UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
Departamento de Fundamentos del Análisis Económico I
Soluciones de juegos:
conceptos de dominación
Rafael Salas
marzo de 2006
Soluciones de los juegos
• Se trata de predecir lo que los jugadores racionales van
a hacer, descentralizadamente:
• Proceso de optimización
• Compatibilidad entre estrategias
• SOLUCIÓN DE UN JUEGO: perfiles de estrategias
óptimos y compatibles
Tipos de soluciones
• Los basados en principios de dominación
• Los basados en conceptos de equilibrio
• Existen conexiones entre ambos tipos de solución
Principios de dominación I
• (I) Principio de dominancia estricta
• Un jugador nunca juega estrategias estrictamente dominadas
• NOTACIÓN PREVIA
• Dado un juego G={{1,...,n}; S1,...,Sn; U1,...,Un}.
• Dado un perfil de estrategias s=(s1,...,sn)  S=S1xS2x...xSn
• donde s1S1,..., snSn
• Simplificadamente denominamos s=(si,s-i)  S
• Nótese que s-i=(s1,...,si-1, si+1 ,...,sn)  S-i
Estrategias estrictamente dominadas
• DEFINICIÓN
• Dado un juego G={{1,...,n}; S1,...,Sn; U1,...,Un}.
• si es una estrategia estrictamente dominada para el jugador i si
existe otra s’i tal que
Ui(s’i,s-i) > Ui(si,s-i), s-i S-i
Es razonable que no use si, pues puede aumentar su
utilidad independientemente de lo que haga el resto
4. Dilema de los presos
JUG 2
CA
CA
JUG 1
CO
CO
2
2
4
0
0
4
1
1
En rojo, estrategias estrictamente dominadas
.
Estrategias estrictamente dominante
• DEFINICIÓN
• Dado un juego G={{1,...,n}; S1,...,Sn; U1,...,Un}.
• s’i es una estrategia estrictamente dominante para el jugador i si
Ui(s’i,s-i) > Ui(si,s-i), si  s’i Si s-i S-i
Nos da paso a una primera solución...
4. Dilema de los presos
JUG 2
CA
CA
JUG 1
CO
CO
2
2
4
0
0
4
1
1
En azul, estrategias estrictamente dominantes
.
Equilibrio en estrategias estrictamente
dominantes EEED
• SOLUCIÓN: Equilibrio en estrategias estrictamente
dominantes EEED
• (si*,s-i*) es un EEED si y sólo si
Ui(si*,s-i) > Ui(si,s-i), si  si* Si, s-i S-i, i
Es decir si y sólo si (si*,s-i*) son estrategias
estrictamente dominantes
4. Dilema de los presos
JUG 2
CA
CA
JUG 1
CO
CO
2
2
4
0
0
4
1
1
.
4bis. Oligopolio
JUG 2
A
A
B
1000 , 1000 -200 , 1200
JUG 1
B
1200 , -200
600 , 600
.
4bis. Oligopolio
JUG 2
A
A
JUG 1
B
B
1000
1000
1200
-200
-200
1200
600
600
.
Ejemplo 5: Halcón-paloma
JUG 2
H
P
2-k
H
2-k
4
JUG 1
P
0
4
0
2
2
Para k<2
.
Ejemplo 9: Empresas rivales
JUG 2
L
NL
40
L
40
100
JUG 1
NL
-50
100
-50
-50
-50
.
Propiedades del EEED
• Si existe, es único
• Puede que no exista
• Ejemplo 5 con k
2
• Ejemplo10: Jugador 1 tiene dos estrategias puras {s1, s2 } y el
jugador 2 tiene tres {t1, t2, t3}. Si U1(si, tj)= ij
y U2(si, tj)= (i-2)(j-2) Binmore, p. 131
• Si existe es muy potente, requiere muy poca
información. Por contrapartida es muy restrictivo
Principios de dominación II
• (II) Principio de dominancia débil
• Un jugador nunca juega estrategias débil dominadas
Estrategias débilmente dominadas
• DEFINICIÓN
• Dado un juego G={{1,...,n}; S1,...,Sn; U1,...,Un}.
