MODELOS EN
COMPATIBILIDAD
ELECTROMAGNETICA
Juan C. Fernandez
5-c
FIUBA 2008
1
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 1
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Scattering (dispersión)
Modelos específicos:
Objeto
Onda
Modelos generales
dispersor
• utilizanbásicas:
el modelo de circuito
de elementos
distribuidos
Hipótesis
dispersada
Onda
• son más sencillos incidente
e intuitivos que los modelos generales
• Los conductores se consideran cilindros rectos de sección constante,
• representan el acoplamiento mediante fuentes de tensión y corriente
paralelos y sumergidos en un medio dieléctrico paramagnético sin pérdidas.
distribuidas
• La separación entre los conductores es mucho mayor que su radio y pequeña
• son aproximaciones
frente a la longitud de onda de la radiación.
de Taylor:
• •Modelo
Las corrientes
inducidas son del tipo línea de transmisión.
parte
de total
las ecuaciones
de punto
Maxwell
rotorespara
calcular
las tensiones
y
• El
campo
en cualquier
deldel
espacio
la suma
del campo
incidente,
corrientes
inducidaspor
porlos
lasconductores
ondas electromagnético
sobre la línea creado
el
campo dispersado
y un campo cuasi-estático
por la distribución
de cargas y corrientes en los conductores. Este último
•Modelo
de Agrawal:
campo se desprecia si el radio de los conductores es pequeño, como
parte de las ecuaciones de Maxwell y considera que el campo eléctrico
asumiremos en nuestra presentación.
tangencial a lo largo de los conductores puede verse como una serie de
fuentes de tensión distribuidas a lo largo de la línea.
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2
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Modelo de Taylor
Notación:
Onda
incidente
Onda
dispersada
Onda
reflejada
en tierra
• E(i) : Campo eléctrico de la onda incidente.
• E(r) : Campo eléctrico de la onda reflejada en
el suelo conductor perfecto.
• E(e) = E(i) + E(r) : Campo eléctrico "efectivo" o
"externo" que actúa sobre la línea.
• E(s) : Campo eléctrico dispersado por la línea.
• E = E(e) + E(s) : Campo eléctrico total.
y símbolos similares para el campo magnético.
En el modelo de Taylor el objetivo es reescribir las ecuaciones del
telegrafista incluyendo la influencia del campo externo sobre la línea.
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3
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Modelo de Taylor
•
•
•
•
•
E(i) : Campo eléctrico de la onda incidente.
E(r) : Campo eléctrico de la onda reflejada en el suelo conductor perfecto.
E(e) = E(i) + E(r) : Campo eléctrico "efectivo" o "externo" que actúa sobre la línea.
E(s) : Campo eléctrico dispersado por la línea.
E = E(e) + E(s) : Campo eléctrico total.
Partimos de las ecs. de Maxwell del rotor:
E(e)
z
x
  E (r )   i  H (r )
  H ( r )  i   E ( r )  j( r )
H(e)
i(z)
Ex
C
z
+
y
v(z)
S
d
   E   nˆ dS   i   H  nˆ dS
-Hy
S
-i(z)
a
de la primera ecuación hallamos el flujo
magnético m sobre una superficie entre
ambos conductores de longitud z << :
S
C
0
 E  dl   i 
mS
C
con las convenciones y notación de la figura:
z  z
d
 E  dl   E

x
( x , z   z )  E x ( x , z ) dx 
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 E
z
z
( 0 , z )  E z ( d , z ) dz   i   m S
4
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Modelo de Taylor
z  z
d
 E  dl   E
C
E(e)
x
( x , z   z )  E x ( x , z ) dx 
Ex
C
z
+
y
S
d
ideal
d
 E ( x , z   z )  E
Como z <<  :
x
( x , z ) dx   i   m S
0
-Hy
-i(z)
línea
En tal caso el campo E es cero dentro de los
conductores y la segunda integral se anula:
x
v(z)
( 0 , z )  E z ( d , z ) dz   i   m S
z
H(e)
i(z)
z
Consideramos primero una
(conductores perfectos).
0
z
x
 E
d
d
 E x ( x , z   z )  E x ( x , z ) dx
 z
0

E x ( x, z )
z
0
d
dx   z
d
E

dz
x
( x , z ) dx
0
Definimos la diferencia de tensión cuasi-estacionaria entre los
conductores de la línea bifilar como:
a
d
v ( z )    E x ( x , z ) dx
0
d
d
 E x ( x , z   z )  E x ( x , z ) dx
0
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 z
d
dz

