MODELOS EN
COMPATIBILIDAD
ELECTROMAGNETICA
Juan C. Fernandez
5-a
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1
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Si las tres dimensiones del sistema cumplen la condición
cuasi-estática se puede utilizar la teoría de circuitos
(elementos concentrados).
S
1
D
3
Camp 2
C
La siguiente complicación del modelo se produce cuando
una sola dimensión no cumple la condición cuasiestática.
o
EM
D << min
I
Este caso se puede analizar por la teoría de circuitos pero considerando
parámetros distribuidos. El paradigma es la línea de transmisión bifilar.
I
E
Q
H
-I
-Q
Se trata de un par de electrodos paralelos por una
longitud L  .
Los electrodos están cargados con distribuciones
de carga iguales y opuestas variables a lo largo de
la línea, creando campo eléctrico que puede
expresarse por una capacitancia distribuida.
Al mismo tiempo circulan corrientes iguales y
opuestas variables a lo largo de la línea, creando
campo magnético que puede expresarse por una
inductancia distribuida.
La potencia
fluye a lo largo de la línea.
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2
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
I
E
Q
En el modelo de constantes distribuidas la línea
bifilar se puede modelar como una sucesión de
cuadripolos en cascada de dimensión longitudinal
pequeña.
H
-I
-Q
i(z,t)
v(z,t)
i(z+dz,t)
v(z+dz,t)
z
Cada cuadripolo cumple así la condición
cuasi-estática y puede modelarse con la
teoría de circuitos.
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3
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
La energía electromagnética puede ingresar a una línea de transmisión en forma de
excitación concentrada o distribuida.
Las fuentes concentradas se aplican en un punto determinado de la línea y la señal
se propaga por la línea desde allí. Se simulan mediante fuentes de tensión y/o
corriente conectadas en el sitio de ingreso de la excitación.
En el caso de una fuente distribuida la excitación se distribuye a lo largo de la línea.
Se simula esta situación mediante una onda, habitualmente plana, que ilumina a la
línea en toda o parte de su extensión.
Una dada excitación puede generar
+
distintas respuestas de la línea. La
I
V /2
fuente de la figura produce corrienZ
Z
I
V /2
tes que pueden representarse como
_
+
+
la superposición de corrientes en
V
Z
Z
+
=
modo común (modo de antena) y co+
rrientes en modo diferencial (modo
I
V /2
Z
Z
de línea de transmisión).
▔
s
a2
s
a2
s
t2
Vs/2
It2
L1
L2
▔
s
L1
L2
▔
L1
L2
+
_
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4
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
LINEA IDEAL – MODELO CIRCUITAL
Una línea sin pérdidas se denomina línea ideal.
En este caso los conductores de la línea son considerados perfectos (  ) y
el dieléctrico entre ellos tampoco tiene pérdidas.
En este caso el modelo circuital de la línea sólo tiene elementos reactivos.
La capacidad está asociada al campo eléctrico creado por las cargas en los
conductores de la línea y la inductancia al campo magnético generado por
las corrientes que circulan por ella.
Queda así el cuadripolo de la figura, donde Ldz es la inductancia del tramo y
Cdz su capacidad.
i(z,t)
v(z,t)
i(z+dz,t)
i(z,t)
v(z+dz,t)
v(z,t)
L dz
C dz
A
i(z+dz,t)
v(z+dz,t)
z
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5
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
LINEA IDEAL – MODELO CIRCUITAL
L dz
i(z,t)
A
C dz
v(z,t)
Aplicando la 1ra. regla de Kirchhoff al nodo A:
i(z+dz,t)
i ( z  dz )  i ( z )  Cdz
v(z+dz,t)
v
t
 0
z
Aplicando la 2da. regla de Kirchhoff al circuito
marcado:
i
v ( z  dz )  L dz
t
 v(z)  0
La solución
a las
del telegrafista
enTaylor
una línea
son
En estas
ecuaciones
se ecuaciones
puede desarrollar
en serie de
paraideal
obtener:
ondas de tensión y corriente que se propagan a lo largo de la línea.
i
v
v
i
 C
 L
Ecuaciones del telegrafista
z
z
t
z
z
t
z
z
Las ecuaciones se pueden desacoplar para obtener:
 v
2
z
2
 v
 i
2
2
 LC
t
2
0
z
2
 i
2
 LC
t
 0
2
Estas son ecuaciones de onda. La solución general es del tipo:
v ( z , t )  f ( z  ct )
i ( z , t )  g ( z  ct )
con
c 
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1
LC
velocidad de propagación
6
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
LINEA IDEAL – MODELO CIRCUITAL
v ( z , t )  f ( z  ct )
i ( z , t )  g ( z  ct )
c 
con
velocidad de propagación
1
LC
Las ondas de tensión y corriente están ligadas entre sí por las ecuaciones del
telegrafista:
v( z, t)
L
f ( z  ct ) 
L
g ( z  ct )
 Z0 

