Estadística Administrativa I
Período 2014-2
Distribuciones de probabilidad continuas
- Distribución de probabilidad normal
1
Familias de distribuciones de
probabilidad normal
› La distribución normal viene generada por
una fórmula bien compleja trabajar con
probabilidades continuas.
  =
1
 2
− 2
−
 22
 Es una de las técnicas de investigación estadística más utilizada
con probabilidades estimadas con exactitud variable.
 La información base para trabajar con una distribución normal son
la Media poblacional y la Desviación estándar poblacional.
2
Característica de la distribución de
probabilidad normal
Tiene forma de campana y posee una sola cima en el
centro de la distribución.
La media aritmética, mediana y moda son iguales.
Es simétrica con respecto a la media.
– Desciende suavemente en ambas
direcciones del valor central. Se dice que
la distribución es asintótica.
› La localización se determina a través
de la media  y la desviación
estándar 
3
Familia de distribuciones de probabilidad
normal.
› La curva varía en su forma dependiendo de
los resultados que se obtengan de los
estudios realizados.
› Algunas curvas pueden parecerse; pero, ser
muy distintas.
› Se pueden obtener infinita cantidad de
distribuciones normales.
4
Distribución de probabilidad
normal estándar
5
Cualquier distribución de probabilidad normal se
puede convertir en una distribución de probabilidad
normal estándar.
Existe técnicas que permiten que se tome cualquiera
de ellas y mediante unos pequeños cálculos, se
aproxime a una distribución ya establecida que
proporciona los resultados mejor ajustados.
…Distribución de probabilidad normal
estándar
6
Tomando de base la media aritmética y la desviación
estándar, éstas se convierten en media 0 y
desviación estándar 1 para obtener los resultados
que se buscan.
El resultado que convierte a la media en 0 y la
desviación estándar en 1 se llama “Valor tipificado” o
“valor z”.
Valor Z
7
Distancia con signo entre un valor
seleccionado X y la media aritmética dividido
entre la desviación estándar.
−
=

Nota: Aplicación de la regla empírica
Valor Z
› Según se observa en la definición anterior, el valor z
expresa la distancia (diferencia) entre un valor dado de
X y la media aritmética en unidades de desviación
estándar.
› Una vez que se estandarizan las observaciones con
distribución normal, los valores z se distribuyen
normalmente con media aritmética 0 y desviación
estándar 1.
› La distribución z posee todas las características de
cualquier distribución de probabilidad normal.
8
Valor Z
› El valor Z siempre es un datos entre 0.00 y 3.00; todos
los valores decimales se manejas con 2 dígitos.
› En los apéndices de los libros de estadística siempre
viene una tabla con todos los posibles resultados de Z.
› Todos los resultados de estas probabilidades se buscan
en la tabla “Área bajo la curva normal”
9
Ejemplo…
Los ingresos mensuales de los supervisores de los turnos de la
Maquila “El buen rastro” se rigen por una distribución de
probabilidad normal con media de Lps.10,000.00 y una
desviación estándar de Lps.850.
¿Cuál es el valor z para el ingreso X de un supervisor que
percibe Lps. 12,000.00 mensuales?
 = 12000
 = 10000
 = 850
12000 − 10000
=
850
2000
=
850
 = 2.35
10
… Ejemplo
12000 − 10000
=
850
2000
=
850
 = 2.35
=0
=1
› El valor Z indica que el salario de Lps.12,000 está a 2.35 desviaciones
estándar a la derecha de la media aritmética ().
› El valor Z positivo indica que el salario es mayor (>) que el salario
promedio.
11
Ejemplo…
Los ingresos mensuales de los supervisores de los turnos de la
Maquila “El buen rastro” se rigen por una distribución de
probabilidad normal con media de Lps.10,000.00 y una
desviación estándar de Lps.850.
¿Cuál es el valor z para el ingreso X de un supervisor que
percibe Lps. 9,000.00 mensuales?
 = 9000
 = 10000
 = 850
9000 − 10000
=
850
−1000
=
850
 = −1.18
El valor Z indica que el salario de este supervisor es menor
12
que el promedio
Regla empírica
1.Cerca del 68% del área bajo la curva normal
se encuentra a una desviación estándar de
la media.