0
E x ( x , z ) dx    z
dv ( z )
dz
5
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Modelo de Taylor
d
d
d

 E x ( x , z   z )  E x ( x , z ) dx
0
0
v ( z )   E x ( x , z ) dx
E(e)
Ex
 mS 
C
z
S
d
  H  nˆ dS
 
 z   i  z

 H
0
d
dz
-
y
dz dx    z
z
d
 H y dx 
dv
  i
dz
dv
a
dz
d

(e)
y
H
y
dx
0
H
y
dx
0
El campo magnético que aparece en esta expresión
es el campo total: H = H(e) + H(s).
-i(z)
H
dz
d
0
-Hy
 i 
d z  z
S
dv
v(z)

dv ( z )
 z  i  m S
dz
Pero:
+
y
dv
Queda entonces:
H(e)
i(z)
dz
E x ( x , z ) dx    z
0
z
x
 z
d
d
d
  i   H
(e)
y
dx  i    H
0
(s)
y
dx
0
( x , z ) dx  v s 1 ( z )
d
 i 
0
Fuente de tensión distribuida
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
0
H
(s)
y
( x , z ) dx   i  L i ( z )
6
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Modelo de Taylor
dv
dz
d
 i 

H
(e)
y
d
d
  i   H
(e)
y
dx  i    H
0
(s)
y
dx
0
( x , z ) dx  v s 1 ( z )
d
 i 
0
Fuente de tensión distribuida
H
(s)
y
( x , z ) dx   i  L i ( z )
0
d
1ra. ecuación
dv ( z )
 i L i ( z )  v s1 ( z )
dz
v s 1 ( z )   i 
(e)
y
( x , z ) dx
0
L 
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
H

d 
ln  
 a
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MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Modelo de Taylor
Einc
  H ( r )  i   E ( r )  j( r )
x
S
Hinc
Er
r
i(z)
z
+
y
De la segunda ecuación de Maxwell del rotor:
z
   H   nˆ dS  i   E  nˆ dS   j  nˆ dS
v(z)
d
S
-
a
C
S2
S1
S
S
La superficie cerrada S se puede pensar como la
superposición de dos superficies abiertas S1 y S2
separadas por la curva C.
-i(z)
nˆ 2
Calculamos el flujo de esta expresión a
través de la superficie cerrada S que rodea
uno de los conductores del par:
nˆ 1
Por el teorema de Stokes, el flujo del rotor de un
campo vectorial a través de cada superficie abierta es
igual a la circulación del campo a lo largo de la curva C.
Como el sentido de la circulación es opuesto para cada
superficie abierta, las circulaciones (o los flujos) son de
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igual magnitud
y signo opuesto y se anulan entre sí.8
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Modelo de Taylor
   H   nˆ dS  i   E  nˆ dS   j  nˆ dS
z
Einc
Así se anula la primer integral y tenemos:
S
x
S
Hinc
S
S
 j  nˆ dS
0
S
El flujo del vector densidad de corriente a
través de S solamente tiene valor no nulo
sobre las tapas del cilindro:
r
z
+
y
i    E  nˆ dS 
Er
i(z)
S
v(z)
d

-
j  nˆ dS  i ( z   z )  i ( z ) 
i
z
z
S
-i(z)
a
El campo eléctrico no dará flujo sobre las superficies de las
tapas, ya que consideramos que es nulo dentro de los conductores y podemos tomar la superficie lateral externa pero muy
cercana al conductor. Entonces:
z   z 2

  E
S
z
i   E  nˆ dS  i 
r rdzd
  i  2  a  z  E r ( z )   i   ( z )  z
0
donde (z) es la densidad lineal de carga a lo largo del conductor.
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MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Modelo de Taylor
z
Einc
x

S
j  nˆ dS 
S
Hinc
i
z
v(z)
d
-
i    E  nˆ dS 
S
 j  nˆ dS
0
S
i    E  nˆ dS  i   ( z )  z
S
i( z )
r
+
z
z
Er
i(z)
y
En resumen, tenemos:
donde:
z
 i  ( z )  0
La carga acumulada sobre la línea está asociada únicamente al campo dispersado, ya que
el campo exterior tiene sus fuentes fuera de
la línea, de modo que podemos escribir:
-i(z)
 (z)  C v
(s)
(z)
donde C es la capacidad por unidad de longitud de la línea.
Esta tensión no es la tensión total entre los conductores, porque está
asociada sólo al campo dispersado.
a
Podemos escribir:
d
v
(e)
(z)  