i( z, t )
C
C
impedancia característica
Parámetros de líneas básicas
L
Tipo
Coaxil
Bifilar
Cinta

2


ln b a 
ln  d a 

a
b
c  c0
C
2 
ln b a 

ln  d a 

b
a
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c
Z0
1/

 
1/

 
1/
r

 
Z0 
377 
r
7
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MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
LINEA IDEAL – MODELO CIRCUITAL
Onda progresiva:
v ( z , t )  f ( z  ct )
Onda regresiva:
v ( z , t )  f ( z  ct )
1
i( z, t ) 
f ( z  ct )
Z0
i( z, t )  
1
Z0
f ( z  ct )
se propaga según +z
se propaga según -z
La solución general al problema de la línea ideal es la superposición de una onda
progresiva y una onda regresiva
Diferencias entre el modelo de constantes concentradas y el modelo de
constantes distribuidas
I
I
V
V
V
1
2
3
v(z
)
• La corriente es la misma a lo largo del circuito.
• Hay caídas de tensión sólo sobre los elementos
concentrados del circuito.
i(z)
z
• La corriente y la tensión cambian continuamente
a lo largo del circuito.
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8
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
LINEA CON PERDIDAS – MODELO CIRCUITAL
• Pérdidas conductoras por efecto Joule
• Pérdidas dieléctricas
Ecuaciones del telegrafista:
i(z,t)
L dz
A
R dz
i(z+dz,t)
i
z
v(z,t)
C dz
G dz
v(z+dz,t)
 Gv( z )  C
z
v
t
v
z
z
2
z
z
2
 i
2
z
2
v
 RG v   RC  LG

 RG i   RC  LG
i

t
t
2
dz
2
i t

i( z, t )  is ( z ) e
 v
2
 LC
t
2
 i
2
 LC
No hay solución general en este caso como en el caso ideal.
Conviene trabajar en el dominio de la frecuencia. Suponemos:
d vs
z
Ecuaciones desacopladas:
 v
v( z, t)  v s ( z) e
  R i( z )  L
t
2
i t

 RG  i   RC  LG    LC v s
2
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i
t
z
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MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
LINEA CON PERDIDAS – MODELO CIRCUITAL
Ondas armónicas:
2

d vs
dz
2

d vs

dz
    i 
 z
2
 LC  RG  i   RC  LG
2
propagación
v( z, t)  v0 e
2
 RG  i   RC  LG    LC v s
2
  vs  0
2

atenuación
e
i ( t   z )
i( z, t ) 
v0
e
 z
e
i ( t   z )
onda progresiva
Z0
v( z, t)  v0 e
 z
e
i ( t   z )
i( z, t )  
v0
e
 z
e
i ( t   z )
onda regresiva
Z0
    i 
ZY
Z 0  Z 0  i Z 0 
Z  R  i L
c 
Z Y
Y  G  i C
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

 c ( )
  cT 
2

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MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
LINEA CON PERDIDAS – MODELO CIRCUITAL
Bajas pérdidas:
R   L
    i
c


1

G   C
   LC
  R
G 
  
  

