El azar, la probabilidad,… 1
Santiago Fernández
Asesor matemáticas, Berritzegune de Bilbao
Eibar, 4, octubre 2011
Vivimos en una sociedad muy diferente a la de hace muy
pocos años. Nos hallamos en tiempos de extraordinarios
y acelerados cambios.
Es la Sociedad del Conocimiento
¿ qué pasa con las matemáticas?
Debate curricular
En general, el currículo matemático tiene los mismos
ingredientes de hace décadas: mucha aritmética y
cálculo, bastante de álgebra y análisis, un poco de
geometría y casi nada de estadística y de probabilidad.
La noción de lo que es básico en matemáticas se está
desplazando poco a poco y los contenidos considerados
fundamentales durante décadas deben sufrir una reflexión
profunda y bien pensada.
Es una tarea compleja, pero necesaria.
Qué es lo básico en matemáticas ?
1.- Formular y resolver problemas
2.-Ser capaces de cuantificar situaciones y razonar acerca de los
números
3.-Realizar operaciones con una cierta soltura utilizando los
recursos adecuados.
4.-Poseer competencia en el tema de la medida
5.-Resolver problemas de índole geométrico en diversos contextos
6.-Entender y usar el razonamiento proporcional
7.-Comprender y usar símbolos para comunicarse, procesar
información
8.-Leer e interpretar tablas y gráficas. Poseer un lenguaje
funcional.
9.-Tratar lo incierto
10.-Poseer una cierta competencia en el lenguaje algebraico.
11.-Utilizar las TICs
¿Qué matemática es todavía relevante?
http://www.youtube.com/watch?v=9O6dYmqthF0
¿ Cómo adquirir una cierta seguridad en
cuestiones sobre el azar? ¿ cuál es el
camino?
!! Resolviendo BUENOS problemas y reflexionando
respecto a su solución !!
En un chequeo a una persona le detectan una
enfermedad que padece 1 de cada 1.000 personas.
Se le realiza un análisis que produce un 6% de falsos
positivos( no existe la enfermedad pero el análisis nos
dice que sí está enfermo)
¿ cuál es la probabilidad de que realmente padezca la
enfermedad?
Muchas personas piensan que el 94%
¿Qué pasa con
los
porcentajes?
Pero, de cada 1.000 personas hay 60 falsos positivos y 1 positivo
verdadero. Por tanto, de entre las 61 positivos sólo hay uno verdadero,
La probabilidad es por tanto de 1/61= 0,016
Es decir, ligeramente menor del 2%
Objetivos del curso-seminario
1.-Trabajar la intuición sobre fenómenos al azar.
2.- Realizar simulaciones, como una estrategia para
solucionar diversas situaciones de estadística y
probabilidad.
3.-Conocer y manejar las ideas fundamentales de la
estadística y la probabilidad.
4.-Disponer de las referencias históricas fundamentales en
este campo.
5.-Conocer y aplicar diversos procedimientos estadísticos
y probabilísticos de cara a solucionar problemas diversos.
6.- Mejorar la práctica docente.
¿Cómo osamos hablar de leyes del azar? ¿No es,
acaso, el azar la antítesis de cualquier ley?
Bertrand Russell
Es un hecho destacable que una ciencia que
empezó analizando juegos de azar acabe
convirtiéndose en el más importante objeto del
conocimiento humano.
P.S. Laplace
La Probabilidad es una disciplina matemática cuyos propósitos
son de la misma clase que, los de cualquier otra parte de las
matemáticas. En cada campo debemos distinguir tres aspectos
de la teoría:
a) El contenido lógico-formal,
b) El antecedente intuitivo,
c) Las aplicaciones.
El carácter y el encanto de toda la estructura no pueden ser
apreciados sin considerar los tres aspectos adecuadamente
relacionados.
William Feller, Introducción a la Teoría de Probabilidades y sus aplicaciones.
