La Distribución Normal
Capítulo 6
Continuaremos el estudio de las
distribuciones de probabilidad
analizando una
distribución de probabilidad contínua
muy importante
Distribuciones de Probabilidad
Distribuciones de
Probabilidad
CAP. 5
Distribuciones de
Probabilidad
Discretas
Binomial
Poisson
Distribuciones de
Probabilidad
Continuas
Normal
CAP. 6
La distribución normal
Repasemos…
Una variable aleatoria contínua
es aquella que puede asumir un
número infinito de valores
dentro de cierto rango específico.
Ejemplos:
 La presión ejercida por un
brazo robot en manufactura
 El peso del equipaje en un avión
 El tiempo transcurrido en
procesar una orden de compra
En esta unidad estudiaremos:
 las características principales
de la distribución de probabilidad
normal
 la distribución normal estándar
 cómo se utiliza la distribución
normal para estimar
probabilidades binomiales
La distribución normal se usa en:
 Psicología
 Biología
 Economía y finanzas
 Astronomía
 Ciencias de la nutrición
 Ciencias sociales y
administrativas
La familia de las distribuciones
de probabilidad normal
 No existe una sola distribución
de probabilidad normal, sino más bien
se trata de toda una “familia” de ellas.
 Cada una de las distribuciones puede
tener una media distinta (u)
y desviación estándar distinta (ơ).
 Por tanto, eI número de distribuciones
normales es ilimitado.
La familia de las distribuciones
de probabilidad normal
Al variar los parámetros μ and σ, obtenemos diferentes
distribuciones normales
La familia de las distribuciones
de probabilidad normal
f(X)
Cambiando μ movemos la
distribución lhacia la izquierda
o derecha.
Cambiando σ aumentamos o
disminuímos su altura..
σ
μ
X
La distribución de probabilidad normal y
la curva normal que la acompaña tienen
las siguientes características:
La curva normal
tiene forma de
campana y un
sólo pico en el
centro de la
distribución.
Características (cont.)
El promedio aritmético, la mediana y la
moda de la distribución son iguales y se
ubican en el pico.
Características (cont.)
La mitad del
área bajo la
curva se
encuentra a la
derecha de este
punto central y
la otra mitad
está a la
izquierda de
dicho punto.
Características (cont.)
Es simétrica en torno a su
promedio. Si se corta Ia curva normal
de manera vertical por el valor central,
las dos mitades serán como imágenes
en un espejo.
Características (cont.)
La curva normal desciende suavemente en
ambas direcciones a partir del valor central.
Es asintótica, Ia curva se acerca cada vez
más al eje de X pero jamás llega a tocarlo. Es
decir, las “colas” de Ia curva se extienden de
manera indefinida en ambas direcciones.
Características (cont.)
La distribución de probabilidad
normal estándar
Sería físicamente imposible proporcionar
una tabla de probabilidades para cada
combinación de u y σ (como para Ia
distribución binomial o para Ia de Poisson) .
Es posible utilizar un sólo miembro de Ia
familia de distribuciones normales para
todos los problemas en los que se aplica
Ia distribución normal.
La distribución de probabilidad
normal estándar
Tiene una media de 0 y una desviación
estándar de 1
f(Z)
1
0
Z
Los valores mayores al promedio tienen
valores Z positivos y, valores menores al
promedio tendrán valores Z negativos.
La distribución de probabilidad
normal estándar
Todas las distribuciones normales pueden
convertirse a “distribución normal estándar”
restando Ia media de cada observación y
dividiendo por Ia desviación estándar.
Utilizando un valor z, se convertirá, o
estandarizará, Ia distribución real a una
distribución normal estándar.
Transformamos unidades X en unidades Z
El valor z
Un valor z es Ia distancia a partir de
Ia media, medida en las unidades de
desviación estándar.
El valor z
Valor z = Ia distancia entre un valor
seleccionado (x) y Ia media (u),
dividida por la desviación estándar (ơ).