2  L C 
LC
Z 0  Z 0  i Z 0

Z 0 
L
C
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Z 0  G
R 

  Z 0
Z 0 

2  C L 
11
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Líneas básicas:
Coaxil
Bifilar
Doble
cinta
a
a
d
b
b
2a
t
C (F/m)
L(Hy/m)
2 
ln( b a )

2 
G( m)-1
Alta
frecuencia
R (/m)
Z0 ()
Baja
frecuencia
R ( / m)
Z0 ()
ln( b a )
2


eq
ln( b / a )

2
ln( b / a )
  1

 a
2

b
ln( d a )
a
a
ln( d a )
2 
eq
ln( d / a )
Rs  1
1
  
2  a
b
1 

2 bt 


t
 
b

eq
b
a
Rs
2 Rs
 a
b
ln( d / a )
a
b
2
a
2
2
bt
R  i L
G  i C
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12
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Líneas de cinta:
Z 01 
stripline
w
h

t
h
b
 C  8 . 686

4 K
1 k
2
 
 /   0 /
 w 
k  1 / cosh 

 2b 
v  c

 r  120  /
K (k ) 

/2
0
r
 r ( )
d
1  k sen 
2
2
R s   w / b  ln( 4 b /  t ) 
 b  ln 2   w / 2 b 
w
t
microstrip
 eff 
r 1

2
 r 1 
2
b

vc
 c  27 . 3

K (k )
 eff
w /b  1
Z0 
w /b  1
Z0 
2
w 

 0 . 04  1   

b  

 1  12 b / w
1
0
2  eff
0
w 
 8b
ln 


4b 
 w
1
 eff w b  1 . 393  0 . 667 ln  w b  1 . 444
(  eff  1)  r tan 
(  r  1)  eff

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13

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Representación matricial de la línea bifilar:
Ecuaciones del telegrafista:
para señales armónicas:
di s
dz
i
v
 Gv( z )  C
z
i t
v ( z , t )  v s ( z )e
t
dv s
  G  i  C  v s ( z )   Y v s ( z )
dz
v
  R i( z )  L
z
i t
i( z , t )  is ( z )e
i
t
tenemos:
   R  i L  i s ( z )   Z i s ( z )
ecuaciones que pueden escribirse en forma matricial como:
 Z  v s 
 
0   is 
d v s   0
   
dz  i s    Y
las ecs. del telegrafista en el caso armónica tienen solución:
v( z, t)  V e
i ( t  z )
 Ve
i ( t  z )
i( z, t ) 
V
e
i ( t  z )
Z0

V
e
i ( t  z )
Z0
    i 
Z0 
Z /Y
estas soluciones pueden escribirse en forma matricial (sobreentendiendo el
factor eit):
 i z
v s ( z )  1

 
i
(
z
)
 s
 1 Z 0
 e

1 Z0 0
1
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0  V  

i z  
e  V  
14
ZY
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Representación matricial de la línea bifilar: matriz de transmisión
v s ( z )  1

 
 i s ( z )  1 Z 0
 i z
 e

1 Z0 0
1
0  V  

i z  
e  V  
z
z1
v s ( z1 )  1


i
(
z
)
 s 1  1 Z 0
 i z1
 e

1 Z0 0
1
0  V  

i z  
e 1  V  
 v s ( z 1 )   cos[  ( z 1  z 2 )]

 
 i s ( z 1 )    iY 0 sen[  ( z 1  z 2 )]
Longitud eléctrica
v s ( z 2 )  1

 
i
(
z
)
 s 2  1 Z 0
z2
0  V  

i z  
e 2  V  
 iZ 0 sen[  ( z 1  z 2 )]   v s ( z 2 ) 


cos[  ( z 1  z 2 )]   i s ( z 2 ) 
 z 11
Z 
 z 21
z 12  1  A


z 22  C  1

iZ 0
 cos[  ( z 1  z 2 )]


1
D  sen[  (z 1A  z B
)]


2
 y 11
Y 
 y 21
y 12  1  D


y 22  B   1
 
iY 0
 cos[  ( z 1  z 2 )]