Algunas personas ante problemas
de AZAR se sienten así…
El Mundo del azar
en la Enseñanza Secundaria
Contenidos
Experimentos aleatorios
• Sucesos aleatorios y operaciones entre ellos
• Leyes del azar
• Combinatoria
• Frecuencias
• Probabilidad simple. Ley de Laplace
• Probabilidad compuesta
• Probabilidad condicional
• Probabilidad total. Teorema de Bayes
•
Antonio Pérez- Más por menos
(Capítulo 7 desde el minuto 4:31)
La paradoja del ascensor
El señor Arribas tiene su oficina en uno de los pisos más altos
de un edificio. Llama al ascensor y piensa: “¡Maldición! El
primer ascensor que se detiene aquí está subiendo. Siempre
pasa lo mismo...”
La señorita Ayuso trabaja en una de las primeras plantas. Y
sube a desayunar al ático. Llama al ascensor y piensa: “¡Es
que no lo entiendo! ¡Siempre que llamo al ascensor, el
primero en llegar está bajando!”
¿Cómo es posible?
(Puzzle-Math, G. Gamow y M. Stern)
Planta
alta
Hueco del
ascensor
Planta
baja
Situaciones de sentido común
Si lanzamos una bola
por cada uno de los
canales que se te
presentan, ¿en cuál es
más probable que
salga por la salida 1?.
Otra situación….
Supongamos, por ejemplo, que barajamos un paquete de cuatro
cartas —dos rojas, dos negras— y las colocamos en línea, cara
abajo, sobre la mesa. Se eligen dos cartas al azar, por ejemplo,
depositando una moneda sobre cada una de ellas. ¿Cuál es la
probabilidad de que esas dos cartas sean del mismo color?
Una persona razona: «Hay tres casos igualmente posibles: o bien
ambos naipes son negros, o bien ambos son rojos, o bien son de
distinto color. En dos de los tres casos, los colores son iguales;
por consiguiente, la probabilidad de que salgan del mismo color es
2/3».
Nada de eso, contrapone otra persona. «Hay cuatro casos
equiprobables. O bien ambas cartas son rojas, o bien ambas son negras, o
bien la A es negra y la B roja, o la A es roja y la B negra. Más brevemente:
o bien las cartas son del mismo color, o no lo son. Se diga de una y otra
manera, la probabilidad de que sus colores sean iguales es 1/2.»
¿ Cuál de los dos tiene razón?
¿ quizás ninguno de ellos?
R1 R2 N1 N2
P=2/6=1/3
Distintas maneras de visualizar sucesos
• Tablas de contingencia:
Color
Palo
Rojo
Negro
Total
As
2
2
4
No-As
24
24
48
Total
26
26
52
• Diagramas en árbol:
Cartas
Rojas
Baraja
Cartas
Negras
As
No As
As
No As
Los sabios también se equivocan…
Problema: Al tirar una moneda dos veces,
¿cuál es la probabilidad de obtener, por lo menos, una cara ?
Solución -errónea- de D´Alembert
Dudaba de que la probabilidad fuese 3/4,
razonando que si una cara aparecía en la
primera tirada, el juego habría terminado,
pues no era necesario continuar con una
segunda. Enumerando sólo tres casos
posibles, C/XC/XX, llegó a la probabilidad
2/3.
D´Alembert
Probabilidad clásica
Laplace define la probabilidad de un
suceso A como el cociente:
P ( A) 
Número de casos favorables
Número de casos posibles
Experiencia aleatoria: lanzar un Dado
¿Cuál es la probabilidad del suceso A = obtener un número mayor o igual a 5 ?
¿Y la probabilidad del suceso B = obtener un número impar
?
Solución: Los seis casos posibles son igualmente probables, cada uno tiene
probabilidad 1/6.
P(A) = 2/6 = 1/3 pues A ={ 5, 6 } tiene dos casos favorables.
P(B) = 3/6 = 1/2 pues B = {1, 3, 5} tiene tres casos favorables
La Teoría de la Probabilidad, como disciplina
matemática, puede y debe ser desarrollada a partir
de unos axiomas, de la misma manera que la Geometría.