Límites sigma
Límites dos sigma
Límites tres sigma
Al determinar el valor z empleando Ia fórmula
anterior, es posible encontrar eI área de
probabilidad bajo cualquier curva normal
haciendo referencia a Ia distribución normal
estándar en el apéndice D (página 523).
z
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.0
0.0000
0.0040
0.0080
0.0120
0.0160
0.0199
0.0239
0.0279
0.0319
0.0359
0.1
0.0398
0.0438
0.0478
0.0517
0.0557
0.0596
0.0636
0.0675
0.0714
0.0753
0.2
0.0793
0.0832
0.0871
0.0910
0.0948
0.0987
0.1026
0.1064
0.1103
0.1141
0.3
0.1179
0.1217
0.1255
0.1293
0.1331
0.1368
0.1406
0.1443
0.1480
0.1517
0.4
0.1554
0.1591
0.1628
0.1664
0.1700
0.1736
0.1772
0.1808
0.1844
0.1879
0.5
0.1915
0.1950
0.1985
0.2019
0.2054
0.2088
0.2123
0.2157
0.2190
0.2224
0.6
0.2257
0.2291
0.2324
0.2357
0.2389
0.2422
0.2454
0.2486
0.2517
0.2549
0.7
0.2580
0.2611
0.2642
0.2673
0.2704
0.2734
0.2764
0.2794
0.2823
0.2852
0.8
0.2881
0.2910
0.2939
0.2967
0.2995
0.3023
0.3051
0.3078
0.3106
0.3133
0.9
0.3159
0.3186
0.3212
0.3238
0.3264
0.3289
0.3315
0.3340
0.3365
0.3389
1.0
0.3413
0.3438
0.3461
0.3485
0.3508
0.3531
0.3554
0.3577
0.3599
0.3621
1.1
0.3643
0.3665
0.3686
0.3708
0.3729
0.3749
0.3770
0.3790
0.3810
0.3830
1.2
0.3849
0.3869
0.3888
0.3907
0.3925
0.3944
0.3962
0.3980
0.3997
0.4015
1.3
0.4032
0.4049
0.4066
0.4082
0.4099
0.4115
0.4131
0.4147
0.4162
0.4177
1.4
0.4192
0.4207
0.4222
0.4236
0.4251
0.4265
0.4279
0.4292
0.4306
0.4319
1.5
0.4332
0.4345
0.4357
0.4370
0.4382
0.4394
0.4406
0.4418
0.4429
0.4441
1.6
0.4452
0.4463
0.4474
0.4484
0.4495
0.4505
0.4515
0.4525
0.4535
0.4545
1.7
0.4554
0.4564
0.4573
0.4582
0.4591
0.4599
0.4608
0.4616
0.4625
0.4633
1.8
0.4641
0.4649
0.4656
0.4664
0.4671
0.4678
0.4686
0.4693
0.4699
0.4706
1.9
0.4713
0.4719
0.4726
0.4732
0.4738
0.4744
0.4750
0.4756
0.4761
0.4767
2.0
0.4772
0.4778
0.4783
0.4788
0.4793
0.4798
0.4803
0.4808
0.4812
0.4817
2.1
0.4821
0.4826
0.4830
0.4834
0.4838
0.4842
0.4846
0.4850
0.4854
0.4857
2.2
0.4861
0.4864
0.4868
0.4871
0.4875
0.4878
0.4881
0.4884
0.4887
0.4890
2.3
0.4893
0.4896
0.4898
0.4901
0.4904
0.4906
0.4909
0.4911
0.4913
0.4916
2.4
0.4918
0.4920
0.4922
0.4925
0.4927
0.4929
0.4931
0.4932
0.4934
0.4936
2.5
0.4938
0.4940
0.4941
0.4943
0.4945
0.4946
0.4948
0.4949
0.4951
0.4952
2.6
0.4953
0.4955
0.4956
0.4957
0.4959
0.4960
0.4961
0.4962
0.4963
0.4964
2.7
0.4965
0.4966
0.4967
0.4968
0.4969
0.4970
0.4971
0.4972
0.4973
0.4974
2.8
0.4974
0.4975
0.4976
0.4977
0.4977
0.4978
0.4979
0.4979
0.4980
0.4981
2.9
0.4981
0.4982
0.4982
0.4983
0.4984
0.4984
0.4985
0.4985
0.4986
0.4986
3.0
0.4987
0.4987
0.4987
0.4988
0.4988
0.4989
0.4989
0.4989
0.4990
0.4990
APENDICE D
Areas debajo de la
curva normal
Ejemplo:
Supongamos que se calculó el valor z y el
resultado es 1.91.