1
A  sen[  ( z 1  z 2 )] 
 C
 i z 2
 e

1 Z0 0
1
D 
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

cos[  ( z 1  z 2 )] 
1
1


cos[  ( z 1  z 2 )] 
15
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Representación matricial de la línea bifilar: circuitos  y T
z
z1
v s 
 
 is 
v s 
 
 is 
z2
Yc
Ya
Yb
z1
Z2
Z1
Z3
z1
v s 
 
 is 
v s 
 
 is 
iY 0 cos[  ( z 1  z 2 )]  1
Y a  Y b  y 11  y 12 
z2
Y c   y 12 
sen[  ( z 1  z 2 )]
Z 1  Z 2  z 11  z 12 
z2
Z 3  z 12 
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sen[  ( z 1  z 2 )]
iY 0
iZ
iZ
0
cos[  ( z 1
 z 2 )]  1
sen[  ( z 1  z 2 )]
0
sen[  ( z 1  z 2 )]
16
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Línea bifilar cargada
v( z, t)  V e
i( z, t ) 
ZL
Z0
v( z, t)
0
i( z, t )
v ( 0 , t )  (V   V  ) e
V
e
i ( t  z )
Z0
z
L 
V
i ( t  z )
i t

V
 Ve

V
i ( t  z )
e
i ( t  z )
Z0
 ZL
z0
 Z L i(0, t ) 
ZL  Z0
ZL  Z0
ZL
Z0
(V   V  ) e
i t

(V   V  )
(V   V  )

ZL
Z0
coeficiente de reflexión
V L  V   V   (1   L ) V 
L 
Pi
VL
V
1 L 
R 
ZL
z
0
ZL  Z0
Pt
Pr
Z0
2ZL
coeficiente de transmisión
 Pr 
 L
 Pi 
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2
T 
 Pt 
 Pi 

RL Z 0
ZL
2
L
2
17
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Ondas estacionarias
L 
ZL
Z0
i( z, t ) 
V
Z0
e
i (  t  kz ) 0
 V e
i (  t  kz )

V

V
ZL  Z0
L 
ZL  Z0
VL
V
1 L 
2ZL
ZL  Z0
Cortocircuito: ZL = 0  L = -1 , L = 0 , R = 1 , T = 0
z
v( z, t)  V e
V
i (  t  kz )
e
e   e   2 iV e
V
V
 2 e
 sobretensión
e e
 e
 V e
i (  t  kz )
i t
 i kz
i t

i t
i kz )

L
 i kz

i kz )
sen ( kz )
i t
L
Z0
Z0
cos( kz )
Z0
sobrecorriente
onda estacionaria
Circuito abierto : ZL    L = 1 , L = 0 , R = 1 , T = 0
v( z, t)  V e
i( z, t ) 
V
e
i t
i t
e
e
 i kz
 i kz
 L e
i kz )
 L e
i kz )
  2V e
   2i V
i t

Z0

cos ( kz )
e
i t
sen ( kz )
Z0
FIUBA 2008
18
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Ondas estacionarias (cont.)
L 
Z0
ZL
V
V

ZL  Z0
ZL  Z0
L 
VL
V
1 L 
2ZL
ZL  Z0
z
0
Cortocircuito o circuito abierto: |L| = 1  onda estacionaria
Adaptación:
ZL = Z0  L = 0
R=1
 onda viajera
Pérdida de inserción (return loss): RL   10 log
10
( R )   20 log
R=0
10
En general: |L|  1  relación de onda estacionaria ROE 
1  ROE  
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 
L
1 L
1 L
19
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Ondas estacionarias (cont.)
L 
Z0
ZL
V
ZL  Z0

ZL  Z0
V
z
v( z, t)  V e
0

2kz+
Vm
i ( t  k z )
1  
v( z, t)  V 1   L e
v(z)
VM
L 
L
V
e
i ( 2 k z  )
Máximos:
2 k z M    2n
Mínimos:
2 k z m    ( 2 n  1)
ROE 
VL
1 L 
i2k z
e

2
2ZL
ZL  Z0

i ( t  k z )

V M  V  1   L


V m  V  1   L

V MAX
V min
FIUBA 2008
20
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Impedancia de onda
V
L 
z
v( z, t)  e
0
i( z, t )  e
Z (z) 
v( z, t)
i( z, t )
 Z0
e
e
i  z
i  z
 L e
i z
 L e
i z
i t
i t
V

