Aporte de Euclides a la
Ciencia
David Caldera
Pablo Navarrete
Francisca Pino
Mario Toro
Elizabeth Villanueva
Contexto Histótico
Los primeros y más antiguos textos
de matemáticas provienen
principalmente de Mesopotamia y
zonas cercanas a este lugar. Sin
embargo la historia de la matemática
no se aposenta en esta zona, si no
en Grecia.
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Hubieron aportes mayormente de los
Fenicios con un sistema de
numeración menos engorroso que el
egipcio que luego continuaron los
griegos.
Estos últimos hicieron de estos
conocimientos una herramienta
fundamental en los asuntos
humanos.
En Grecia exisiteron grandes
referentes como Tales de Mileto,
Pitágoras y Euclides.

Euclides plasmó la abstracción, la inducción y la
demostración.
También aportó en la biblioteca de Alejandria escribiendo una
recopilación de libros acerca de propiedades de la geometría y
los números, estableciendo Axiomas de los cuales se desglosa la
geometría que conocemos hoy.

Portada de la primera edición inglesa de los
Elementos de Euclides (Londres 1570)
Matemáticos de la Antiguedad
Matemáticos
Siglo
XVIII a. C.
Ahmés
VI
Tales y Pitágoras
V
Zenón, Hipócrates
IV
Platón, Eudoxo
III
Euclides, Arquímedes y Apolonio
II
Hiparco
I d.C.
Menelao
II
Ptolomeo
III
Diofanto
VII
Pappus, Brahmagupta
VIII
Al-Jwarizmi
XIII
Leonardo de Pisa
Constitución de los Elementos
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Lo que hoy llamamos Elementos de Euclides es un texto
que nos ha llegado mediante una redacción de Teón de
Alejandría del siglo IV y que pudo ser completado
posteriormente con la ayuda de papiros y manuscritos
antiguos, algunos anteriores a Teón, y aunque la redacción
de éste es bastante completa y revisada, no debe olvidarse
que es posterior en seis siglos a la redacción original, a la
cual pudo haberse introducido durante ese lapso buen
número de modificaciones e interpolaciones.
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Los Elementos se componen de trece libros con un total de
465 proposiciones: 93 problemas y 372 teoremas. Gran
parte de ellos se abren con un grupo de definiciones
(términos según el vocablo utilizado por Euclides) a las que
en el primer libro se agregan las proposiciones básicas,
nuestros axiomas, que Euclides distingue entre postulados
y nociones comunes.
Libros I-IV
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Teoría Elemental de la Geometría Plana
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Los primeros cuatro libros de los Elementos, de probable
origen pitagórico, comprenden las proposiciones más
importantes de geometría plana elemental, referentes a
triángulos, paralelogramos, equivalencias, teorema de
Pitágoras, circunferencias e inscripción y circunscripción de
polígonos regulares.
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Libro I
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No hay ninguna introducción o preámbulo a la obra, y el
primer libro comienza abruptamente con una lista de 23
definiciones. Seguidamente se añaden, tal y como se ha
dicho, las 13 proposiciones básicas: postulados y nociones
comunes
Nociones comunes

Las cosas iguales a una misma cosa, son también iguales
entre sí.
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Si se añaden cosas iguales a cosas iguales, los totales son
iguales.

Si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son
iguales.

Si a cosas desiguales se añaden cosas iguales los totales
son desiguales.

Los dobles de una misma cosa son iguales entre sí.
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Las mitades de una misma cosa son iguales entre sí.

Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.

El todo es mayor que la parte.
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Consta de 48 proposiciones (14 problemas y 34 teoremas) y
puede considerarse dividido en dos partes: las primeras 32
proposiciones se refieren a las propiedades de los triángulos,
terminando con el teorema característico de la geometría
euclidiana de ser constante el igual a dos rectos la suma de los
ángulos de cualquier triángulo.
Cabe agregar que el Quinto Postulado, el de las paralelas, por
cuanto se deduce de él la existencia de la paralela única a una
recta desde un punto exterior, no se introduce hasta la
proposición 29, lo que prueba que Euclides trató evidentemente
de evitarlo en las 28 anteriores, grupo de proposiciones que
constituye de por sí una geometría independiente del quinto
postulado.
Las últimas 16 proposiciones del libro se refieren en cambio a
paralelogramos y triángulos y sus equivalencias, terminando con
los teoremas, directo y recíproco, de Pitágoras. La demostración
de ese teorema, según comentaristas antiguos, pertenecería al
mismo Euclides. En ella, Euclides no da la demostración que se da
normalmente en los libros de texto actuales, en los cuales se
aplican proporciones simples entre los lados de los triángulos
semejantes que se forman al trazar la altura correspondiente a la
hipotenusa. Se supone que evitó tal la demostración debido a las
dificultades que trae consigo en el caso de inconmensurabilidad.
Solamente al llegar al Libro V se dedica Euclides a establecer la ya
bien fundamentada teoría de proporciones, y hasta ese momento
evita en lo posible el uso de las mismas.
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Para demostrarlo utilizó en cambio una bella demostración
en la que se usa una figura que se ha descrito a veces
como un molino de viento o como la silla de la novia
(Matehematical Gazette, 11, 1922-1923)
Demostrando que la suma de los cuadrados es igual al
cuadrado sobre la hipotenusa