¿CuáI es eI área bajo la curva normal entre
u y X?
Utilizamos el apéndice D.
Baja por Ia columna de la tabla
encabezada con Ia Ietra z hasta llegar
a 1.9.
Luego muévete en dirección
horizontal a la derecha y lee Ia
probabilidad en Ia columna con el
encabezado 0.01.
Es 0.4719.
z
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.0
0.0000
0.0040
0.0080
0.0120
0.0160
0.0199
0.0239
0.0279
0.0319
0.0359
0.1
0.0398
0.0438
0.0478
0.0517
0.0557
0.0596
0.0636
0.0675
0.0714
0.0753
0.2
0.0793
0.0832
0.0871
0.0910
0.0948
0.0987
0.1026
0.1064
0.1103
0.1141
0.3
0.1179
0.1217
0.1255
0.1293
0.1331
0.1368
0.1406
0.1443
0.1480
0.1517
0.4
0.1554
0.1591
0.1628
0.1664
0.1700
0.1736
0.1772
0.1808
0.1844
0.1879
0.5
0.1915
0.1950
0.1985
0.2019
0.2054
0.2088
0.2123
0.2157
0.2190
0.2224
0.6
0.2257
0.2291
0.2324
0.2357
0.2389
0.2422
0.2454
0.2486
0.2517
0.2549
0.7
0.2580
0.2611
0.2642
0.2673
0.2704
0.2734
0.2764
0.2794
0.2823
0.2852
0.8
0.2881
0.2910
0.2939
0.2967
0.2995
0.3023
0.3051
0.3078
0.3106
0.3133
APENDICE D
0.9
0.3159
0.3186
0.3212
0.3238
0.3264
0.3289
0.3315
0.3340
0.3365
0.3389
1.0
0.3413
0.3438
0.3461
0.3485
0.3508
0.3531
0.3554
0.3577
0.3599
0.3621
Areas debajo de la
curva normal
1.1
0.3643
0.3665
0.3686
0.3708
0.3729
0.3749
0.3770
0.3790
0.3810
0.3830
1.2
0.3849
0.3869
0.3888
0.3907
0.3925
0.3944
0.3962
0.3980
0.3997
0.4015
1.3
0.4032
0.4049
0.4066
0.4082
0.4099
0.4115
0.4131
0.4147
0.4162
0.4177
1.4
0.4192
0.4207
0.4222
0.4236
0.4251
0.4265
0.4279
0.4292
0.4306
0.4319
1.5
0.4332
0.4345
0.4357
0.4370
0.4382
0.4394
0.4406
0.4418
0.4429
0.4441
1.6
0.4452
0.4463
0.4474
0.4484
0.4495
0.4505
0.4515
0.4525
0.4535
0.4545
1.7
0.4554
0.4564
0.4573
0.4582
0.4591
0.4599
0.4608
0.4616
0.4625
0.4633
1.8
0.4641
0.4649
0.4656
0.4664
0.4671
0.4678
0.4686
0.4693
0.4699
0.4706
1.9
0.4713
0.4719
0.4726
0.4732
0.4738
0.4744
0.4750
0.4756
0.4761
0.4767
2.0
0.4772
0.4778
0.4783
0.4788
0.4793
0.4798
0.4803
0.4808
0.4812
0.4817
2.1
0.4821
0.4826
0.4830
0.4834
0.4838
0.4842
0.4846
0.4850
0.4854
0.4857
2.2
0.4861
0.4864
0.4868
0.4871
0.4875
0.4878
0.4881
0.4884
0.4887
0.4890
2.3
0.4893
0.4896
0.4898
0.4901
0.4904
0.4906
0.4909
0.4911
0.4913
0.4916
2.4
0.4918
0.4920
0.4922
0.4925
0.4927
0.4929
0.4931
0.4932
0.4934
0.4936
2.5
0.4938
0.4940
0.4941
0.4943
0.4945
0.4946
0.4948
0.4949
0.4951
0.4952
2.6
0.4953
0.4955
0.4956
0.4957
0.4959
0.4960
0.4961
0.4962
0.4963
0.4964
2.7
0.4965
0.4966
0.4967
0.4968
0.4969
0.4970
0.4971
0.4972
0.4973
0.4974
2.8
0.4974
0.4975
0.4976
0.4977
0.4977
0.4978
0.4979
0.4979
0.4980
0.4981
2.9
0.4981
0.4982
0.4982
0.4983
0.4984
0.4984
0.4985
0.4985
0.4986
0.4986
3.0
0.4987
0.4987
0.4987
0.4988
0.4988
0.4989
0.4989
0.4989
0.4990
0.4990
Esto signitica que 47.19 por
ciento del área bajo Ia curva se
encuentra entre u y eI valor
X,1.91 desviaciones estandar a
la derecha de Ia media.