0
v( z)  v
(e)
(z)  v
(s)
(z)

(e)
(s)
E x ( x , z ) dx  i   ( z )  C v ( z )  i  C  v ( z ) 


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d
E
0
(e)
x

( x , z ) dx 

10 
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Modelo de Taylor
i( z )
z
Einc
x
z
Er
r
i(z)
E
(e)
x
0

( x , z ) dx 

d
z
+
y
 i  ( z )  0
d
Análogamente al caso de la primera ecuación del
telegrafista, podemos definir una corriente
aplicada distribuida sobre la línea:
S
Hinc

i  ( z )  i C  v ( z ) 

 i C
v(z)
d

E x ( x , z ) dx  i s 1 ( z )
(e)
0
-
de donde nos queda la segunda ecuación del telegrafista:
-i(z)
d
a
2da. ecuación
i( z )
z
i s1 ( z )   i  C
 i  C v ( z )  i s1 ( z )
C 


(e)
E x ( x , z ) dx
0
ln( d / a )
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MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Modelo de Taylor
En el esquema de Taylor para una línea ideal (sin pérdidas) se han hallado
ecuaciones del telegrafista inhomogéneas donde la acción de los campos
incidentes sobre la línea se representa mediante fuentes de tensión y
corriente distribuidas a lo largo de la línea, además de las eventuales
fuentes y cargas concentradas conectadas a ella.
i( z )
z
 i  C v ( z )  i s1 ( z )
dv ( z )
 i L i ( z )  v s1 ( z )
dz
d
d
 i 

H
(e)
y
 i C
( x , z ) dx  v s 1 ( z )
0

E x ( x , z ) dx  i s 1 ( z )
(e)
0
Fuente de tensión distribuida
(campo magnético)
Fuente de corriente distribuida
(campo eléctrico)
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MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Modelo de Taylor – Línea con pérdidas
En general, los conductores presentan pérdidas óhmicas.
Esto implica la presencia de un campo eléctrico longitudinal no nulo dentro
del conductor y la no anulación de la componente tangencial del campo
exterior al conductor.
La presencia de una conductividad finita  se puede representar mediante
una impedancia superficial dependiente de la frecuencia que tiene en
cuenta además el efecto pelicular. Expresiones aproximadas para esta
impedancia superficial son las siguientes:
Z s ( ) 
Z s ( ) 
1
a 
2

1 i
2 a 
i 
(baja frecuencia) ( a /   1 )
8

1 i

2 a
2
(alta frecuencia)
( a /   1)
donde  es la profundidad de penetración. A baja frecuencia la corriente se
distribuye uniformemente en la sección del conductor, mientras que a alta
frecuencia la distribución no es uniforme sino que las líneas de corriente se
concentran en la superficie del conductor.
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MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Modelo de Taylor – Línea con pérdidas
También puede haber pérdidas dieléctricas en el medio que rodea a los
conductores.
La presencia de pérdidas lleva a modificar las ecuaciones del telegrafista
introduciendo términos resistivos:
i L

Z ( )  i  L  2 Z s ( )
i C

Y ( )  i  C  G  i    m /  m C
y las ecuaciones del telegrafista quedan:
i( z )
z
dv ( z )
 Y ( ) v ( z )  i s 1 ( z )
 Z ( ) i ( z )  v s 1 ( z )
dz
Estas ecuaciones pueden expresarse en forma matricial:
d v ( z )  0


i
(
z
)
dz 
 Y (  )
Z ( )   v ( z )   v s 1 ( z ) 