Andrei Kolmogorov, Foundations of the Theory of
Probability.
Definición axiomática de probabilidad
Se llama probabilidad a cualquier función P que asigna a cada
suceso A del espacio muestral E un valor numérico P(A),
verificando los siguientes axiomas:
(1) No negatividad: 0 ≤ P(A)
(2) Normalización: P(E) = 1
(3) Aditividad: P(A  B) = P(A) + P(B)
si A ∩ B = Ø (donde Ø es el conjunto vacío).
A. Kolmogorov, 1933
Cuando el número de realizaciones de un experimento
aleatorio crece mucho la frecuencia relativa del suceso se va
acercando cada vez más hacia un cierto valor.
Este valor se denomina PROBABILIDAD del suceso.
1ª Ley de los grandes números.
Ejemplo: Lanzamiento de un dado
Suceso: Analizar cuántas veces sale el número 5
Nº de
lanzamientos ( 1)
12 24
Nº de veces que “ 1
sale el 5”
(2)
Frecuencia
Relativa = (2)/(1)
0.083
36 48
60 72 ..
1.440
3
5
6
9
10 ….. 220
250
0,125
0,138
0,125
0,15
0,138
0,160
0,15
1.560
Ley de los grandes números (en forma débil)
Sean X1, X2, ..., Xn variables aleatorias independientes,
con la misma distribución y con valores esperados y
varianzas finitos. Entonces: para Sn = X1 + X2 + ... + Xn
y cualquier real  > 0:
 Sn

lim P 
      0
n 
 n

o de forma equivalent
e:
 Sn

lim P 
      1
n 
 n

1ª LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS
Simulaciones realizadas por
Félix Matute Cañas
I.E.S. Avempace – Zaragoza (España)
X
X
C
X
C
X
C
X
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C
X
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X
C
X
C
X
C
C
C
X
C
X
C
C
C
X
X
X
X
X
C
C
C
C
X
C
C
C
C
X
X
X
X
C
C
C
C
C
C
C
C
C
X
C
C
X
C
X
X
X
X
X
C
C
X
C
C
C
X
C
X
X
C
C
X
X
X
C
C
C
C
C
X
X
C
C
X
C
C
C
X
X
X
X
X
C
X
X
X
X
X
C
C
X
C
X
C
X
C
X
C
C
C
C
X
X
C
X
X
C
C
C
X
C
X
C
X
C
X
X
X
X
C
C
C
C
C
X
C
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X
X
X
C
C
C
C
X
C
X
X
C
C
X
X
X
X
C
X
X
C
C
X
X
X
C
C
X
X
X
X
C
C
C
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C
C
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C
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C
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C
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X
X
X
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C
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C
C
C
C
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C
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C
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C
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X
C
C
C
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X
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C
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C
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C
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X
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X
X
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X
X
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X
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C
C
X
X
C
C
C
X
C
C
C
C
X
C
X
X
X
Recuento total
de lasde
100
250
500
700
lasprimeras
primeras
1000 tiradas
tiradas
tiradas
3
2
4
3
2
3
5
4
4
3
6
1
4
3
4
4
3
5
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
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3
5
2
3
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6
6
4
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3
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3
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1
2
1
5
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4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
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6
2
2
5
1
6
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1
2
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1
4
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1
1
1
1
1
1
1
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1
1
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2
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5
5
5
5
1
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2
3
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4
4
3
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2
6
6
2
4
2
6