Esta es Ia probabilidad de que
una observación esté entre 0 y
1.91 desviaciones estándar de Ia
media.
Ejercicios:
Valor z calculado
Area bajo Ia curva
2.84
.4977
1.00
.3413
0.49
.1879
Ahora calcularemos eI valor z dada:
Ia media de Ia población, u,
la desviación estándar de ésta, ơ,
y una X seleccionada.
Ejercicios:
Los ingresos semanales de los gerentes de
nivel intermedio tienen una distribución
aproximadamente normal con una media de
$1,000.00 y una desviación estándar de
$100.00.
¿Cuál es el valor z para un ingreso X de
$1,100.00?
Y, ¿para uno de $900.00?
Utilizando la fórmula:
Para X = $1,100:
Para X = $900:
1100 – 1000
100
900 - 1000
100
= - 1.00
= 1.00
La z de 1.00 indica que un ingreso semanal
de $1,100.00 para un gerente de nivel
intermedio está una desviación estándar a la
derecha de Ia media.
La z de -1.00 indica que un ingreso de
$900.00 está una desviación estándar a la
izquierda de Ia media.
Ambos ingresos ($1,100 y $900) están a Ia
misma distancia ($100) de Ia media.
900
1,000
1,100
(página 200)
Auto evaluación 6-1
Ejercicios
3 a) b)
4
La primera aplicación de Ia distribución
normal estándar es encontrar el área bajo Ia
curva normal entre una media y un valor
seleccionado, designado como X.
Utilizando Ia misma distribución que en eI
ejemplo anterior del ingreso semanal
(u = $1 000, ơ = $100)
¿CuáI es el área bajo Ia curva normal entre
$1,000 y $1,100?
Ya se calculó el valor z para $1,100
utilizando la fórmula: z = 1.00
La probabilidad asociada con el valor z de
1.00 se encuentra en el apéndice D.
Para ubicar el área, desciende por la
columna de Ia izquierda hasta 1.0. Luego
muévete a Ia derecha y lee el área bajo Ia
curva en Ia columna marcada 0.00.
Es 0.3413.
0.5
0.5
La media divide Ia curva normal en dos
mitades idénticas. El área bajo Ia mitad a Ia
izquierda de Ia media es 0.5 y eI área a Ia
derecha de Ia media es tambien 0.5.
Ejercicios:
Utilizando nuevamente el ingreso medio de
$1,000 al mes y Ia desviación estándar de
$100 al mes:
1.¿Cuál es Ia probabilidad de que un ingreso
semanal específico elegido aI azar esté
entre 790 y 1,000 dólares?
Pregunta 1
Calculamos eI valor z para $790 utilizando
Ia fórmula:
790 – 1000 =
100
- 210 = -2.10
100
El signo negativo en 2.10 indica que el área
está a Ia izquierda de Ia media.
-2.10
900
1,000
1,100
El área bajo Ia curva normal entre u y X que
corresponde a un valor z de -2.10 es:
(apéndice D).
.4821
.4821
|
|
|
-2.10
900
1,000
1,100
2.¿CuáI es Ia probabilidad de que eI ingreso
sea menos de 790 dólares?
0.5
0.5
La media divide Ia curva normal en dos
mitades idénticas. El área bajo Ia mitad a Ia
izquierda de Ia media es 0.5 y eI área a Ia
derecha de Ia media es tambien 0.5.