  
0   i ( z )   i s1 ( z ) 
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MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Modelo de Taylor
i( z )
z
 Y ( ) v ( z )  i s 1 ( z )
dv ( z )
 Z ( ) i ( z )  v s 1 ( z )
dz
Desde el punto de vista matemático, este es un sistema de ecuaciones
diferenciales lineales inhomogéneas.
Su solución consiste en la suma de la solución general de la ecuación
homogénea (línea sin excitación exterior) más una solución particular de la
ecuación inhomogénea.
Esta última solución depende de la forma matemática de la excitación, es
decir, del campo exterior, que se describe como fuentes distribuidas de
corriente y tensión.
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MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Modelo de Taylor
Cuando la línea está terminada en ambos extremos es necesario establecer
las condiciones de contorno impuestas por las cargas:
v (l0 )  Z 2 i (l0 )
v (0)   Z1 i(0)
donde el signo (-) de la primera condición surge de los sentidos
convencionales asignados a las corrientes y tensiones en la línea. Un
esquema circuital del acoplamiento de una onda electromagnética a una
línea cargada se muestra en la figura.
E
x
i(0)
H
(e)
(e)
+
vs1(z)z
i(l0)
k
+
+
v(0)
E
d Z1
H
(e)
y
v(l0)
(e)
x
is1(z)z
Z2
Z0 ,
z
0
z
l0
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MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Modelo de Agrawal
En este modelo se elimina la fuente distribuida de corriente.
Se puede obtener a partir de una de las ecuaciones del modelo de Taylor:
d
dv ( z )
v s 1 ( z )   i 
 i L i ( z )  v s1 ( z )
dz

d
H
(e)
y
v( z)  
( x , z ) dx
E
x
( x , z ) dx
0
0
Separamos en la definición de v(z) los campos eléctricos externo y
dispersado: d
d
d
v( z)  

E x ( x , z ) dx 
(e)
0

E x ( x , z ) dx  v
(e)
(s)
(z) 
0
dv
(s)

(e)
E x ( x , z ) dx
0
d
(z)
dz
 i  L i ( z )  v s1 ( z ) 
d
dz

E x ( x , z ) dx  v s 2 ( z )
(e)
0
que podemos escribir:
dv
(s)
(z)
dz
 i L i ( z )  v s 2 ( z )
d
con:
v s 2 ( z )   i 

d
H
(e)
y
( x , z ) dx 
0
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d
dz

(e)
E x ( x , z ) dx
0
17
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Modelo de Agrawal
dv
(s)
(z)
dz
 i L i ( z )  v s 2 ( z )
z  z d
v s 2 ( z )  lim
z  0
   i H
z
(e)
E
(e)
  nˆ dx dz  lim
z  0
0
z  z d

z
E z
(e)
x
dx dz
0
se anula por la ley de Faraday
z  z d
v s 2 ( z )  lim
z 0

z
0
E z
z  z
(e)
x
dx dz  lim
z  0
 E
(e)
z

( d , z )  E z ( 0 , z ) dz
(e)
v s 2 ( z )  E z ( d , z )  E z (0, z )
(e)
(e)
z
y nos queda la primera ecuación del telegrafista en este modelo:
dv
(s)
(z)
 i  L i ( z )  v s 2 ( z ) o, para una línea con pérdidas:
dz
dv
(s)
(z)
 Z i( z )  v s2 ( z )
dz
(e)
(e)
con: v s 2 ( z )  E z ( d , z )  E z ( 0 , z )
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MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Modelo de Agrawal
i( z )
Para obtener la otra ecuación, partimos de:
 i  ( z )  0
z
(s)
 (z)  C v (z)
que podemos escribir como la segunda ecuación del telegrafista:
d i( z )
 i C v
(s)
(z)  0
d i( z )
o, para una línea con pérdidas:
Yv
(s)
(z)  0
dz
dz
Finalmente, las ecuaciones del telegrafista quedan:
dv
(s)
(z)
d i( z )
 Z i( z )  v s2 ( z )
dz
Yv
(s)
(z)  0
dz
Se ve que no hay fuente distribuida de corriente en este modelo.
Estas ecuaciones pueden expresarse en forma matricial:
d v ( s ) ( z )  0
 i ( z )   Y ( )

dz 
Z ( )   v ( s ) ( z )   v s 2 ( z ) 

0   i ( z )   0 
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MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Modelo de Agrawal
Las condiciones de borde en el caso de la línea cargada en ambos extremos
se aplican a las tensiones y corrientes totales, que son las que se miden.
Con un poco de álgebra llegamos a:
d
v
(s)
con
( 0 )   V1  Z 0 i ( 0 )

