Capítulo 2
Sesión 6
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#1
INGENIERÍA DE CONTROL
CAPÍTULO 2
MODELACIÓN MATEMÁTICA
Sesión 6
Objetivo: El objetivo de este apartado es dotar a los alumnos de
los conocimientos y de las habilidades necesarias para la
representación
matemática
del
comportamiento
de
componentes de sistemas de control analógico lineal y sistemas
completos, para que adquiera la Competencia de Modelación
Matemática y algunas representaciones gráficas.
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#2
Ejemplo de construcción del
Diagrama o Gráfica de Flujo de Señal
Construya un diagrama de flujo de señal para el circuito eléctrico
dado en la siguiente Figura:
Del circuito eléctrico de la
Figura se pueden deducir las
Ecuaciones
v1  R 1 i1  v 2
v 2  R 3 ( i1  i 2 )
v 2  R 2 i2  v 3
v 3  R 4 i2
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#3
Haciendo el análisis por corrientes, tenemos las ecuaciones:
v1  R 1 i1  v 2
 1 
 1 
 v1  
v 2
i1  



R
R
 1
 1
v 2  R 3 ( i1  i 2 )
v 2  R 3 i1  R 3 i 2
v 2  R 2 i2  v 3
 1 
 1 
v 2  
v3
i 2  



R
R
 2 
 2 
v 3  R 4 i2
v 3  R 4 i2
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#4
Gráficas de Flujo de Señales individuales:
 1 
 1 
 v1  
v2
i1  



R
R
 1
 1
v 2  R 3 i1  R 3 i 2
 1 
 1 
v 2  
v3
i 2  



R
R
 2 
 2 
v 3  R 4 i2
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#5
Construyendo la Gráfica de Flujo de Señal completa:
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#6
Construcción del Diagrama o Gráfica de Flujo de Señal para ecuaciones
simultáneas.
x 2  A 21 x 1  A 23 x 3
Ecuación 2.-
x 3  A 31 x 1  A 32 x 2  A 33 x 3
x 4  A 42 x 2  A 43 x 3
Gráficas de Flujo de Señal
individuales:
Ecuación 1.-
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Ecuación 3.-
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#7
Construyendo el Diagrama o Gráfica de Flujo de Señal completo:
A 42
x1
A 21
x2
A 31
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A 32
A 23
A 33
x3
A 43
x4
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#8
Otra forma de construcción del Diagrama o Gráfica de Flujo de Señal
para ecuaciones simultáneas.
En la Figura tenemos el mismo Diagrama de Flujo de Señal de la Figura anterior
pero reacomodado para mejorar la comprensión del mismo.
x2
A 21
x 2  A 21 x 1  A 23 x 3
x 3  A 31 x 1  A 32 x 2  A 33 x 3
x 4  A 42 x 2  A 43 x 3
x1
A 42
A 32
x4
A 23
A 43
A 31
x3
A 33
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#9
Utilizar la Fórmula de Mason para obtener la F.T. del
circuito eléctrico resistivo anterior.
En la Figura se muestra el Diagrama de Flujo de Señal del circuito eléctrico del
Ejemplo anterior, apliquemos la Fórmula de Mason a este diagrama de flujo
de señal y determinemos la ganancia (F.T.) .
v1
1 /R 1
i1
R3
- 1/R 1
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v2
1 /R 2
- R3
i2
R4
v3
1
v3
- 1/R 2
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#10
1.- Trayecto(s) Directo(s) y sus ganancias: Hay una sola trayectoria directa, en el
diagrama de la Figura, de la cual su ganancia se muestra enseguida:
v1
1 /R 1
PK 1
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i1
R3
v2
1 /R 2
i2
R4
v3
1
v3
 1 
 1 
R3 R 4




 R 3    R 4  
 v 1i 1 v 2 i 2 v 3  

R1 R 2
 R1 
 R2 
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#11
2.- Lazos distintos y sus ganancias: En el diagrama hay tres lazos que se
muestran en la Figura siguiente y que tienen como ganancia la
representada por las Ecuaciones
i1
R3
- 1/R 1
v2
v2
1 /R 2
i2
- R3
i2
R4
v3
- 1/R 2
 1 
R
   3
L 1  i 1v 2 i 1   R 3  
R1
 R1 
 1 
R
   R 3    3
L 2  v 2 i 2 v 2  
R2
 R2 
 1 
R4

L 3  i 2 v 3 i 2   R 4  

R2
 R2 
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#12
3.- Lazos disjuntos: Como los lazos 1 y 3 no se tocan entonces tenemos:
L1
y
L3
4.- Determinante del Gráfico: Como no hay tres lazos que no se
toquen entonces tenemos el  como:
 R3
R3
R4 

 
  1  L 1  L 2  L 3   L 1 * L 3   1   


R2
R2 
 R1
  1
R3
R1
 

R3
R2

R4

R2
R3 R 4

 R3  R 4 
 
  

 R1   R 2 
R1 R 2  R 3 R 2  R 3 R1  R 4 R1  R 3 R 4
R1 R 2
R1 R 2
R1 R 2  R 2 R 3  R1 R 3  R1 R 4  R 3 R 4
R1 R 2
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#13
5.- Cofactores: Ya que todos los lazos tocan a la única trayectoria
entonces tenemos:
PK
 1

 K 1  1
6.- Salida/Entrada: Finalmente tenemos la F.T. de circuito eléctrico:
v3

P K 1  K 1

v1
Haciendo
v3
v1


 R3 R4 


R R 
 1 2 
 R1 R 2  R 2 R 3  R1 R 3  R1 R 4  R 3 R 4

R1 R 2

extremos
por extremos



entre medios por medios, tenemos
:
R3 R4
R1 R 2  R 2 R 3  R1 R 3  R1 R 4  R 3 R 4
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