• si es una estrategia débilmente dominada para el jugador i si
existe otra s’i tal que
Ui(s’i,s-i)  Ui(si,s-i), s-i S-i
En ese caso decimos que s’i domina débilmente a si
El jugador no usará si
Estrategias débilmente dominante
• DEFINICIÓN
• Dado un juego G={{1,...,n}; S1,...,Sn; U1,...,Un}.
• s’i es una estrategia débil dominante para el jugador i si
Ui(s’i,s-i)  Ui(si,s-i), si Si s-i S-i
Nos da paso a una nueva solución...
Equilibrio en estrategias débilmente
dominantes EEDD
• SOLUCIÓN: Equilibrio en estrategias débilmente
dominantes EEDD
• (si*,s-i*) es un EEDD si y sólo si
Ui(si*,s-i) ≥ Ui(si,s-i), si  si* Si, s-i S-i, i
Es decir si y sólo si (si*,s-i*) son estrategias débilmente
dominantes
Ejemplo
11: EEDD múltiple
JUG 2
L
R
1
L
1
0
JUG 1
R
1
0
1
0
0
.
Propiedades del EEDD
• De existir, puede ser múltiple (Ejemplo 11)
• Puede que no exista
•
•
•
•
•
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
5 con k > 2
10 ampliado a más estrategias
1 Batalla de los sexos
2 Juego de las monedas
3
• Sigue siendo muy restrictivo y por tanto impreciso (aunque menos
que EEED).
• EEED (si existe) implica EEDD (Ejemplo4, 5 k<2, 9)
• EEDD (si existe) no implica EEED (Ejemplo 10)
• No obstante, requiere muy poca información.
Principios de dominación III
• (III) Principio de eliminación iterativa estricta
• Un jugador nunca juega estrategias estrictamente dominadas
• Todos los jugadores lo saben
• Se pueden eliminar
• Da lugar a un nuevo concepto de equilibrio más general que el
EEED, pero con una racionalidad aceptable...
Solución:
• Equilibrio por eliminación iterativa de estrategias estrictamente
dominadas EEIEED
• El orden de eliminación no influye en el resultado
• Si existe, es único
• Es más general que EEED, pero no que EEDD
Ejemplo 12: no EEED ni EEDD, pero si
EEIEED
JUG 2
I
C
0
A
1
2
1
JUG 1
B
3
0
D
1
0
1
0
0
2
.
Ejemplo 13: no EEED ni EEDD, pero si
EEIEED
JUG 2
I
A
JUG 1
B
D
2
0
100
4
40
20
0
8
.
4. Dilema de los presos EEED y
EEIEED
JUG 2
CA
CA
JUG 1
CO
CO
2
2
4
0
0
4
1
1
.
Ejemplo 10: EEDD y no EEIEED
JUG 2
t1
t2
1
s1
1
0
2
JUG 1
s2
0
2
t3
-1
3
0
4
0
6
.
Principios de dominación IV
• (IV) Principio de eliminación iterativa débil
• Un jugador nunca juega estrategias débilmente dominadas
• Todos los jugadores lo saben
• Se pueden eliminar (todas las existentes en cada fase)
• Da lugar a un nuevo concepto de equilibrio más general todos
los anteriores, pero con una racionalidad dudosa...
Solución:
• Equilibrio por eliminación iterativa de estrategias débilmente
dominadas EEIEDD
• El orden de eliminación si influye en el resultado (para evitarlo
quitamos todas las estrategias débilmente dominadas en cada fase)
• Puede ser múltiple
• Es más general que EEED, EEDD y que EEIEED
Ejemplo 14: no EEED ni EEDD, ni
EEIEED, pero si EEIEDD
JUG 2
A
A
JUG 1
B
B
5
2
4
3
3
3
3
0
.
Práctica: soluciona el siguiente ejemplo 15
con los conceptos de equilibrio vistos.
JUG 1
H
T
1
H
-1
-1
1
JUG 2
T
-1
1
O
3
1
1
-1
2
1
.
Práctica: soluciona el siguiente ejemplo 16
con los conceptos de equilibrio vistos.
JUG 2
I
M
0
U
10
1
5
JUG 1
D
1
10
D
-2
4
0
5
-1
1
.
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