (Y1 , Y 2 )
f (Y )  f ( g
1
( Y ))
dX
dY
g (X)  ( X 1  X 2 , X 2 )  g
dY

1
1
0
1
1
Estadística. Profesora: María Durbán
( Y )  (Y1  Y2 , Y 2 )
Y2
Y1
dX
1
f (g
1
( Y ))  4( y1  y 2 ) y 2
f ( Y )  4( y1  y 2 ) y 2
¿En qué recinto está
definida?
46
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Ejemplo
0  x1 , x 2  1
Y1  X 1  X 2  0  y1  2
Y2  X 2
 0  y 2  1 Y1  Y2  X 2  0  y1  y 2  1
1
y1  y 2  0
y1  y 2  1
2
47
Estadística. Profesora: María Durbán
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Ejemplo
f ( Y ) 0 4x(, xy1 1 y 2 ) y 2
1
0  y1  1
0  y 2  y1
1  y1  2
y1 - 1  y 2  1
Y1  X 1  X 2  0  y1  2
Y2  X 2
2
 0  y 2  1 Y1  Y2  X 2  0  y1  y 2  1
1
0  y1  1 0  y 2  y1
y1  y 2  0
y1  y 2  1
1  y1  2
y1 - 1  y 2  1
2
48
Estadística. Profesora: María Durbán
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Ejemplo
Calculamos la marginal de Y1
y1

f Y1 ( y1 ) 
4( y1  y 2 ) y 2  y 2 
0
3
2
1

4( y1  y 2 ) y 2  y 2  
y1  1
0  y1  1
3
y1
8
3
 4 y1 
3
2
3
y1
1  y1  2
49
Estadística. Profesora: María Durbán
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Convolución de X1 y X2
Si X1 y X2 son variables aleatorias independientes con funciones de
densidad f X ( x1 ) y f X ( x 2 ), la función de densidad de Y  X 1  X 2 es
1
2
fY ( y ) 



f X1 ( y  x ) f X 2 ( x )x
Se utiliza en casos como la transformada de Fourier
50
Estadística. Profesora: María Durbán
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Un caso que merece mención especial es el cálculo de esperanzas y
varianzas de transformaciones lineales:
Ym 1  A m  n X n 1
mn
E Y   AE X 
V ar  Y   A M X A 
Ejemplo
Y  X1  X 2
E Y   E X1   E X 2 
V ar  Y    1
 V ar  X 1 
1 
 C ov ( X 1 , X 2 )
Estadística. Profesora: María Durbán
 Y  1
 X1 
1 

X
 2
C ov ( X 1 , X 2 )   1 
    V ar  X 1   V ar  X 2   2 C ov ( X 1 , X 2 )
V ar  X 2    1 
51
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Un caso que merece mención especial es el cálculo de esperanzas y
varianzas de transformaciones lineales:
Ym 1  A m  n X n 1
mn
E Y   AE X 
V ar  Y   A M X A 
Ejemplo
Y  X1  X 2
 Y  1
 X1 
 1 

X
 2
E Y   E  X1   E X 2 
V ar  Y    1
 V ar  X 1 
 1 
 C ov ( X 1 , X 2 )
Estadística. Profesora: María Durbán
C ov ( X 1 , X 2 )   1 

  V ar  X 1   V ar  X 2   2 C ov ( X 1 , X 2 )
V ar  X 2     1 
52
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Un caso que merece mención especial es el cálculo de esperanzas y
varianzas de transformaciones lineales:
Ym 1  A m  n X n 1
mn
E Y   AE X 
V ar  Y   A M X A 
Caso particular: Distribución Normal
X i ~ N  i , i 
i  1,
Y  a1 X 1  a 2 X 2 
E Y  
n
a
i
i
i 1
, n independientes
 an X n
V ar  Y  
Normal
n
a
2
i
i
2
i 1
53
Estadística. Profesora: María Durbán
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Ejemplo
Una pieza en forma de U está formada por tres partes, A, B y C. La longitud
de A sigue una distribución Normal con media 10mm y desviación típica
0.1mm. El grosor de las partes B y C se distribuye normalmente con media
2mm y desviación típica 0.05mm.
Suponiendo que las dimensiones de las partes son independientes:
1. Determinar la media y desviación típica de la distribución del hueco D.
2. En esa pieza ha de encajar otra de 7.9 mm, ¿cuál es la probabilidad de
que una pieza de esta forma sea inservible?
D
B
C
A
54
Estadística. Profesora: María Durbán
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Ejemplo
1. Determinar la media y desviación típica de la distribución del hueco D.
A ~ N (10, 0.1)
D  ABC
B ~ N (2, 0.05)
C ~ N (2, 0.05)
E  D   10  2  2  6
V a r  D   0 .1  0 .0 5  0 .0 5  0 .0 1 5
2
2
2
D .T  D   0 .1 2 2
D
B
C
A
55
Estadística. Profesora: María Durbán
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Ejemplo
2. En esa pieza ha de encajar otra de 7.9 mm, ¿cuál es la probabilidad de
que una pieza de esa forma sea inservible?
D ~ N (6, 0.015)
5.9  6 