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3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
5
3
1
3
4
2
5
3
1
3
4
2
4
2
4
5
4
2
6
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5
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5
5
5
5
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5
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5
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2
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2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
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5
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2
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1
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4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
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4
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2
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2
2
2
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2
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2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
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5
3
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1
1
2
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6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
5
1
6
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3
3
3
3
3
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3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
6
3
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2
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6
2
2
6
2
4
4
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4
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4
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1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
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3
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1
4
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5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
6
5
6
4
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1
4
6
5
4
6
2
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4
2
2
1
2
5
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
Recuento total
de lasde
100
250
500
700
lasprimeras
primeras
1000 tiradas
tiradas
tiradas
Félix Matute Cañas
4
6
1
2
11
1
1
7
8
9
3
1
0
7
7
4
1
1
1
2
9
8
4
5
8
7
5
4
6
8
1
1
7
7
7
10
1
0
6
5
5
9
7
8
6
1
1
1
0
8
1
0
4
9
6
8
6
8
9
1
1
1
0
1
1
1
0
7
8
6
7
3
1
2
1
0
4
8
5
7
1
2
3
8
9
9
8
9
6
7
7
4
5
2
7
1
1
7
6
4
6
10
6
5
7
7
4
8
6
1
2
9
3
8
6
4
9
6
6
5
7
9
1
1
1
0
6
9
4
5
4
4
8
5
7
1
2
4
8
5
1
1
3
9
6
5
3
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6
9
6
5
1
1
4
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5
6
1
0
1
0
7
7
1
0
8
3
2
9
9
6
4
5
1
0
6
7
4
5
4
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2
1
1
1
0
9
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4
6
6
7
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8
6
5
4
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4
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7
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1
0
8
3
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5
8
7
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3
7
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8
5
7
1
1
1
0
8
5
5
4
5
9
4
6
5
7
7
3
5
8
7
8
7
1
2
1
0
7
7
3
5
4
3
7
9
6
1
0
9
9
1
1
9
7
8
8
5
2
7
5
6
3
9
8
7
8
4
3
8
5
3
8
2
4
1
2
6
8
6
8
7
8
6
4
9
8
8
4
1
0
6
8
7
2
9
7
4
4
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8
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1
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1
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7
4
9
6
6
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1
0
7
1
1
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3
3
1
0
6
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6
1
0
8
1
1
9
4
7
7
3
2
11
5
5
8
1
2
4
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5
1
2
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8
1
1
1
1
6
3
7
7
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8
6
6
6
1
0
1
0
9
5
4
6
3
8
2
7
1
0
1
0
5
8
9
4
1
1
6
3
3
6
8
9
1
0
5
9
1
2
9
9
8
5
6
4
1
