Aplicaciones del Algebra Lineal
Al Análisis Económico
El Modelo teórico de Sraffa.
Raúl Urbán Ruiz
UNAM, Facultad de Economía
Piero Sraffa
La característica principal de las sociedades humanas
es la producción de los bienes y servicios que requiere
para su supervivencia.
Para Marx, “..los hombres comenzaron a distinguirse
de los animales cuando comenzaron a producir sus
medios de subsistencia , proceso que esta
condicionado por su organización física”,
tomado de Marx-Engels, Filosofía Alemana, FCE.
Piero Sraffa
Quesney, en 1758, presenta en Versalles su tableau
économique, que puede ser el primer esquema de
relaciones inter-industriales.
Dos nuevas formulaciones de al Teoría de la
producción, se deben a Sraffa y a Leontief. La obra
de Sraffa, Producción de mercancias por medio de
mercancias,
publicado
en
1960,
tiene
sus
antecedentes en la obra de Ricardo y ha sido
elaborado con fines estrictamente teóricos.
Piero Sraffa
En esta plática, presentaremos el ejemplo que nos
proporciona Sraffa en el Capítulo I de su obra ya
citada.
Trabajaremos un sistema económico en el que hay
tres
procesos
productivos
(o
industrias)
independientes
entre
sí,
y
que
producen,
respectivamente, grano (g), hierro (f) y pavos (t). Tras
analizar el sistema un año llegamos a los siguientes
resultados:
Flujos de mercancías en términos físicos
grano
hierro
pavos
(g)
(f)
(t)
240
90
120
= 450
Hierro
12
6
3
= 21
pavos
18
12
30
= 60
450(g)
21(f)
60(t)
Grano
Flujos de mercancías en términos físicos
Inputs
Outputs
grano
hierro
pavos
(Quintales)
(Quintales)
(gruesas)
(g)
(f)
(t)
240
90
120
= 450
Hierro
12
6
3
= 21
pavos
18
12
30
= 60
450(g)
21(f)
60(t)
Grano
Una gruesa= 12 docenas o 144 unidades. Un Quintal métrico=100 kg (quintal britanico=50.8 kg)
Flujos de mercancías en términos físicos
grano
hierro
pavos
(g)
(f)
(t)
Grano
240
90
120
= 450
Hierro
12
6
3
= 21
pavos
18
12
30
= 60
450(g)
21(f)
60(t)
Suposiciones, sistema estacionario, que se emplean, 60 obreros
(18,12,30).
Flujos de mercancías en términos físicos
grano
hierro
pavos
(g)
(f)
(t)
240
90
120
= 450
Hierro
12
6
3
= 21
pavos
18
12
30
= 60
Sector final
18
12
30
= 60
450(g)
21(f)
60(t)
Grano
Suposiciones, sistema estacionario, que se emplean, 60 obreros
(18,12,30).
Flujos de mercancías en términos físicos
grano
hierro
pavos
(g)
(f)
(t)
240
90
120
= 450
Hierro
12
6
3
= 21
pavos
18
12
30
= 60
Sector final
18
12
30
450(g)
21(f)
60(t)
Grano
Cada trabajador consume, por término medio, anualmente tres
quintales de grano y media gruesa de pavos.
Flujos de mercancías en términos físicos
grano
(g)
Grano
240
Hierro
12
pavos
18
Sector final
18
186 = 240 - 18 trabajadores * 3 quintales
12
9 = 18 – 18 obreros *0.5 gruesa

