Capítulo 3
Sesión 16
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#1
INGENIERÍA DE CONTROL
CAPÍTULO 3
Respuesta en el Tiempo de Sistemas de
Control Automático Continuo Lineal
Sesión 16
Objetivo: El objetivo de este apartado es dotar a los alumnos de los
conocimientos y de las habilidades necesarias para que adquieran la
Competencia de construir gráficas de respuesta en el tiempo con
ayuda de una calculadora programable y de una computadora
utilizando el MS Excel, el MatLab y el Program CC. Todo esto a
través de utilizar las técnicas básicas de transformada de Laplace
para solución de ecuaciones diferenciales representadas por
funciones de transferencia para obtener de una manera
generalizada el comportamiento en el tiempo de sistemas de control
automático analógico continuo lineal.
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Capítulo 3
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#2
Respuesta en el Tiempo
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Capítulo 3
Sesión 16
#3
Respuesta en el Tiempo
La respuesta de un sistema de control o de un elemento del sistema,
está formada de dos partes:
- La respuesta transitoria: es la parte de la respuesta de un sistema
que se presenta cuando hay un cambio en la entrada y desaparece
después de un breve intervalo.
- La respuesta en estado estable o estacionario: es la respuesta que
permanece después de que desaparecen todos los transitorios.
Régimen permanente.
c(t)=ct(t)+css(t)
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#4
Para estudiar la respuesta en el tiempo de un sistema, éste se excita con señales de entrada típicas.
Señales de prueba típicas: Las señales de prueba que se usan regularmente son funciones escalón,
rampa, parábola, impulso, senoidales, etc. Con estas señales de prueba, es posible realizar con facilidad
análisis matemáticos y experimentales de sistemas de control, dado que las señales son funciones del
timepo muy simples.
r(t)
r(t)
r(t)
R1u-1(t)
Escalón t

1 t≥0
r(t)=
0 t<0
r(t)=R1u-1(t)
R(s)=R1U-1(s)=R1/s
Ingeniería de Control

Rampa
t
t t≥0
Aceleración t

t2/2 t ≥ 0
r(t)=
r(t)=
0 t≤0
r(t)=R2u-2(t)
R(s)=R2U-2(s)=R2/s2
0 t≤0
r(t)=R3u-3(t)
R(s)=R3U-3(s)=R3/s3
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#5
Para estudiar el transitorio en los sistemas, se clasifican de acuerdo al
orden de la ecuación diferencial que los describe:
1) Sistemas de 1er. Orden:
1er. Orden
dy
 4 y  35 x
C (s)

dt

R (s)
4
s2
2o. Orden
2) Sistemas de 2o. Orden:
2
d y
dt
2
3
dy
 5 y  10 x
dt

C (s)

R (s)
4
s  2s  2
2
3) Sistemas de 3er. Orden:
3
3
d y
dt
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3
2
8
d y
dt
2
 24
dy
 62 y  39 x
dt
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#6
La respuesta transitoria está caracterizada por el orden
del sistema no por su naturaleza. Esto es, los sistemas
de 1er. Orden, por ejemplo, tendrán una respuesta
característica independientemente que sean eléctricos,
mecánicos o térmicos.
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#7
F.T. de un Sistema de Primer Orden:
Y (s)
K
B

X (s)
s K
C (s)
1

R (s)
B
Para Sistema Mecánico

s 1

Para cualquier

1
 s 1
Sistema
El patrón de referencia en el sistema mecánico sólo tiene elementos
pasivos, por eso su ganancia es 1 necesariamente. Pero en general
el sistema de primer orden puede tener una ganancia distinta a 1.
C (s)
R (s)
KG


s 1
Forma general


KG
 s 1
para describir
los Sistemas de 1er . Orden
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C (s)
R (s)
 s 1 0

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#8
KG
 s 1


 s  1
s
1

• Un sistema de 1er. Orden tiene entonces un polo en: -1/
• Y un cero puede estar en el infinito, como en éste caso o
puede ser finito en algún otro caso.
• En toda F.T. en # de ceros (finitos o infinitos) es igual al #
de polos. Nótese que los polos son las raíces del
denominador de la F.T., mientras que los ceros finitos son
las raíces del numerador de la F.T.
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#9
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cte
F .T .  GH ( s ) 
s=0
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#10
s = -5
8 K ( s  5)
s ( s  1)( s  2 )
s = -1


cero finito en  5
polo en el origen , polo en  1 y polo en  2
s = -2
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#11
Características de la Respuesta Transitoria de los
Sistemas de Primer Orden
1. No presenta oscilaciones ni sobrepasos.
2. Tiene una duración de 5, en donde  = cte. de tiempo.
Las posibles F.T.´s para los Sistemas de 1er. Orden:
KG
 s 1
Polo en :
Ingeniería de Control
KG s
;
 s 1

1

;
K G  s  1 
 s 1
 

Cero en :  0
 1


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#12
Ejemplo: Para el siguiente circuito RC
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#13
Respuesta Transitoria para un Sistema de Primer Orden
C (s)
R (s)

1
s  1
Sí R(s)=R/s entonces c(t) es:
 