0
6
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1
1
8
9
5
7
5
5
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8
5
7
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4
5
7
9
1
2
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0
1
0
6
3
1
1
4
6
8
8
4
7
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7
1
1
6
3
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7
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8
1
0
7
6
4
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5
1
2
1
1
5
3
9
1
2
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5
1
1
9
3
4
7
7
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8
8
9
5
6
9
7
5
6
6
8
1
1
7
7
5
7
5
7
7
6
1
0
8
6
7
4
3
1
0
4
1
0
6
2
9
6
5
2
6
6
7
8
5
7
7
6
7
7
4
9
6
7
1
0
8
5
8
8
4
4
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7
4
8
9
3
6
1
0
6
1
0
9
8
1
0
5
3
7
7
7
9
4
1
0
10
6
8
8
3
9
8
5
8
7
7
6
5
8
1
0
9
9
1
0
6
3
7
8
4
7
1
0
9
6
7
5
8
9
7
6
3
1
0
6
5
7
1
1
6
7
8
5
8
4
9
5
6
9
3
4
1
0
6
6
5
3
7
1
2
8
8
1
0
6
6
9
1
2
2
8
7
5
9
5
2
4
9
1
2
5
8
5
1
1
8
6
1
1
7
8
5
6
5
1
1
9
7
7
11
9
7
7
8
1
1
1
0
6
5
7
1
0
3
6
8
8
6
8
8
4
7
5
7
5
7
9
3
8
1
0
3
7
5
5
3
9
8
1
1
7
7
8
6
8
3
7
7
9
8
6
6
5
5
8
6
2
8
1
1
4
7
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3
5
5
7
8
7
5
9
6
8
9
7
7
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0
3
4
5
5
5
9
7
8
10
4
1
1
9
8
6
8
9
5
8
5
8
7
9
4
6
7
4
3
8
1
0
6
8
8
8
6
6
7
2
4
3
5
9
2
7
6
7
6
6
7
8
7
7
7
7
8
4
4
1
0
7
9
8
9
4
9
3
1
2
9
9
1
0
6
9
2
8
4
8
3
1
1
7
3
1
0
7
7
7
7
4
7
5
7
2
1
1
6
7
7
5
7
9
7
5
4
8
7
7
1
0
3
7
9
1
2
9
7
7
8
7
6
6
8
2
9
1
2
2
6
1
1
8
5
8
6
6
9
5
1
1
8
7
5
1
1
7
9
7
2
9
6
3
3
1
1
8
9
9
6
1
0
1
0
6
8
7
6
1
0
8
6
7
4
6
5
9
6
5
12
7
5
8
6
9
1
0
4
6
7
8
8
6
7
4
6
1
0
1
1
5
9
7
6
8
4
7
7
5
8
2
4
4
9
5
8
6
9
1
2
7
8
6
3
8
9
5
1
0
5
3
5
1
0
3
8
6
2
2
3
8
9
9
7
8
6
1
1
1
1
1
0
6
9
6
6
8
6
8
9
7
8
9
6
5
7
1
0
2
7
6
6
7
1
1
1
0
2
6
8
6
5
7
7
1
1
1
1
3
3
6
6
7
8
8
7
7
1
0
10
9
7
1
1
8
5
7
7
4
6
3
1
1
7
1
1
7
1
1
9
1
0
7
3
6
5
5
9
9
8
2
4
10
6
7
7
9
4
6
9
6
4
2
4
8
6
2
3
2
7
8
5
6
Recuento total
de lasde
100
250
500
700
lasprimeras
primeras
1000 tiradas
tiradas
tiradas
Es muy POCO PROBABLE que si efectuamos un
número suficientemente grande de experimentos, la
frecuencia de un acontecimiento se aparte
notablemente de su probabilidad.
( 1ª Ley de los grandes números)
Segunda ley de los grandes números
En la primera ley la frecuencia relativa de un suceso se aproximaba
cada vez más aun número que era la probabilidad.
Mientras que a la frecuencia absoluta no le ocurre lo mismo.
Número lanzamientos
180
300
3.000
6.000
60.000
Frecuencia absoluta
esperada
30
50
500
1.000
10.000
Frecuencia absoluta
obtenida
25
43
485
965
10.193
Diferencia en valor
absoluto
5
7
15
35
193
Cuanto mayor es el número de realizaciones de un experimento
aleatorio, mayor tiende a ser el valor absoluto de la diferencia entre la
frecuencia absoluta de un suceso y su frecuencia absoluta esperada.
( 2º ley de los grandes números)
Tesis:
Se pone de manifiesto la existencia de errores sistemáticos
y conductas estereotipadas persistentes por parte de los
individuos ante situaciones de tipo probabilístico. Se han
identificado al dos tipos de estrategias erróneas:
-LA REPRESENTATIVIDAD
-LA DISPONIBILIDAD
Las investigaciones de Shaughnessy
LA REPRESENTATIVIDAD
Según esta estrategia la gente cree que una
MUESTRA debería reflejar la DISTRIBUCIÓN de la
Población y además el PROCESO por el cuál se
generan los resultados aleatorios
Ejemplos:
1.- En una familia de seis hijos es más probable que
se produzca la secuencia VHHVHV
Que las secuencias VVVVHH o HHH VVV
2.- ¿ Cuál es la probabilidad de que entre seis nacimientos
tres sean machos?
Un elevado número de personas responden 1/2, cuando
en realidad está cercano a 1/3
La familia de perritos
Una camada de perritos que tiene cuatro perritos, que pueden ser macho
o hembra, tenemos 24 = 16 posibilidades:
Casos
1.- HHHH MMMM
• Probabilidad de que todos sean del mismo sexo = 2/16 = 1/8
2.-HHHM HHMH HMHH MHHH
MMMH MMHM MHMM HMMM
• Probabilidad de tres del mismo sexo 8/16 = 1/2
3.- HHMM HMHM HMMH MHHM MHMH MMHH
• Probabilidad de dos machos y dos hembras 6/16 = 3/8
Hemos contado los 16 casos posibles ya que se verifica que: 1/8 + 1/2 + 3/8 = 1.