Por tanto,
0.5000 - 0.4821 = 0.0179
.4821
|
.0179 ||
||
|
-2.10
900
1,000
1,100
(página 202)
Auto evaluación 6-2
Ejercicios
5 a) b) c)
7 a) b) c)
Continuemos…
Una segunda aplicación de Ia distribución
normal estándar es:

combinar dos áreas:
- una a Ia derecha
- y Ia otra a Ia izquierda de Ia media.
Regresemos a Ia distribución de
ingresos semanales
(u = $1,000 ơ = $100)
¿CuáI es el área bajo Ia curva normal entre
$ 840 y $1,200?
Es necesario dividir Ia pregunta en dos partes.
Para el área entre $840 y Ia media de $1,000:
840 -1000 = -160 = 1.60
100
100
Para el área entre $1,200 y Ia media de $1,000:
1,200 -1000 = 200 = 2.00
100
100
(apéndice D).
El área bajo la curva para un valor z de -1.60
es: 0.4452.
El área bajo Ia curva para un valor z de 2.00
es 0.4772.
Sumando las dos áreas:
0.4452+ 0.4772 = 0.9224
Así, Ia probabilidad de seleccionar un
ingreso entre $840 y $1,200 es 0.9224.
En otras palabras, 92.24 por ciento de los
gerentes tienen ingresos semanales entre
$840 y $1,200.
| 0.4452.
|
|
|
840
0.4772.
1,000
|
|
|
1,200
Continuemos…
Otra aplicación de Ia distribución normal
estándar esi:

encontrar el área mayor o menor de
un valor específico.
Continuemos con Ia distribución de
ingresos semanales
(u = $1 000, ơ = $100)
¿qué porcentaje de los ejecutivos recibe
ingresos semanales de $1,245 o más?
Para el área entre $1,245 y Ia media de $1,000:
1,245 -1000 = 245 = 2.45
100
100
(apéndice D).
El área bajo Ia curva para un valor z de 2.45
es 0.4929.
Restando: 05000 - 0.4929 = 0.0071
Sólo el .71 por ciento de los gerentes tienen
ingresos semanales de $1,245 o más.
0.4929
840
1,000
| 0.0071
|
|
1,245
Continuemos…
Otra aplicación de Ia distribución normal
estándar es:
 determinar el área entre dos valores
en el mismo lado de la media.
Sigamos con Ia distribución de
ingresos semanales
(u = $1 000, ơ = $100)
¿CuáI es el área bajo Ia curva normal entre
$ 1,150 y $1,250?
Es necesario dividir Ia pregunta en dos partes.
Para el área entre $1,250 y Ia media de $1,000:
1,250 -1000 = 250 = 2.50
100
100
Para el área entre $1,150 y Ia media de $1,000:
1,150 -1000 = 150 = 1.50
100
100
(apéndice D).
El área bajo la curva para un valor z de 2.50
es: 0.4938.
El área bajo Ia curva para un valor z de 1.50
es 0.4332.
Restando las dos áreas:
0.4938 - 0.4332 = 0.0606
Así, Ia probabilidad de seleccionar un
ingreso entre $1,150 y $1,250 es 0.0606.
En otras palabras, 6.06 por ciento de los
gerentes tienen ingresos semanales entre
$1,150 y $1,250.
|
|
|0.0606.|
|
|
1,000
1,150
1,250
Para resumir, existen cuatro situaciones en
las que pudiera ser posible encontrar el área
bajo Ia distribución normal estándar.
1. Para encontrar el área entre u y z,
entonces es posible buscar directamente el
valor en Ia tabla.
2. Para encontrar el área más alIá (mayor o
menor) de z, entonces localice Ia
probabilidad de z en Ia tabla y reste ese
valor de 0.5000.
3. Para encontrar eI área entre dos puntos a
diferentes lados de Ia media, determine los
valores z y sume las áreas
correspondientes.
4. Para encontrar el área entre dos puntos
en el mismo lado de Ia media, determine los
valores z y reste el área menor de Ia mayor.
(página 205)
Auto evaluación 6-3
(página 208)
Ejercicio 9 a) b) c)
Una última aplicación de Ia distribución normal
supone encontrar el valor de Ia observación X
cuando se conoce eI porcentaje por encima o
por debajo de Ia observación.