450(g)
Cada trabajador consume, por término medio, anualmente tres
quintales de grano y media gruesa de pavos.
Flujos de mercancías en términos físicos
grano
hierro
pavos
(g)
(f)
(t)
186
54
30
= 450
Hierro
12
6
3
= 21
pavos
9
6
15
= 60
Sector final
18
12
30
450(g)
21(f)
60(t)
Grano
Flujos de mercancías en términos físicos
grano
hierro
pavos
(g)
(f)
(t)
186
54
30
180
= 450
Hierro
12
6
3
-
= 21
pavos
9
6
15
30
= 60
Sector final
18
12
30
-
= 60
450(g)
21(f)
60(t)
Grano
Sector
Final
Flujos de mercancías en términos físicos
INGRESO
NACIONAL
NETO
grano
hierro
pavos
(g)
(f)
(t)
186
54
30
180
= 450
Hierro
12
6
3
-
= 21
pavos
9
6
15
30
= 60
Sector final
18
12
30
-
= 60
450(g)
21(f)
60(t)
Grano
Sector
Final
Piero Sraffa
Un quintal de hierro se intercambia por; 10 Quintales
de grano, dos gruesas de pavos o por 1.81818
hombres año de trabajo
Es decir, si tomamos como unidad de medida un
quintal de hierro, se obtendrían los siguientes precios.
Precio de un quintal de hierro = 1 peso
Y por definición:
Precio de un quintal de grano = 0.1
Precio de una gruesa de pavos = 0.5
Salario anual por trabajador
= 0.555
Flujos de mercancías en términos físicos
grano
hierro
pavos
(g)
(f)
(t)
186
54
30
180
= 450
Hierro
12
6
3
-
= 21
pavos
9
6
15
30
= 60
Sector final
18
12
30
-
= 60
450(g)
21(f)
60(t)
Grano
Sector
Final
Flujos de mercancías en términos de la
Unidad de medida.
grano
hierro
pavos
(g)
(f)
(t)
186
54
30
180
= 450
Hierro
12
6
3
-
= 21
pavos
9
6
15
30
= 60
Sector final
18
12
30
-
= 60
450(g)
21(f)
60(t)
Grano
Sector
Final
54* 0.10 = 5.4
Flujos de mercancías en términos de la
Unidad de medida.
Grano
Hierro
grano
hierro
pavos
Sector
Final
(g)
(f)
(t)
18.6
5.4
3
18
= 45
12
6
3
-
= 21
12 * 1 = 12
pavos
9
6
15
30
= 60
Sector final
18
12
30
-
= 60
450(g)
21(f)
60(t)
Flujos de mercancías en términos de la
Unidad de medida.
grano
hierro
pavos
(g)
(f)
(t)
18.6
5.4
3
18
= 45
Hierro
12
6
3
-
= 21
pavos
9
6
15
30
= 60
Sector final
18
12
30
-
= 60
450(g)
21(f)
60(t)
Grano
9 * 0.5 = 4.5
Sector
Final
Flujos de mercancías en términos de la
Unidad de medida.
grano
hierro
pavos
(g)
(f)
(t)
18.6
5.4
3
18
= 45
Hierro
12
6
3
-
= 21
pavos
4.5
3
7.5
15
= 30
Sector final
18
12
30
-
= 60
Grano
18 * 0.55 = 9.9
450(g)
21(f)
60(t)
Sector
Final
Matriz de Transacciones o table de insumoproducto.
grano
hierro
pavos
(g)
(f)
(t)
18.6
5.4
3
18
= 45
Hierro
12
6
3
-
= 21
pavos
4.5
3
7.5
15
= 30
Sector final
9.9
6.6
16.5
-
Total
general
45
21
30
(33)
Grano
Sector
Final
= (33)
96
Matriz de Transacciones o tabla de insumoproducto.
grano
hierro
pavos
(g)
(f)
(t)
18.6
5.4
3
18
= 45
Hierro
12
6
3
-
= 21
pavos
4.5
3
7.5
15
= 30
Sector final
9.9
6.6
16.5
-
Total
general
45
21
30
(33)
Grano
Sector
Final
= (33)
96
Matriz de Transacciones o tabla de insumoproducto.
grano
hierro
pavos
(g)
(f)
(t)
18.6
5.4
3
18
= 45
Hierro
12
6
3
-
= 21
pavos
4.5
3
7.5
15
= 30
Sector final
9.9
6.6
16.5
-
Total
general
45
21
60
(33)
Grano
Sector
Final Parte
Interindustrial
= (33)
96
Sistema de ecuaciones en términos de las cantidades fijas
q11 P1  q12 P1 ... q1n P1  Q1 P1

q 21 P2  q 22 P2 ... q 2 n P2  Q2 P2
 Pi 


q n1 Pn  q n 2 Pn ... q nn Pn  Qn Pn
Un sistema de ecuaciones en términos de los precios
Piero Sraffa
Modelo
i) Estacional. El sistema produce cada año la misma cantidad
de mercancías.
ii) Cada industria produce una sola mercancía, (producción
simple) la mercancía se consume durante el periodo y se
tiene que remplazar al final.
iii) El valor de las mercancías que constituye la renta
nacional se distribuye al final del año en forma de salarios y
beneficios.
Piero Sraffa
pA(1+0)+an W=P
p(I-A)=anW
(I-a) Matriz no singular
p(I-A)(I-A)-1 =an(I-A) -1 W
p=an(I-A) -4 W
si W=1
Sabemos que cada columna encima de la (I-A) 1 representa las cantidades líneas de las mercancías
que han sido necesarias en todo el sistema económico
para obtener una unidad física de la mercancía encima
como mercancía final.
V = an (I-A) -1
Piero Sraffa
V 
an

Vector
nonegativbo
(I - A)

1
Matriz no
negativa
significad o Economico
Donde
an son los coeficientes de trabajo directo
Bibliografía
Luigi Pasinetti, LECCIONES DE TEORIA DE
LA PRODUCCION, Fondo de Cultura
Económica, 1984
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y pavos - Raúl R. Urbán Ruiz