A casi todo el mundo le sorprende que en familias de cuatro hijos es
muy probable que haya tres hijos del mismo sexo.
3.- La probabilidad de que nazca un varón es de 0,5.
A lo largo del año, habrá más días en los cuales al menos
el 60% de los nacimientos correspondan a varones en:
a) Un hospital grande
b) En un hospital pequeño
c) No hay diferencia
Mucha gente piensa que es la c)
Este último ejemplo se conoce como el descuido del
tamaño de la muestra, un ejemplo similar es:
¿Son igual de probables los sucesos?
A) Sacar 7 bolas Negras en 10 extracciones
B) Sacar 70 bolas Negras en 100 extracciones
C)Sacar 700 bolas Negras en 1.000 extracciones
N
N
DISPONIBILIDAD
Consiste en la tendencia a realizar predicciones sobre la
probabilidad de un suceso, basándose en la mayor o
menor facilidad con la cual es posible recordar o
construir ejemplos de ese suceso.
1.- Un individuo debe seleccionar comités a partir de un
grupo de 10 personas. Tú qué crees más razonable.
a) Hay más comités formados por 8 personas
b) Hay más comités formados por 2 personas
c) Hay el mismo número de comités de 8 que de 2.
Mucha gente piensa que la b), cuando en realidad es la c)
2.- Esta curva es peligrosísima, basándose en el hecho de
que ha visto en ella un accidente o ha participado en uno
Sesgos referidos al lenguaje
Otra dificultad en la estimación probabilística se
debe a la imprecisión del lenguaje ordinario
1.- Asigna un número entre el 0 y el 1 a cada una de las
siguientes expresiones , según el grado de probabilidad que
consideres:
Dudoso
Quizás
Podría ser
Casi seguro
Poca probabilidad
alta probabilidad
las posibilidades no son grandes
se puede esperar que
posibilidad razonable
muy posible1.-
2.- Varón de 45 años, conservador, no interesado en
política
¿ qué es más probable que sea abogado o ingeniero?
La mayoría dice Ingeniero.
Se consideran algunos atributos como intrínsicos de
una ocupación, incluso si se dice que se ha escogido
aleatoriamente entre una población en la que el 20% es
ingeniero.
Otras….
La llamada Falacia del Jugador
Se piensa que después de muchas caras seguidas
debería ser más probable que salga cruz
No tener en cuenta la proporción (Falacia
de la proporción básica)
Ejemplo:
Un taxi se ve envuelto en accidente nocturno:
- 15% taxis azules y el 85 % taxis verdes
- Una persona dice que es azul
- Le hacen una prueba de visión y el 80%
contesta bien
¿ cuál es la probabilidad de que el taxi sea azul?
15
azules
12
3
85
verdes
17
68
29
71
Azul
Verde
P( azul) dado que el testigo decía azul = 12/ 29= 0,41
Falacia de la Conjunción
Es más propenso a considerar( en algunas
situaciones) cierto tipo de sucesos compuestos como
mucho más probables de ocurrir que los sucesos
elementales de los que provienen
Ante la descripción:
“Brillante, soltera, 29 años, abierta y preocupada por
la justicia social”
Muchas personas consideran más probable que sea
cajera de banco y feminista que simplemente cajera
de banco
Paradoja de Blith-Simpson-Yule
Esto es un ejemplo de la vida real de un estudio médico, en el que se
comparan los índices del éxito de dos tratamientos para piedras del riñón
La primera tabla demuestra los índices del éxito y los números totales de
los tratamientos para ambos tratamientos:
Tratamiento A
el 78% (273/350)
Tratamiento B
el 83% (289/350)
Esto se parece demostrar que el tratamiento B es más eficaz.