Ejemplo:
Un fabricante de goma de auto desea establecer una
garantía de millaje mínimo para su nueva goma
MX100. Las pruebas revelan que el millaje promedio
es de 47,900 millas, con una desviación estandar de
2,050 millas y una distribución normal.
El fabricante quiere establecer el millaje mínimo
garantizado de modo que no se deba reemplazar
más del 4 por ciento de las gomas.
¿Qué millaje minimo garantizado deberá anunciar el
fabricante?
Utilizando Ia fórmula, X representa el millaje
mínimo garantizado
Z = X – 47900
2050
Existen dos incógnitas, z y X.
Para encontrar z, observemos que el área
bajo Ia curva normal a Ia izquierda de u es
0.5000.
El area entre u y X es 0.4600,
que se encuentra restando 0.5000 - 0.0400.
0.4600
|
4%
0.04 |
|
|
X
47,900
(apéndice D).
El área más cercana a 0.4600 es: 0.4599.
Muévete a los márgenes de este valor y lee
el valor z. El valor es: 1.75.
Debido a que el valor se encuentra a Ia
izquierda de Ia media, en realidad es
-1.75.
Sabiendo que Ia distancia entre u y X es
-1.75 ơ, ahora es posible determinar X (el
millaje minimo garantizado):
-1.75 =
X – 47900
2050
-1.75 (2050) = X – 47900
X = 47900 – 1.75 (2050) = 44312
Conclusión:
El fabricante puede anunciar que
reemplazará en forma gratuita cualquier
goma que se desgaste antes de recorrer
44,312 millas y Ia empresa sabe que, bajo
este plan, debe reemplazar sólo el 4 por
ciento de las gomas.
(página 206)
Auto evaluación 6-4
(página 208)
Ejercicio 9 d)
10 al 13
Otra aplicación de Ia distribución
normal consiste en comparar dos o
más observaciones que están en
distintas escalas o unidades.
Es decir, ambas observaciones se
encuentran en distribuciones distintas.
Ejemplo:
Un estudio de los internos en una
institución correccional evalúa Ia
responsabilidad social de los internos
de Ia prisión y de sus perspectivas de
rehabilitación cuando se les Iibere.
Para medir su responsabilidad social,
se administró a cada interno una
prueba
Las puntuaciones tienen una
distribución normal, con una media de
100 y una desviación estándar de 20.
Los psicólogos de Ia prisión calificaron
a cada interno respecto de las
perspectivas de rehabilitación.
Las calificaciones tienen tambien una
distribución normal, con una media de
500 y una desviación estándar de 100.
La calificación de Tora Carney en Ia
prueba de responsabilidad social fue
146, y en rehabilitación obtuvo una
puntuación de 335.
¿Cómo se compara Tora con otros
miembros del grupo en cuanto a
responsabilidad social y a Ia
perspectiva de rehabilitación?
Pasos a seguir:
Convertimos Ia puntuación de Ia
prueba de responsabilidad social, 146,
a un valor z utilizando Ia fórmula:
Z = 146 – 100
20
Z = 2.30
Pasos a seguir:
Convertimos Ia puntuación de Ia
prueba de rehabilitaciónl, 335, a un
valor z utilizando Ia fórmula:
Z = 335 – 500
100
Z = - 1.65
Conclusión:
Por lo tanto, en lo referente a
responsabilidad social, Tora Carney se
encuentra en el 1 por ciento más alto del
grupo.
Sin embargo, al compararla con otras
internas, Tora se encuentra entre eI 5 por
ciento más bajo en cuanto a las
perspectivas de rehabilitación.
| 0.4505
0.0495 |
|
|
-1.65
0.4893
| 0.0107
|
|
2.30
(página 207)
Auto evaluación 6- 5
La aproximación de la distribución normal
a la binomial
En el capítulo 5 estudiamos Ia distribución de
probabilidad binomial, que es una distribución
discreta.
El cuadro de probabilidades binomiales en eI
apéndice A pasa sucesivamente de un n de 1
a uno de 20, y luego a n = 25.
La aproximación de la distribución normal
a la binomial
Si tuvieramos una muestra de 60, calcular
una distribución binomial para un número tan
grande tomaría mucho tiempo.