 ± 1
2.Alrededor del 95% del área bajo la curva
normal se encuentra a 2 desviaciones
estándar de la media.
 ± 2
3.Prácticamente toda el área bajo la curva
normal se encuentra a 3 desviaciones
estándar de la media.
 ± 3
13
Regla empírica
14
Ejemplo…
La distribución de los ingresos anuales de un grupo de
empleados de mandos medios en Compton Plastics se
aproxima a una distribución normal, con una media de
$47,200.00 y desviación estándar $800.
a)Entre qué valores se encuentra el 68% de los ingresos
b)Entre qué valores se encuentra el 95% de los ingresos
c)¿Cuál es el ingreso medio y el ingreso modal?
d)¿La distribución de ingresos es simétrica?
15
…Ejemplo
 = 47200
σ = 800
a)Entre qué valores se encuentra el 68% de los ingresos
b)Entre qué valores se encuentra el 95% de los ingresos
c)¿Cuál es el ingreso medio y el ingreso modal?
d)¿La distribución de ingresos es simétrica?
16
…Ejemplo
 = 47200
σ = 800
a)¿Entre qué valores se encuentra el 68% de los ingresos?
 ± 1 = 47200 ± 1 ∙ 800
= 47200 ± 800
= 47200 + 800 = 48000
El 68% de los
ingresos anuales se
encuentran en
$46,400 Y $48,000.
= 47200 − 800 = 46400
17
…Ejemplo
 = 47200
σ = 800
b) ¿Entre qué valores se encuentra el 95% de los ingresos?
 ± 2 = 47200 ± 2 ∙ 800
= 47200 ± 1600
= 47200 + 1600 = 48800
El 95% de los
ingresos anuales se
encuentran en
$45,600 Y $48,800.
= 47200 − 1600 = 45600
18
…Ejemplo
 = 47200
σ = 800
c) ¿ Cuál es el ingreso medio y el ingreso modal?
En la distribución normal, la media aritmética es igual
que la moda y la mediana.
Ingreso medio =  = 47200
Moda
=  = 47200
d) ¿La distribución de ingresos es simétrica?
La distribución de ingresos es normal; por lo tanto, se puede
concluir que es simétrica.
19
Determinación del área bajo la curva
La determinación del área bajo la curva es el
cálculo de la probabilidad que los eventos
definidos ocurran.
› Una vez que se encuentra el valor de Z; éste se busca su
resultado en la tabla de “Área bajo la curva normal”.
› La tabla es un cuadro distribuido en filas y columnas.
 En las filas se ubica el entero de Z con el
primer decimal.
 = 1.23
 En las columnas se despliegan los
correspondientes al segundo decimal.
20
Características de la determinación del área bajo
la curva
› El cálculo del área bajo la curva está definido
(en la mayoría de libros) para calcular el 50%
del total de la curva normal.
› Se trabaja en base al lado positivo de la
curva.
› Para cualquier valor de Z el resultado será el
área entre  = 0 y el valor de Z
21
Características de la determinación del área bajo
la curva
› Lo cálculos para los Z menores que 0 se realizan en el lado
positivo; es decir, si el valor de Z es -1.22, se busca en la
curva como si fuera 1.22
=
22
Ejemplo…..
Calcular el área bajo la curva para Z = 1.23
› Dividir Z en dos partes:
1.- 1.2
2.- 0.03
› Buscar el dato que resulta al unir la fila de 1.2 con la
columna 0.03.
› Resultado = 0.03907
23
Ejemplo…..
Calcular el área bajo la curva para Z = -1.23
› Quitarle el signo a Z.
› Dividir Z en dos partes:
1.- 1.2
2.- 0.03
› Buscar el dato que resulta al unir la fila de 1.2 con la
columna 0.03.
› Resultado = 0.03907
24
Determinación del área bajo la curva
› El tema anterior se refiere al área bajo la curva cuando los
datos están entre 0 y Z.
› Los cálculos de datos que cubren ambos lados de la media
se duplican.
– 1°-) El enunciado indica que los valores de Z están antes de la
Media y después de la media.
– 2°-) Se hace el cálculo para los valores que están entre 0 y Z1.
– 3°.-) Se hace el cálculo para los valores que están entre 0 y Z2.
– 4°.-) Se suman ambos resultados
25
Ejemplo…..