Si incluimos datos sobre el tamaño de la piedra del riñón, sin embargo, el
mismo sistema de tratamientos revela una diversa respuesta:
Tratamiento A
Tratamiento B
Piedras pequeñas
el 93% (81/87)
el 87% (234/270)
Piedras grandes
el 73% (192/263)
el 69% (55/80)
Ambos
el 78% (273/350)
el 83% (289/350)
La información sobre el tamaño de piedra ha invertido nuestra conclusión
sobre la eficacia de cada tratamiento
Los derivados de la probabilidad condicional
Los trabajos de Falk sobre independencia y probabilidad condicionada
El de independencia es uno de los conceptos claves de la teoría de
probabilidad. Se dice que dos sucesos (por ejemplo, los resultados de
sendos lanzamientos de un dado) son estadísticamente
independientes si el conocimiento del resultado de uno no
proporciona información concerniente al resultado del otro
A) Fenómeno de Falk
Una urna contiene dos bolas blancas y dos bolas negras. Agitamos la
urna y a ciegas extraemos dos bolas, una después de otra, sin
reemplazamiento.
a) Cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraida
sea blanca, sabiendo que la primera bola es blanca?
b) Cuál es la probabilidad de que la primera bola extraida
sea blanca, sabiendo que la segunda bola es blanca y no se conoce el
color de la primera?
El fenómeno de Falk surge cuando el suceso
condicionante ocurre después que el suceso
que condiciona ( ver apuntes)
B.- Dificultades en la selección de cuál es el suceso condicionante.
Tenemos tres cartas: una con los dos caras azules, otra con
las dos verdes y la otra con una cara azul y otra verde:
Se saca una carta y se ve que tiene color azul (una de las caras)
¿ cuál es la probabilidad de que la otra cara también sea azul?
P= 1/2
A1
A2
A
A2
A1
V
P= 2/3
C) Confusión entre una condicional y su inversa.
“Tener un mercedes dado que eres rico
Eres rico dado que tienes un mercedes”
“Tener sarpullido dado que tienes sarampión
Tener sarampión dado que tienes sarpullido”
D) Dilema de Monty Hall
The Monty Hall Problem
Let’s Make a Deal fue un famoso concurso en las décadas 60-70
de la televisión de EEUU presentado por Monty Hall y Carol Merril.
http://www.youtube.com/watch?v=pqJBTWoIkbA
Escena de la serie Numbers
¡Bienvenidos al
show de Monty Hall!
Detrás de una de estas
puertas hay un coche.
Y detrás de las dos
restantes hay una cabra.
Nuestro concursante
seleccionará una puerta ...
Elijo la
puerta A
A
B
C
Monty Hall (que
conoce dónde está el
coche) abre la puerta
C.
PUERTA
SELECCIONADA
A
B
C
Ahora sabemos que el
coche está o bien en
A o bien en B.
Monty Hall nos permite cambiar de elección
si queremos …
¿Es más probable ganar el coche si cambiamos de puerta?
(En este caso de A a B).
Si el concursante
CAMBIA
su elección original
Pierde
Gana
Gana
Gana
Pierde
Gana
Gana
Gana
Pierde
Si el concursante CAMBIA su elección original gana 6 veces de
las 9: su probabilidad de ganar es 6/9 = 2/3. Si no cambia, su
probabilidad de ganar es de 3/9 = 1/3. ¡Tiene el doble de
posibilidades de ganar si cambia de puerta!
Pierde
Gana
Gana
Gana
Pierde
Gana
Gana
Gana
Pierde
http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Monty_Hall
Paradoja de Bertrand (1822-1900)
Dado un círculo y una cuerda sobre él, tomada al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que la longitud de dicha cuerda sea mayor que el lado del
triángulo equilátero inscrito en el círculo?
1.-Una barra se rompe al azar en dos puntos. ¿Cuál es la
probabilidad de que con las tres partes resultantes se
pueda formar un triángulo?
