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Conjuntos numéricos: N, Z y Q
1. Introducción a N, Z y Q
2. Tipos de fracciones
3. Representación gráfica de los
números racionales
4. Fracciones equivalentes
5. Orden en Q
6. Operaciones con números
racionales
7. Expresión decimal de un número
racional
8. Expresión racional de un número
decimal
9. Uso del paréntesis y jerarquía de
las operaciones
Índice del libro
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Conjuntos numéricos: N, Z y Q
1. Introducción a N, Z y Q
El hombre desde el principio sintió la necesidad de contar (ovejas,
soldados de un ejército…). Así surge el conjunto N de los números
naturales, que se define como el conjunto:
N = {1, 2, 3, 4, 5...}
Sin embargo, en el mundo occidental, se utilizó el signo negativo para
indicar dichos números. Surge un nuevo conjunto de números, a los
que llamamos números enteros, y se define como el conjunto:
Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
El conjunto de números que resulta de la ampliación de Z es el
conjunto de los números racionales y se representa por:
Q = {a/b con a, b ∈ Z, siendo b ≠ 0}
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2. Tipos de fracciones
Fracción propia: es aquella cuyo numerador es menor que el
denominador y que, al efectuar el cociente, resulta un número menor
que la unidad.
Fracción impropia: es aquella cuyo numerador es mayor que el
denominador y cuyo cociente es mayor que la unidad.
Fracción decimal: es una fracción en la que el denominador es 100 o
una de sus potencias.
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3. Representación gráfica de los números racionales
Para representar los números racionales, consideraremos una recta
horizontal sobre la que indicaremos los números enteros; el punto 0
será el origen.
Para representar la fracción propia 2/3, dividiremos la unidad de
longitud en 3 partes iguales y tomaremos 2.
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4. Fracciones equivalentes
Para simplificar una fracción, dividiremos numerador y denominador
por su máximo común divisor.
Cuando una fracción no se pueda reducir más, diremos que es
irreducible. La fracción a/b es irreducible si y solo si mcd (a, b) = 1.
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5. Orden en Q
Establecemos en Q la siguiente relación de orden:
De esta forma una relación de orden en Q, se transforma en una
relación de orden en Z.
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6. Operaciones con números racionales
Fracciones con el mismo denominador:
Fracciones con distinto denominador:
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6. Operaciones con números racionales
Opuesto de una fracción:
Producto de dos fracciones:
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6. Operaciones con números racionales
Inversa de una fracción:
División de dos fracciones:
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7. Expresión decimal de un número racional
Si efectuamos las divisiones correspondientes de un número racional,
obtenemos números decimales:
En este tipo de números podemos distinguir dos partes:
• Parte entera: las cifras que se encuentran a la izquierda de la
coma.
• Parte decimal: las cifras que se encuentran a la derecha de la
coma.
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7. Expresión decimal de un número racional
Los números decimales que resultan de dividir fracciones son de los
siguientes tipos:
• Decimal exacto: cuando el número de cifras decimales es finito.
• Decimal periódico puro: cuando la parte decimal está formada
por un conjunto de cifras decimales que se repite infinitas veces. A
este conjunto de cifras lo llamaremos periodo.
• Decimal periódico mixto: cuando el número tiene un periodo que
se repite infinitas veces, pero entre dicho periodo y la coma existe
una cifra o grupo de cifras llamada anteperiodo.
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8. Expresión racional de un número decimal
Decimales exactos:
Para expresar un número decimal exacto como una fracción,
escribimos en el numerador el número decimal sin comas y en el
denominador, la unidad seguida de tantos ceros como decimales
haya.
Decimales periódicos puros:
Consideremos N = 0,444… Multiplicamos N por la unidad seguida de
tantos ceros como cifras tiene el periodo y al resultado le restamos N:
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8. Expresión racional de un número decimal
Decimales periódicos mixtos:
Consideremos N = 9,1666... Multiplicamos N por la unidad seguida de
tantos ceros como cifras tiene el anteperiodo para obtener un
número periódico puro: 10N = 91,666...
Y ahora procedemos como lo hacemos para expresar un número
periódico puro en forma de fracción. Multiplicamos el número por la
unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene el periodo y al
resultado le restamos el número periódico puro, en este caso 10N:
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9. Uso del paréntesis y jerarquía de las operaciones
La jerarquía de las operaciones es la siguiente:
1. Corchetes y Paréntesis
2. Multiplicación y división, misma jerarquía
3. Suma y resta, misma jeraquía.
Las operaciones se realizarán de izquierda a derecha, respetando la
jerarquía señalada.
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