Euclides. Elementos. Libro I, proposición
47. El teorema de Pitágoras. (Manuscrito
griego 2344, siglo XII.)
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El libro II de los
elementos es uno
de los más cortos,
y su contenido no
tiene mayor
importancia en la
matemática
moderna.
El libro utiliza el
concepto de
gnomon para la
mayoría de las
proposiciones
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Los siguientes libros III y IV estan
dedicados principalmente a la geometría
de la circunferencia.
La proposición más importante es la
constancia del producto de los segmentos
determinados por las secantes trazados
desde un punto interior o exterior.
Aquí se estudian también problemas
relacionados con la circunscripción e
inscripción de poligonos regulares.
Los libros V y VI estudian la teoría general
de las proporciones numéricas.
Se generaliza el teorema de pitágoras.
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Los libros VII al IX tratan la aritmética.
Aquí se estudian la teoría de proporciones,
números primos, mcd , mcm, progresiones
geométricas y propiedades sencillas de cuadrados
y cubos.
El libro IX presenta una resolución importante al
problema de la factorización de un número. Aquí
se reconoce que todo número posee una
factorización única en factores primos, además
que el número de primos es infinito y se
establece el concepto de número perfecto.
El libro X recibe el nombre de “La cruz de las
matemáticas”, en donde se trata la clasificación
de segmentos incomensurables. Hoy se considera
como un linro sobre números irracionales.

Entre otros libros fuera de la obra de
los elementos, Euclides estudió
problemas de la óptica, astronomía y
mecánica.
Los 5 postualdos de Euclides
1. - Una recta puede trazarse desde un punto
cualquiera hasta otro.
2. - Una recta finita puede prolongarse
continuamente y hacerse una recta ilimitada o
indefinida.
3. - Una circunferencia puede describirse con un
centro y una distancia.
4. - Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5. - Si una recta que corte a otras dos forma con
éstas ángulos interiores del mismo lado de ella
que sumados sean menores que dos rectos, las
dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se
cortan del lado en que dicha suma de ángulos
sea menor que dos rectos.
QUINTO POSTULADO DICE LITERALMENTE ASÍ:
 “Si una recta al incidir sobre dos rectas hace los
ángulos internos, del mismo lado, menores que
dos rectos, entonces las dos rectas prolongadas
indefinidamente se encontraran en el lado que
están los ángulos menores que los rectos.”
ALGUNAS FORMULACIONES EQUIVALENTES:
1.- Rectas paralelas son equidistantes.
2.- Dos rectas paralelas guardan una distancia
entre si finita.
3.- Existe un par de triángulos no congruentes,
pero si semejantes.
4.- Por un punto exterior a una recta, sólo cabe
trazar un paralela.
DIFICULTAD Y PROBLEMA:
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Hoy resulta difícil comprender que se considerara polémico este
postulado. Esto es así porque se ha popularizado el postulado
de Tolomeo, ya que es equivalente.

Al leer los postulados tal cual los escribió Euclides es fácil
entender que muchos consideraran el quinto postulado como
algo independiente de los otros cuatro. La pregunta es: ¿Es
realmente un postulado o debe incluirse entre las proposiciones
o teoremas?

Esto es porque desde el inicio hay diversas dificultades
(psicológicas) en aceptarlo, lo cual desarrollo distintas
posiciones frente a éste.

Pues, en toda discusión relacionada con éste, se encuentra el
horror a lo infinito. La posibilidad de que las cosas sucedan en el
infinito les repulsa a los griegos.
INDEPENDENCIA DEL QUINTO POSTULADO:

Después de 22 siglos, tras la escritura de “Los Elementos” se
concluyó que el quinto postulado es independiente de los otros
cuatro.
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La prueba de esto está en que existen dos geometrías en las
que no se cumple este postulado.
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Según Euclides una línea es una longitud sin anchura. Una línea
recta es aquella que yace por igual al respecto de los puntos
que están en ellas.
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La definición de Arquímedes es: La recta es la mas corta de
todas la líneas que tienen los mismos extremos.
APARICIÓN GEOMETRÍAS NO EUCLIDIANAS:
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La independencia del quinto postulado la concluyen Bolyai y
Lovatchevsky, mediante la contradicción matemática y sus
geometrías.
La idea es la siguiente: Si el quinto postulado depende de
los otros cuatro no hace falta incluirlo, pues aparecería
como teoría mas tarde. Por otro lado, si se elimina el
postulado y se añade la negación de este, entonces debe
ser dependiente de los otros cuatro. Así llegaremos a que el
quinto postulado y su contrario son ciertos, lo cual no es
admisible. Por lo que alguna hipótesis es falsa.
Si bien es cierto, con esto no se llegó a una contradicción
alguna, se comprobó que las geometrías de Bolyai y
Lobatchevsky eran consistentes.
Por ejemplo, para negar el quinto postulado, podemos decir
que si pasan rectas infinitas, obtenemos la geometría
hiperbólica de Lobatchevsky.
Importancia y Trasendencia de
Euclides
· Recopilación y resumen de obras previas.
· Geometría como instrumento de
razonamiento deductivo.
· Influencia sobre el pensamiento científico.
· Motivación al posterior desarrollo de
nuevas geometrías.
· Utilidad en distintas disciplinas científicas.
· Vigencia de la geometría plana como
contenido visto en la educación primaria y
secundaria.
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