Un enfoque más eficiente consiste en aplicar
Ia aproximación de Ia distribución normal a Ia
binomial.
La aproximación de la distribución normal
a la binomial
El uso de Ia distribución normal (que es
contínua) como sustituto de una distribución
binomial (que es discreta) para valores de n
parece razonable porque, a medida que n
aumenta, Ia distribución binomial se acerca
cada vez más a Ia distribución normal.
Ejemplo:
La administración del restaurante Santoni
Pizza descubrió que el 70 por ciento de sus
clientes nuevos regresan para comer allí de
nuevo.
Para una semana en Ia que 80 clientes
nuevos (por primera vez) cenaron en
Santoni, ¿cuál es Ia probabilidad de que 60
o más regresen aIIí a comer otra vez?
Antes de aplicar Ia aproximación normal, es
preciso cerciorarse de que Ia distribución que
vamos a trabajar es realmente una
distribución binomial.
Es preciso verificar los siguientes cuatro criterios:
1.Un experimento sólo puede tener dos
resultados mutuamente excluyentes: un “éxito”
y un “fracaso.
2.La distribución es consecuencia de contar eI
número de éxitos en un número fijo de
ensayos.
3.Cada ensayo es independiente.
4.La probabilidad, p, permanece igual de un
ensayo al siguiente.
Observe que se cumplen las condiciones binomiales:
1)Sólo hay dos resultadosposibles: un cliente regresa o
no regresa.
2)Es posible contar eI número de éxitos, lo que significa,
por ejemplo, que 57 de los 80 clientes regresarán.
3)Los ensayos son independientes, es decir, si Ia
persona número 34 regresa para cenar en otra
ocasión, no influye en que Ia persona número 58
regrese.
4)La probabilidad de que un cliente regrese permanece
en un 0.70 para los 80 clientes.
Debido a que se usará Ia curva normal para
determinar Ia probabilidad binomial de 60 o
más éxitos, es preciso restar, en este caso, 0.5
de 60.
El valor 0.5 se conoce como factor de
corrección de continuidad.
Este pequeño ajuste es necesario porque se
utiliza una distribución contínua (Ia distribución
normal) para aproximar a una discreta (Ia
binomial).
Al restar 60—0.5 = 59.5.
Cómo aplicar el factor de corrección
Sólo pueden surgir cuatro casos. Estos son:
1.Para Ia probabilidad de que aI menos X ocurra,
≥X
utilice (X - 0.5).
2.Para Ia probabilidad de que ocurra más que X,
utilice (X + 0.5).
>X
3.Para Ia probabilidad de que ocurra X o menos,
utilice (X + 0.5).
≤X
4.Para Ia probabilidad de que ocurra menos de X,
<X
utilice (X- 0.5).
Para utilizar Ia distribución normal para
aproximar Ia probabilidad de que 60 ó mas de
los 80 clientes que fueron por primera vez a
Santoni regresen, realizaremos lo siguientes
pasos.
Paso 1.
Encuentre Ia media y Ia varianza de una
distribución binomial y el valor z
correspondiente a una X de 59.5 usando Ias
siguientes fórmuIas:
u = np = 80(.70) = 56
Ơ 2 = np(1-p) = 80(.70)(1-.70) = 16.8
Ơ = raíz cuadrada de 16.8 = 4.10
Z =
59.5 – 56 = 85
4.10
Paso 2.
Determine el área bajo Ia curva normal entre un u
de 56 y un X de 59.5.
Con base en el paso 1, se sabe que eI valor z
correspondiente a 59.5 es 0.85.
Así, se consulta el apéndice D y se baja por el
margen izquierdo hasta 0.8, y luego se lee
horizontalmente el área bajo Ia columna
encabezada por 0.05.
Esa área es 0.3023.
Paso 3.
Calcular eI área máyor de 59.5 restando 0.3023 de
0.5000 (0.5000 -0.3023 = 0.1977).
Así, 0.1977 es Ia probabilidad aproximada de que
60 o más de los clientes que fueron a Santoni por
primera vez regresen.
(página 212)
Auto evaluación 6- 6
(página 212)
Ejercicios 15 y 16
(página 214)
Ejercicio 21
(página 215)
Ejercicio 33
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