Calcular el área bajo la curva, para los datos que están
entre Z=-1.00 y Z=1.00
› Calcular el área bajo la curva entre 0 y 1.
1.- Buscar en las filas el dato 1.00
2.- Buscar en la columna el dato 0.00
3.- El resultado es 0.3413
› Calcular el área bajo la curva entre -1 y 0.
1.- Buscar en las filas el dato 1.00
2.- Buscar en la columna el dato 0.00
3.- El resultado es 0.3413
› Resultado = 0.3413 + 0.3413 = 0.6826
26
Determinación del área bajo la curva
› Otra forma de calcular área bajo la
curva es cuando ésta no está junto al
valor de la media.
› En este caso se dice que Z > z1
– Primero se calcula el área bajo la curva
entre 0 y Z.
– El resultado se obtiene mediante la resta
de 1 y el área bajo la curva obtenida.
1 − ()
27
Ejemplo…..
Calcular el área bajo la curva para Z >1.3
› Z = 1.30
› Dividir Z en dos partes:
1.- 1.3
2.- 0.00
› Buscar el dato que resulta al unir la fila de 1.3 con la
columna 0.00
› El resultado del área entre 0 y Z=1.3 es 4032.
› Resultado = 1- 0.4032 =0.5968
R:// 0.5968
28
Determinación del área bajo la curva
› Es posible que se desee conocer las
áreas bajo la curva en el caso contrario;
que Z < z1.
› El resultado cubre los dos lados de la
curva normal.
– Se resuelve calculando el área bajo la
curva entre 0 y z.
– El resultado se obtiene mediante la suma
de 1 y el 50% del otro lado de la gráfica.
0.5 + ()
29
Ejemplo…..
Calcular el área bajo la curva para Z < 0.25
› Z = 0.25
› Dividir Z en dos partes:
1.- 0.2
2.- 0.05
› Buscar el dato que resulta al unir la fila de 0.2 con la
columna 0.05
› El resultado entre 0 y Z=0.25 es 0.0987
› Resultado = 0.5 + 0.0987 =0.5987
R:// 0.5987
30
Ejemplo…
Los ingresos mensuales de los supervisores de
los turnos de la Maquila “El buen rastro” se
rigen por una distribución de probabilidad
normal con media de Lps.10,000.00 y una
desviación estándar de Lps.850.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un
supervisor tenga ingresos entre 10,500 y
11,500?
 = 10000
 = 850
X = 10,500
X = 11,500
(10500 <  < 11500)
31
…Ejemplo
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un supervisor
tenga ingresos entre 10,500 y 11,500?
10500 − 10000
1 =
850
500
1 =
850
1 = 0.59
11500 − 10000
2 =
850
1500
2 =
850
2 = 1.76
 = 10000
 = 850
X = 10,500
X = 11,500
(0.59 <  < 1.76)
32
… Ejemplo
1 = 0.59
2 = 1.76
› Calcular el área entre 0 y 0.59
– 0.5 y 0.09 ≡ 0.2224
› Calcular el área entre 0 y 1.76
– 1.7 y 0.06 ≡ 0.4608
› Resultado del área entre 0.59 y 1.76
– 0.4608 - 0.2224 = 0.2384
›
La probabilidad de que un supervisor tenga ingresos
entre 10,500 y 11,500 lempiras es de 0.2384
33
Ejemplo …
› b. ¿Cuál es la probabilidad de que un supervisor
tenga ingresos entre L.9,500 y L.10,900.
(9500 <  < 10900
9500 − 10000
1 =
850
−500
1 =
850
1 = −0.59
 = 10000
 = 850
X = 9,500
X= 10,900
10900 − 10000
1 =
850
900
1 =
850
1 = 1.06
(−0.59 <  < 1.06)
34
… Ejemplo
1 = −0.59
2 = 1.06
› Calcular el área entre 0 y 0.59
– 0.5 y 0.09 ≡ 0.2224
› Calcular el área entre 0 y 1.06
– 1.0 y 0.06 ≡ 0.3554
› Resultado del área entre -0.59 y 1.06
– 0.2224+0.3554 = 0.5778
›
La probabilidad de que un supervisor tenga ingresos
entre 9,500 y 10,900 lempiras es de 0.5778
35
36
Descargar

Distribución Normal