FLUJO DE CARGAS
•
METODO DE NEWTON RAPHSON PARA RESOLVER
ECUACIONES NO LINEALES
•
ECUACIONES DEL FLUJO DE CARGAS
•
METODOS DE RESOLUCION
Solución de Ecuaciones Algebraicas No-Lineales - Método de Newton-Raphson
Ecuaciónunidimensional:
f ( x)  c
Si x (0) es la estimacióninicial,y x (0) es la pequeñadesviaciónde la solucióncorrecta,tenemos:
f (x (0)  x (0) )  c
Expandiendo el términode la izquierdaen serie de Taylor :
1 d2 f
 df 
f (x )    x (0)   2
2!  dx
 dx 
( 0)
(0)
( 0)

 (x (0) ) 2  ...  c

Asumiendoque el error x (0) es muy pequeño,los terminosde ordenalto
puedenser despreciados resultando:
( 0)
c
(0)
 df 
   x (0), siendo c (0)  c  f (x (0) ) el residuo.
 dx 
Sumandox (0) a la estimacióninicial obtenemosuna nuevaaproximación :
x (1)  x ( 0) 
c(0)
 df 
 
 dx 
( 0)
Repitiendoel procedimiento (algoritmode Newton- Raphson):
 df 
DefiniendoJ    :
 dx 
c (k )  c  f (x (k ))
Interpretación gráfica (caso c=0):

c (k )
J (k )

x (k ) 
x (k1)  x (k )  x (k )
J(0)

Si x
(k )

J(1)
f(x)=0
x(1)
c(1)
x(0)
c(0)
Considerando ahora n ecuacionescon n variables:
f1 ( x1  x1 , x2  x2 ,...,xn  xn )  c1
( 0)
( 0)
( 0)
( 0)
( 0)
( 0)
f 2 ( x1  x1 , x2  x2 ,...,xn  xn )  c2
...................................................
( 0)
( 0)
( 0)
( 0)
( 0)
( 0)
f n ( x1  x1 , x2  x2 ,...,xn  xn )  cn
( 0)
( 0)
( 0)
( 0)
( 0)
( 0)
Expandiendo el terminode la izquierdaen series de Taylor,
despreciando los terminosde mayororden:
 f  ( 0)
 f  ( 0)  f  ( 0)
( f1 )( 0)   1 x1   1 x2  ...   1 xn  c1
 x1 
 x2 
 xn 
 f  ( 0)
 f  ( 0)  f  ( 0)
( f 2 )( 0)   2 x1   2 x2  ...   2 xn  c2
 x1 
 x2 
 xn 
............................................................
 f  ( 0)
 f  ( 0)  f  ( 0)
( f n )( 0)   n x1   n x2  ...   n xn  cn
 x1 
 x2 
 xn 
o en la formamatricial:
 c1  ( f1 )( 0)   f1 

  x 

  1 
( 0)
 c2  ( f 2 )   f 2 

  x 

   1 
.

  .

  .
.


( 0) 
cn  ( f n )   f n 

  x 
 1 
en formacompacta:
 f1 


 x2 
 f 2 


 x2 
.
.
 f n 



x
 2
.
.
.
.
 f   x ( 0) 
.  1   1 
 xn  

 f 2  x2( 0) 
 
. 

 xn  

.  . 


.
.  . 
 f n  xn( 0) 
 
. 


x
 n  

C   J X , se denominaa J : matriz Jacobiana.
(0)
( 0)
( 0)
Quedando entonces el algoritmo de Newton-Raphson:
Se estimanlos valoresiniciales x1( 0) , x2( 0) ,...,xn( 0)
C 
(k )
 c1  ( f1 )( k ) 




 c2  ( f 2 )( k ) 




.




.

(k ) 
cn  ( f n ) 



 
Se calculala Jacobiana J ( k )

X   J  C  *
(k )
( k ) 1
(k )

X   X  X 
( k 1)
(k )
(k )