2.-Halla la probabilidad de que un punto elegido al azar en la figura
esté situado en la región verde
3.-El día escolar comienza a las 8:30 y que termina a las 14:00 .
Hay un descanso de media hora entre las 11:00 y las 11.30
Si hay un simulacro de incendio a una hora elegida al azar durante el día,
¿cuál es la probabilidad de que comience antes del descanso?
Solución 1: Tomemos un punto P cualquiera de la
y tracemos la cuerda PT
Para que se verifiquen las condiciones del problema, el extremo T debe
estar situado sobre el arco AB, siendo PAB el triángulo equilátero
inscrito.
Pero como AB mide la tercera parte de la longitud de la circunferencia,
la probabilidad pedida es igual a P = 1/3.
Solución 2: La posición de la cuerda puede ser
determinada por su distancia al centro de la circunferencia. Esta
distancia puede variar entre 0 y R. La cuerda será mayor que el lado
del triángulo equilátero inscrito cuando su distancia al centro sea
menor que R/2.
De aquí obtenemos que la probabilidad buscada es 1/2.
Solución 3: Una cuerda está totalmente determinada
por su punto medio. Aquellas cuerdas cuya longitud exceda el lado del
triángulo equilátero tienen sus puntos medios dentro de un pequeño círculo
de radio 1/2 R.
Como el área de dicho círculo es 1/4 de la del círculo de radio R. De aquí
obtenemos que la probabilidad buscada es 1/4.
¿Dónde radica la paradoja? ¿Cuál es la solución a
nuestro problema?
La paradoja radica en qué consideramos por trazar una
cuerda “al azar”.
En el problema de Bertrand, distintos métodos de
seleccionar una cuerda “al azar” conducen a diferentes
medidas de probabilidad no equivalentes.
Las distribuciones de probabilidad no son objetivas.
Siempre que definamos una medida de probabilidad,
dicha medida de probabilidad se basa en un conjunto de
hipótesis.
El concepto de probabilidad clásico o de Laplace se basa
en la equiprobabilidad de los resultados elementales.
Este método sólo es aplicable para espacios muestrales
finitos como ya sabemos.
El concepto de probabilidad geométrica, generaliza el
concepto de probabilidad de Laplace, en el sentido de
que conjuntos que posean la misma medida geométrica
deben de tener la misma probabilidad y de esta manera
podemos generalizar la probabilidad para aplicarla a
espacios infinitos. Sin embargo, no es una generalización
objetiva, todo depende de que medida consideremos,
como hemos visto aquí.
Algunas ideas para afrontar la probabilidad
1.- Introducir el azar de manera experimental
2.- Confrontar los sistemas de creencias personales
3.- Sensibilizar a los estudiantes hacia los usos
incorrectos de la Estadística y la Probabilidad
4.- Dar a los estudiantes la oportunidad de resolver
problemas que requieran la simulación de diversas
situaciones
5.- Sensibilizarles de algunas paradojas aparentes de
la estadística.
6.- Darles a conocer el software más interesante
ESQUEMA DIDÁCTICO PARA AFRONTAR
EL MUNDO DEL AZAR
1.- EXPERIMENTACIÓN
2.- DESCUBRIR REGULARIDADES
3.-CONJETURAR
4. REPRESENTAR Y COMUNICAR
5.- FORMALIZAR Y COMPROBAR
Algunas situaciones para discutir
• El reparto justo
• El jugador audaz
• Los globos en la feria
• El paseo aleatorio
• El reparto justo
• EL Adivino
• La boda
• Las avispas
• El gato y el ratón
• Coincidencias
• Conteo de peces en un estanque…..
http://ntic.educacion.es/w3//recursos/bachillerato/matematicas/probabilidad/4problemas/4problemas3m.htm
http://ntic.educacion.es/w3//recursos/bachillerato/matematicas/probabilidad/4problemas/4problemas3m.htm
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ehernan/Talento/PabloFernandez/Modelizando%20el%20azar.htm
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