L 
ZL  Z0
V
ZL
Z0
ZL  Z0

e
i z
 V  i 
e

Z
 0
 V e
z

V
Z0
Z (z)  Z 0
i z
e
 V
i z
VL
V

e
2ZL
1 L 
i t
e
i z
 L e
 V  i  t i 
e
e
 
Z
0


ZL  Z0
z
i z
 L e

i z
Z L cos(  z )  i Z 0 sen(  z )
Z 0 cos(  z )  i Z L sen(  z )
Casos particulares
línea adaptada
línea cortocircuitada
línea abierta
Z L  Z0

Z (z)  Z 0
ZL  0

ZL  

Z ( z )   i Z 0 tan (  z )
Z ( z )   i Z 0 cot an ( z )
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
21
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Línea con generador y carga
V0
Z Li  Z 0
i 
ZL1
I0
Z0
Z Li  Z 0
v1 ( z ) 
i1 ( z ) 
e
e
i ( d  z s )
  2e
 i ( d  z s )
Z
0

 Z I  e
2 Z 1    e
  2e
z  zs :
v2
i2
e
(z) 
i z s
i z s
  1e
  1e
 i z s
Z

I0  e
2 1   1  2 e
 i z s
 i 2 d
i z s
0
2Z 0
i z s
 Z I  e
1    e
0
1
2

i ( d  z s )
0
0
i ( d  z s )
 i 2 d
 i ( d  z s )
0
0
e
(z) 

I0  e
2 1  1 2e
i ( d  z s )
v(z) ZL2
z
0
z  zs :
i(z)
+
1
2
  1e
 i z s
  1e
 i z s

 i 2 d

 i 2 d

zs
  2e
  2e
d
 i ( d  z s )
0
 i ( d  z s )
V e
0
V e
0
 iz
  2e
i ( z  2 d )

V e
 i z
  2e
i ( z  2 d )

0
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V e
i ( z  d )
i ( z  d )
  1e
  1e
 i ( z  d )
 i ( z  d )


22
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Línea con generador y carga
i 
V0
Z Li  Z 0
ZL1
I0
Z0
Z Li  Z 0
V L1  v1
I L1
e
 i (0) 
i ( d  z s )
i ( d  z s )
  2e
  2e
V L2  v 2 (d ) 
I L 2  i2 ( d ) 
e
i z s
  1e
  1e
 i z s
 i ( d  z s )
Z
0
i z s
 i z s

  1e
 i 2 d
 i 2 d
2
  1e
 i 2 d
i z s
2
0
1

1

i ( d  z s )
I0  e
0
i ( d  z s )
 i 2 d
 Z I  e
1    e
 Z I  e
1    e
0
2Z 0

I  e
0 0
0
2 1   1  2 e
 i z s
zs
2 1   1  2 e
2Z 0
i z s
Z
 i ( d  z s )
1
e
v(z) ZL2
z
0
e
(0) 
i(z)
+

d
  2e
 i ( d  z s )
V 1   e
0
 i d
1
  2e
 i ( d  z s )
V 1   e
0
 i d
1
V 1   e
0
 i d
2
 i z s

FIUBA 2008
V 1   e
0
 i d
2
23
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
La ecuación BLT
e
v (0) 
i ( d  z s )
e
v(d ) 
i z s
  2e
  1e
 i z s

Z
 i ( d  z s )
Z


 e
0I0
2 1  1 2 e

0I0  e
2 1  1  2 e
i z s
i ( d  z s )
 i 2d
  1e
 i z s

 i 2d

V
  2e
0
 i ( d  z s )
1   2 e
V
1   1 e
0
V0
 i d
ZL1
 i d
i(0) 
i(d ) 
e
i ( d  z s )
  2e
i d
   1

1   2   e id

e

 2
0
1
i ( d  z s )
0
 i ( d  z s )
0
2
0
 i 2 d
e
0
i z s
  1e
 iz s
1
0
 iz s
1
 id
 i d
0
2
 i(0) 
1 1   1