P r( D  5.9)  P r  Z 

0.122 

P r( Z   0.82)  1  P r( Z  0.82)
1  0 .7 9 3 9  0 .2 0 6 1
D
El 20% de las
piezas fabricadas
es inservible
B
C
A
56
Estadística. Profesora: María Durbán
6 Distribución Normal multivariante
X 
Si vector aleatorio X   1  sigue una distribución Normal bivariante
X 2
 1 
con vector de medias μ    y matriz de varianzas-covarianzas
 2 
  12
 1 2 
 

2
2 
  1 2
tiene función de densidad:
f X  
1
 2  
1/ 2
 1

1
exp   ( X  μ )'  ( X  μ ) 
 2

57
Estadística. Profesora: María Durbán
6 Distribución Normal multivariante
1
f X  
  12
 
  1 2
f  x1 , x 2  
 2  
 1 2 
2
2
1
 2   1 2


1/ 2
 1

1
exp   ( X  μ )'  ( X  μ ) 
 2

   1  2 (1   )
2
2

1

exp  
2
2
2(1


)
(1   )


2

1
 1
2

1
1


2
(1   )   

  1 2
 
 1 2 

1 
2 
2 
 x    2  x    2
 x1   1   x 2   2
1
2
2
 1


2








   1 

2


1
  2



 
  

58
Estadística. Profesora: María Durbán
Función de densidad
Diagrama de dispersión
6 Distribución Normal multivariante
X1 
X  

X
 2
 1 
μ   
 2 
  12
 
  1 2
 1 2 

2
2


Propiedades
  0  X 1 , X 2 independientes
X 1 ~ N  1 ,  1 
X 2 ~ N  1 ,  1 
X 1 | X 2 y X 2 | X 1 son norm ales
60
Estadística. Profesora: María Durbán
6 Distribución Normal multivariante
Ejemplo
En el proceso de fabricación de lámparas electroluminiscentes (luz negra), se
depositan capas de tinta en una base de plástico. El grosor de esas capas es
determinarte a la hora de satisfacer las especificaciones relativas al color e intensidad
de la luz.
Sean X e Y el grosor de dos capas de tinta, se sabe que ambas siguen una
distribución Normal, con medias 0.1mm y 0.23mm y desviaciones típicas 0.00031mm
y 0.00017mm respectivamente. La correlación entre ambas es 0.
Las especificaciones de grosor son las siguientes:
0 .0 9 9 5 3 5  X  0 .1 0 0 4 6 5
0 .2 2 9 6 6  Y  0 .2 3 0 3 9
¿Cuál es la probabilidad de que una lámpara elegida
al azar satisfaga las especificaciones?
61
Estadística. Profesora: María Durbán
6 Distribución Normal multivariante
Ejemplo
¿Cuál es la probabilidad de que una lámpara elegida al azar satisfaga las
especificaciones?
X ~ N (0.1, 0.00031)
0 .0 9 9 5 3 5  X  0 .1 0 0 4 6 5
Y ~ N (0.23, 0.00017 )
0 .2 2 9 6 6  Y  0 .2 3 0 3 9
P r(0.099535  X  0.100465, 0.22966  Y  0.23039)
  0  independientes
P r(0 .0 9 9 5 3 5  X  0 .1 0 0 4 6 5) P r(0 .2 2 9 6 6  Y  0 .2 3 0 3 9 )
P r(  1 .5  Z  1 .5) P r(  2  Z  2 ) 
 2 P r( Z
 1 .5)  1   2 P r( Z  2 )  1 
 0 .8 2 7
62
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