Si algún elementode X(k ) es mayorque 
*
El problema se reduce entonces a resolver un sistema de ecuaciones lineales.
.
Solución de Flujo de Carga con Newton-Raphson
Vi
yi1
yi2
.
.
.
Ii
I i  yi 0Vi  yi 1 (Vi  V1 )  yi 2 (Vi  V2 )  ...  yin (Vi  Vn )
 ( yi 0  yi 1  yi 2  ...  yin )Vi  yi 1V1  yi 2V2  ...  yinVn
o
V1
V2
yin
n
n
j 0
j 1
I i  Vi  yij   yijV j
Vn
ji
Definiendola matriz admitanciaYbu s de la siguienteforma:
elementosde la diagonalYi i   yij
yi0
elementosfuera de la diagonalYi j   yij
n
Llegamosa : I i  YijV j
j 1
Expresandoesta ecuaciónen formapolartenemos:
n
I i  | Yij || V j | ( ij   j )
j 1
La potenciacomplejaen la barra i es :
Pi  jQi  Vi* I i
Sustituyendo la corrienteen la expresiónde la potencia:
n
Pi  jQi | Vi | ( i )| Yij || V j | ( ij   j )
j 1
Separandoen partes real e imaginaria:
n
Pi  | Vi || V j || Yij | cos( ij   i   j )
j 1
n
Qi  | Vi || V j || Yij | sin( ij   i   j )
j 1
4 magnitudes están asociadas a cada barra
|V|, módulo de la tensión
, ángulo de fase
P, potencia activa
Q, potencia reactiva
Las barras son clasificadas generalmente en tres tipos:
• Barra Slack – Barra de generación que “cierra” el balance de potencia activa.Se especifican |V| y
 (referencia de angulos) .No aporta ecuaciones al algoritmo:una vez calculados los |V| y  en el resto
de las barras, se calcula Pslack y Qslack :
n
Pslack  | Vi || V j || Yij | cos( ij   i   j )
j 1
n
Qslack  | Vi || V j || Yij | sin( ij   i   j )
j 1
• Barra de carga - o barra PQ, se especifica la potencia activa y reactiva, el módulo y la fase de las
tensiones son desconocidas, y se calculan resolviendo el siguiente set de ecuaciones
no lineales:
n
Pi  | Vi || V j || Yij | cos( ij   i   j )
j 1
n
Qi  | Vi || V j || Yij | sin( ij   i   j )
j 1
• Barra de generación- o barra PV (barras de tensión controlada), se especifican el módulo de la
tensión y la potencia activa, debiendose determinar la fase de la tensión y
la potencia reactiva.Los límites de la potencia reactiva son también
especificados. Se aplica entonces una única ecuación por barra para el
cálculo de la fase de la tensión:
n
Pi  | Vi || V j || Yij | cos( ij   i   j )
j 1
Una vez calculadas todas los módulos y fases de las tensiones de todas las
barras (obtenida la convergencia en el algoritmo Newton-Raphson), se calcula
Q en las barras PV:
n
Qi  | Vi || V j || Yij | sin( ij   i   j )
j 1
Si se viola el límite inferior o superior en alguna/s barras se puede
tomar alguna de las siguientes acciones correctivas:
1 - fijar Q=Qlim y liberar la tensión (transformarla en una
barra PQ) para volver a entrar en el algoritmo N-R.
2 - aumentar (o disminuir) un escalón porcentual razonable el
módulo de la tensión para volver a entrar en el algoritmo N-R.
Tenemos entonces dos ecuaciones por cada barra PQ y una por cada barra PV, suponiendo que:
Barra 1 - barra Slack
Barra 2 a m - barras PQ
Barras m+1 a n - barras PV
Expandiendo en series de Taylor haciendo estimaciones iniciales para |V| y  y despreciando los
términos de orden elevado, se llega al siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 P2( k )   P2( k )

  

  2
.

  .
 .   .
 (k )   (k )
 Pn   Pn

   2
Q( k )    Q( k )
 2   2

   2
 .   .

 
 . (k )   .
Qm   Qm( k )

 

   2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
P2( k )
 n
.
.
Pn( k )
 n
Q2( k )
 n
.
.
Qm( k )
 n
P2( k )
 | V2 |
.
.
Pn( k )
 | V2 |
Q2( k )
 | V2 |
.
.
Qm( k )
 | V2 |
.
P2( k )    2( k ) 

 | Vm |  

.  . 
.  . 


Pn( k )    n( k ) 

 | Vm |  
(k )  
(k ) 
Q2   | V2 |
 | Vm |  

.  . 


.  . 
(k )
Qm( k )   | Vm |


 | Vm |  

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
 P   J1 J 2    
Q  J J   | V |
   3

4 
En forma abreviada:
El procedimiento para solucionar un flujo de carga con el método de Newton-Raphson es el que sigue:
Para las barras PQ
Para las barras PV
Especifica Pi y Qi
Para la barra Slack:
Estima |Vi(0)| y (0) (igual a la slack)
Se especifica V y 
Especifica Pi , |Vi| y los limites max y min de Qi
Estima (0) (igual a la slack)
Usando los valores
especificados y estimados
se calcula el vector:
 P2( k ) 


 . 
 . 
 (k ) 
 Pn 
Q( k ) 
 2 
 . 
 . 


Qm( k ) 
Para las barras PQ :
n
Pi( k )  Pesp.i  | Vi |( k ) | V j |( k ) | Yij | cos( ij   ( k ) i   ( k ) j )
j 1
Qi
(k )
n
 Qesp.i  | Vi |( k ) | V j |( k ) | Yij | sin( ij   ( k ) i   ( k ) j )
j 1
y para las barras PV :
n
Pi( k )  Pesp.i  | Vi |( k ) | V j |( k ) | Yij | cos( ij   ( k ) i   ( k ) j )
j 1
Se calculan los elementos de la matriz jacobiana J1, J2, J3 y J4.
    J
1
Se resuelve: 
  J

|
V
|

  3
Se actualizan los |Vi| y i :
J 2   P 
\
J 4  Q
 i( k 1)   i( k )   i( k )
| Vi( k 1) || Vi( k ) |  | Vi( k ) |
Actualizoel vectorde los P y Q :
Para las barras PQ :
n
Pi( k 1)  Pi  | Vi |( k 1) | V j |( k 1) | Yij | cos( ij   ( k 1) i   ( k 1) j )
Qi
j 1
( k 1)
Mientras halla algún:
|Pi(k+1) |> o algún
|Qi(k+1)|>
n
 Qi  | Vi |( k 1) | V j |( k 1) | Yij | sin( ij   ( k 1) i   ( k 1) j )
j 1
y para las barras PV :
n
Pi( k 1)  Pi  | Vi |( k 1) | V j |( k 1) | Yij | cos( ij   ( k 1) i   ( k 1) j )
j 1
convergió
Calculo la potencia reactiva en todas las barras PV:
n
Qi  | Vi || V j || Yij | sin( ij   i   j )
j 1
para i de m  1 a n (barras PV)
n
Pslack  | Vslack || V j || Yij | cos( ij   slack   j )
j 1
n
Qslack  | Vslack || V j || Yij | sin( ij   slack   j )
j 1
Si se violó al menos un límite tomo acción
correctiva y vuelvo al algortimo
Descargar

Método de Newton-Raphson Interpretación gráfica (caso c=0)