Área de Ciencias
MA 111
2008-0
07 de octubre de 2015
Matemática 2 (EPE)Matemática
Matemática 2
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Sólidos de Revolución
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Matemática 2 (EPE)Matemática
Matemática 2
2
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Matemática 2 (EPE)
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Matemática 2 (EPE)
4
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Matemática 2 (EPE)
5
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Matemática 2 (EPE)
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SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN
Es la figura espacial que se obtiene al girar una línea
(generatriz) completamente alrededor de una recta fija
(eje), manteniendo todos sus puntos durante el giro, la
misma distancia al eje.
y
y
a
a
b
b
c
c
generatriz
eje
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Superficie de revolución
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SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
Es la figura espacial obtenida al girar una región del plano
completamente alrededor de una recta fija llamada eje.
y
Región
plana
eje
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sólido de revolución
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CILINDRO DE REVOLUCIÓN
Es el sólido que se genera al girar una vuelta completa un
rectángulo alrededor de uno de sus lados.
radio
r
Superficie lateral
h
bases
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PROPIEDADES DEL CILINDRO DE REVOLUCIÓN
Para estudiar las propiedades relativas al área lateral y total
del cilindro, realizaremos el desarrollo de su superficie lateral.
r
bases
r
A rectángulo =
A lateral
h
h
2πr
r
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Área Lateral
2πrh
Área Total
2πrh +
2πr2
= 2πr(h + r)
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VOLUMEN DE UN CILINDRO DE REVOLUCIÓN
El volumen de un sólido (V) es la medida del espacio que
ocupa. En el caso del cilindro, su volumen estará dado por el
producto del área de su base por su altura.
r
V = πr2h
h
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CONO DE REVOLUCIÓN
Es el sólido que se obtiene al girar una vuelta completa un
triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.
h
r
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CONO DE REVOLUCIÓN
Es el sólido que se obtiene al girar una vuelta completa un
triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.
h
r
En donde: g = generatriz
h = altura
r = radio
y de lo cual se desprende que g  r  h
2
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2
2
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PROPIEDADES DEL CONO DE REVOLUCIÓN
Tal como se hizo antes, vamos a efectuar el desarrollo de
la superficie lateral del cono para estudiar sus propiedades
base
r
2r
h
r
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g
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r
Recordar…
l
Asector =
lr
2
En nuestro caso se tendrá:
base
r
2r
Acírculo = πr2
Alateral
Atotal
πr g
πr g  πr 2
g
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VOLUMEN DEL CONO DE REVOLUCIÓN
Es un tercio del producto del área de su base por su altura.
Vcono  31 πr 2h
h
r
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ESFERA
Es el sólido que se obtiene al girar un semicírculo una vuelta
completa alrededor de su diámetro.
PROPIEDADES
R
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Área de la Superficie
Esférica
4πR2
Volumen de la Esfera
4 πR3
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SECCIONES DE LA ESFERA
Cuando un plano secante corta una esfera, la sección
generada siempre será un círculo cuyo tamaño (radio r)
dependerá de su distancia al centro de la esfera.
r
d
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R
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r2 = R2 – d2
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PROBLEMA 1
pág 52 N° 1
Se tiene un cilindro cuyo radio en la base es 40cm y la
altura es de 30cm. Se traza un plano paralelo al eje del
cilindro a una distancia de 24cm del eje. Determine el área
de la sección que se obtiene en el plano.
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PROBLEMA 2
pág 55 N° 4
Un triángulo isósceles de 10m de base y 8m de altura gira
alrededor de una perpendicular (a la base) levantada
desde uno de sus extremos. Calcule el volumen del sólido
así generado.
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PROBLEMA 3
pág 60, N°6
¿Cuántos ladrillos se necesitarán para construir un pozo de
3.45m de profundidad y de 1.10 m de diámetro, si los
ladrillos tienen 12cm de ancho y 6cm de alto? La longitud
del ladrillo representa el espesor de la pared.
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PROBLEMA 4
pág 59 N° 2
Con la comercialización del gas de Camisea, varios
diseñadores están considerando implementar los tanques
de gas compuestos por un cilindro y dos semiesferas. Si el
radio del cilindro es 40cm y su longitud 200cm; calcule el
volumen del tanque. Como este tanque de gas se va a
colocar en la azotea del edificio, se debe pintar con una
pintura anticorrosiva. ¿Cuál será el área que deberá
pintarse?
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