Z0  0
i ( d ) 
   1

1   2   e i d
1
d
1
 i 2 d
2Z 0
zs
2
i z s
0
v(z) ZL2
 e i  z s V 0  Z 0 I 0  / 2 


i ( d  z s )



e
V

Z
I
/
2
0
0 0


 Z I  e
V 1   e
  e

2 Z 1    e
 Z I  e   e V 1   e
1    e 
 i ( d  z s )
I0
Z0
i(z)
z
0
 v ( 0 )  1   1

  
v (d )  0
+
2
0
id


 2
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e
1
 e i  z s V 0  Z 0 I 0  / 2 


i ( d  z s )



e
V

Z
I
/
2
0
0 0


24
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
La ecuación BLT (cont.)
V0
ZL1
i(z)
+
I0
Z0
v(z) ZL2
z
0
 v ( 0 )  1   1

  
v (d )  0
zs
   1

1   2   e id
0
d
i d


 2
e
1
Excitaciones
 e i  z s V 0  Z 0 I 0  / 2 


i ( d  z s )



e
V

Z
I
/
2
0
0 0


Resonancias en la línea
Respuesta de las cargas
Llamando:
 v (0 ) 
V  

v (d )
1
  
 0
0 

2
 e i  z s V 0  Z 0 I 0  / 2 
Vs  

i ( d  z s )



e
V

Z
I
/
2
0
0 0


 i(0) 
I  

i ( d ) 
  1
D   i d
e
id


 2
e
1
U  
0
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0

1
V  U    D V s
1
I  U    D V s
1
25
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Líneas multifilares
1
2
3
Línea bifilar:
v
z
Conductor de
referencia
i
z
Se extiende a una línea multifilar
en forma matricial:
 R i  L
 Gv  C
d
i
t
v
t

dz
di s

v s ( z )   Z i s ( z )  
dz
dv s
  ( R  i L ) i s
  ( G  i C ) v s
dz
0
d
i s ( z )   Y v s ( z )  
dz
• [vs(z)] es el vector de tensiones entre cada conductor y la referencia,
• [is(z)] es el vector de corrientes en cada conductor
• Z e Y son las matrices de coeficientes de impedancia y admitancia.
• Estas matrices son cuadradas de (nn).
• Sus elementos incorporan las capacidades parciales e inductancias mutuas
entre los conductores.
FIUBA 2008
26
0
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Líneas multifilares (cont.)
d
1
2
3
v s ( z )   Z i s ( z )  
d
0
dz
Conductor de
referencia
i s ( z )   Y v s ( z )  
0
dz
 R 1  R g 11  i  L11
 R
 i  M 21
g 21
Z  
...

 R gn 1  i  M n 1
 C 11

 C 21
Y  i 
 ...

  C n1
R g 12  i  M 12
...
R 2  R g 22  i  L 22
...
...
...
...
...
 C 12
...
C 22
...
...
...
 Cn2
...
R g 1n  i M 1n

R g 2 n  i M 2 n 

...

R n  R gnn  i  L nn 
 C 1n 

 C2n

... 

C nn 
Estas ecuaciones se pueden desacoplar:
d
dz
2
2
v s ( z )   P v s ( z )   0
d
dz
2
2
i s ( z )   R i s ( z )   0
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P  ZY
R  YZ
27
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Líneas multifilares (cont.)
Líneas sin pérdidas:
1
2
3
 L11

M 21
Z  i 
 ...

 M n1
Conductor de
referencia
d
dz
2
2
d
v s ( z )   P v s ( z )   0
P  ZY  R  YZ  
dz

2
c
2
2
2
M 12
...
L 22
...
...
...
...
...
M 1n 

M 2n

... 

L nn 
 C 11

 C 21

Y  i
 ...

  C n1
[U ]
dz
2
2
 f s ( z ) 
...
C 22
...
...
...
 Cn2
...
 C 1n 

 C2n

... 