1
1 

c (t )  R   
  s  s  1
 





que expandiendo en fracciones parciales queda:
 1  1
1 
c (t )  R    

  s s  1 
antitransformando en Laplace nos queda:
t

c ( t )  R  1  e  


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#14
Respuesta Transitoria para un Sistema de Primer Orden
Respuesta al Escalon de un Sistema de Primer Orden
1
Si en la Ecuación
substituimos t = τ nos
queda c(t) = 0.6321*R lo
cual podemos visualizar
en la gráfica donde
cuando R = 1, t = τ = 1;
R = 1, t = τ = 5; R = 1, t =
τ = 10.
Salida c(t)
0.8
.
0.6321
0.6
.
.
0.4
0.2
t=1
t=5
t = 10
0
0
1
2
4
5
6
8
10
12
14
16
18
20
Tiempo (sec)
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#15
Respuesta Transitoria para un Sistema de Segundo Orden
Parámetros de los Sistemas de 2º. Orden:
wn =
Frecuencia natural
d =
Razón de amortiguamiento
KG =
Cte. de ganancia
Clasificación de los Sistema de Segundo Orden según el valor de
la razón de amortiguamiento (d)
1 d  0
Sistema Oscilatorio Puro o Sin Amortiguamiento
2 0 < d < 1
Sistema Subamortiguado
3 d  1
Sistema Críticamente amortiguado
4 d > 1
Sistema Sobreamortiguado
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#16
Respuesta Transitoria para un Sistema de Segundo Orden,
Caso Subamortiguado: 0 < d < 1
1.00
0.6321
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#17
#5
Respuesta Transitoria para un Sistema de Segundo Orden Subamortiguado
C (s)

K Gw n
2
R ( s ) s  2d w n s 
2
wn
2
Sí R(s)=1/s entonces c(t) es:
2


K wn
1
C ( t )  

2
2
s ( s  2 d w n s w n )


G
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Sesión 16
#18
Respuesta Transitoria para un Sistema de Segundo Orden Subamortiguado
Buscando en una tabla la
antitransformada nos queda:
c(t )  1 
1
1d
e
2
d wn t

1 
  tan


Ingeniería de Control
1d
d

d w t
n
e


2
sen  w
1  d t   
n
2


1d
c (t )  1 
Donde:
sen  w t  
2

  cos


1
d
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#19
Respuesta Transitoria para un Sistema de Segundo Orden Subamortiguado
Con la envolvente de la senoidal es:
t 


d w n t
 
1 e
 1  e






Entonces se puede obtener Tr y
Ts como sigue:
Tr 
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Ts 
A
dwn
 3 para  5%

donde A   4 para  2 %
 5 para <  1 %

1
d wn
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Sesión 16
#20
Respuesta Transitoria para un Sistema de Segundo Orden Subamortiguado
Tiempo t
(1-e-δωnt)
100 1-e-δωnt
τ = 1/δωn
0.6321
36.78%
2τ = 2/δωn
0.8646
13.53%
3τ = 3/δωn
0.9502
4.97%
4τ = 4/δωn
0.9816
1.83%
5τ = 5/δωn
0.9932
0.673%
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#21
Respuesta Transitoria para un Sistema de Segundo Orden Subamortiguado
Para obtener el tiempo de subida Tp se
considera que C(t) tiene como valor 1
Como el Sen  = 0 entonces:
c(t )  1 
e
d w
n
1d
t

sen w n 1  d
2
2
t
1
Entonces:
e
d w
n
1d
n
1d
t 
De donde Tp es:
t

sen w n 1  d
2

sen  w n
w
2
1d
Ingeniería de Control
2
2
t
 0
Tp 
 
wn
1d
2

t     0
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#22
Respuesta Transitoria para un Sistema de Segundo Orden Subamortiguado
Para obtener Ta se deriva c(t) y se iguala a cero:
d w t
n
e
c (t )  1 
1d
dc ( t )
dt
dc t 
dt
w
n
 
d wn e
2
sen w n 1  d t   


2
d wn t
1d
2
sen w t  

e
d wn t
1d
2 

  sin  w n 1  d t   0


1 d
2
Ingeniería de Control
t  k
k
 1, 2 , 3, ...
2
t
wn
max
1d

min
Ta 
2
cos w t  

k
wn 1 d
2

wn 1  d
2
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Sesión 16
#23
Respuesta Transitoria para un Sistema de Segundo Orden Subamortiguado
Para obtener el % de Sobrepaso se substituye Ta en c(t):
c (t )  1 
d w t
n
e
1d
max
c ( t ) min  1 
max


d
w



 n
2 

w 1 d 
n

e 
c ( t ) min  1 
Ingeniería de Control
2
sen w n 1  d t   


2
1d
2
2


w
1

d

 n

sen



2
w
1

d
n




d




2 
1 d 
e 
1d
2
sen  n  

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Capítulo 3
Sesión 16
#24
Respuesta Transitoria para un Sistema de Segundo Orden Subamortiguado
max
c ( t ) min
Sobrepaso

d


n
 1   1 e 
Máximo


d




2 
1

d

= C  t max.  1  e 
% de Sobrepaso
Ingeniería de Control


2 
1 d 


d




2 
1

d

= 100 e 
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Capítulo 3
Sesión 16
#25
Respuesta Transitoria para un Sistema de Segundo Orden Subamortiguado
Localización de los valores de los máximos y mínimos en la grafica de c(t)
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AgoDic 2012 - Cap 3 RespTiempo_1y2_orden