C nn 
P  ZY
i s ( z )   R i s ( z )   0
d
 C 12
R  YZ

2
c
2
 f s ( z )  0
• Ecuaciones desacopladas
C  
1
v
1

L
2
• Modos independientes
• Todas las ondas viajan a la
misma velocidad
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28
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Líneas multifilares (cont.)
1
2
3
Conductor de
referencia
D   S P S 
Líneas con pérdidas:
En el caso general de pérdidas, las matrices P y R
no son diagonales.
Puede demostrarse que es posible diagonalizar
estas matrices para obtener una única matriz:
1
 T R T 
1
  12

0
 
 0

 0
0

2
2
...
...
0
...
0
...
0 

0 
 

0

2
 n 
 
2
las matrices de transformación de similaridad cumplen la relación:
T   S  1
Los autovalores de las matrices P y R son las constantes de propagación de
cada modo, generalmente complejas cuando hay pérdidas. La velocidad de
propagación de cada modo depende de la frecuencia.
Esto implica que las tensiones y corrientes modales sufren generalmente
dispersión al propagarse en una línea multifilar.
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29
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Líneas multifilares (cont.)
1
2
3
Líneas con pérdidas. Soluciones modales:
Los valores modales son superposiciones de las
tensiones y corrientes en cada hilo:
 ( z )   S v s ( z ) 
 ( z )   T is ( z ) 
Conductor de
referencia
D   S P S 
1
 T R T 
1
  12

0
 
 0

 0
0

2
2
...
...
0
...
0
...
0 

0 
 
0 

2
 n 
 
2
En el espacio de tensiones y corrientes modales valen las nuevas ecuaciones
2
del telegrafista: d 2
d
dz
con soluciones:
2
 ( z )   D  ( z )  
0
dz
2
 ( z )   D  ( z )  
0
 ( z )   E  ( z ) a   E  ( z ) b 
i ( z )   z 0  1 E  ( z ) a   E  ( z ) b 
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constantes de
integración
matrices de
propagación
30
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Líneas multifilares (cont.)
Líneas con pérdidas. Soluciones modales:
Matrices de propagación:  e  i 1 z

E  ( z )   



0
0
e
 i 2 z
...
...
0
0
...
0
0
0


0 
 i   z
 e
0 

 i z
e n 
0
 1

0
   
0

0
0
...
2
...
0
...
0
0
0 

0

0 

n
1
1
[z0] es una matriz de impedancias características modal: z 0     S Z T 
La distribución de tensiones y corrientes sobre los conductores (que son las
que se miden y las que cumplen las condiciones de borde) se pueden expresar a
partir de las soluciones modales:
v s ( z )   S -1  ( z )   S -1 E  ( z ) a   S -1 E  ( z ) b 
i s ( z )   T   1  ( z )   T   1 z 0   1 E  ( z ) a   T   1 z 0   1 E  ( z ) b 
podemos definir matrices de impedancia/admitancia característica de la línea
multifilar
Z 0   Y 0  1  S  1  z 0 T 
Y 0   T  1  z 0  1 S 
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31
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
En resumen, una forma sistemática de resolver el problema de una línea
multifilar es seguir los pasos:
1) determinar las matrices de impedancia/admitancia [Z] e [Y] de
la configuración;
2) hallar la matriz de propagación [P] = [Z][Y] (o [R] = [Y] [Z]);
3) diagonalizar la matriz de propagación mediante un algoritmo de cálculo de
autovalores/autovectores:
[D] = [2] = [S][P][S] -1 = [T][R] [T] -1 ([T]' = [S] -1)
4) resolver las ecuaciones de onda desacopladas modales:
 ( z )   E  ( z ) a   E  ( z ) b 
i ( z )   z 0  1 E  ( z ) a   E  ( z ) b 
con E  ( z )   e  i  z
1
1
y z 0     S Z T 
5) convertir los vectores modales en vectores de tensiones y corrientes
medibles:
v s ( z )   S -1  ( z )   S -1 E  ( z ) a   S -1 E  ( z ) b 
i s ( z )   T   1  ( z )   T   1 z 0   1 E  ( z ) a   T   1 z 0   1 E  ( z ) b 
6) determinar las constantes [a] y [b] a partir de las condiciones de borde.
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