(e)
V 1   E x ( x , 0 ) dx
0
d
v
(s)
( l 0 )  V 2  Z 0 i ( l 0 )
con

(e)
V 2   E x ( x , l 0 ) dx
0
Estos términos adicionales se pueden pensar como fuentes concentradas en
los extremos de la línea, de modo que el circuito equivalente en el modelo de
E (d , z )
(e)
Agrawal es:
E
(e)
z
x i(0)
H
(e)
i(l0)
k
+
+
+
Z1
d
V1
+
v(0)
(e)
E x ( x ,0 )
0
v(l0)
Z0 , E ( e ) ( x , l
x
z FIUBA 2008
0
)
Z2
vs2(z)z
V2
+ z
+
(e)
l0
E z (0, z )
20
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Solución de las ecuaciones del telegrafista
En cualquiera de los dos modelos, se deben resolver las ecuaciones del
telegrafista.
Estas son ecuaciones diferenciales lineales acopladas inhomogéneas.
Su solución general se pude escribir como la suma de:
• la solución general de las ecuaciones homogéneas [línea sin campo exterior]
• una solución particular de las ecuaciones originales.
Un método clásico de hallar la solución particular es usar la llamada función
de Green (respuesta a la delta) del sistema y superposición.
Tesche ha demostrado que para una línea cargada de longitud l0 con fuentes
unitarias de tensión y corriente situadas en z´ las funciones de Green para la
corriente Gi(z, z´) y para la tensión Gv(z, z´) pueden escribirse:
G i ( z , z ) 
G v ( z , z ) 

e
 i l 0
2Z 0 1  1 2e

 ( z , z ) e
 i 2 l0
 i l 0
2 1  1 2e
 i 2 l0

e

e
 i ( z   l 0 )
 i ( z   l 0 )
  2e
i ( z   l 0 )
  ( z , z )  2 e
FIUBA 2008
e
i ( z   l 0 )
i z 
e
  1e
i z 
 i z 

  ( z , z )  1 e
 i z 

21
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Solución de las ecuaciones del telegrafista
G i ( z , z ) 
G v ( z , z ) 

e
 i l 0
2Z 0 1  1 2e

 ( z , z ) e
 i 2 l0
 i l 0
2 1  1 2e
 i 2 l0

e

e
 i ( z   l 0 )
 i ( z   l 0 )
  2e
i ( z   l 0 )
  ( z , z )  2 e
e
i z 
i ( z   l 0 )
e
  1e
i z 
 i z 

  ( z , z )  1 e
 i z 
donde Z0,  son la impedancia característica y el número de propagación de
la línea, 1 y 2 los coeficientes de reflexión en cada extremo cargado,
z> (z<) representa el mayor (menor) valor entre z y z´
(z, z´) es la llamada función sigmoidal:
 1
 ( z , z )  2U ( z  z )  1  
 1
FIUBA 2008
si
z  z
si
z  z
22

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Ecuación BLT
En el modelo de Agrawal se pueden reescribir las soluciones de las
ecuaciones del telegrafista en el formato de la ecuación BLT:
 v ( 0 )  1   1

  
v
(
l
)
 0   0
0   1

1   2   e i  l 0
i l0

e

  2 
1
 s1 
 
s2 
 i(0) 
1 1   1




Z0  0
i ( l 0 ) 
  1

1   2   e i  l 0
0
i l0


  2 
e
1
 s1 
 
s2 
donde el vector de fuentes reemplaza al vector de fuentes concentradas de
la ecuación BLT original por integrales de las fuentes distribuidas:
 1 d

i z s

V 0  Z 0 I 0  
e
 2

0


i ( l0  z s )



e
V

Z
I
/
2
0
0 0



d


V 1 V 2 i l0
1
i z 


e v s 2 ( z ) d z  

e

2 0
2
2
 s1  


  
d
s
2
   1
V
V 
i ( l0  z  )
) d z   1 e i  l 0  2

e
v
(
z
s
2


2
2 
 2 0



d
V1  

d
(e)
E x ( x , 0 ) dx
V2  
0
E
(e)
x
( x , l 0 ) dx
0
FIUBA 2008
23
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Modelo de Agrawal
El circuito equivalente en el modelo de Agrawal es:
E
x i(0)
H
(e)
(e)
i(l0)
k
+
d
V1
+
vs2(z)z
+
+
Z1
v(l0)
v(0)
Z0 , E ( e ) ( x , l
(e)
E x ( x ,0 )
0
(e)
E z (d , z )
x
0
)
Z2
V2
+ z
+
(e)
z
E z (0, z )
l0
donde:
d
v
(s)
( 0 )   V1  Z 0 i ( 0 )
con

(e)
V 1   E x ( x , 0 ) dx
0
d
v
(s)
( l 0 )  V 2  Z 0 i ( l 0 )
con

(e)
V 2   E x ( x , l 0 ) dx
0
FIUBA 2008
24
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Excitación de onda plana
plano de
incidencia

E(i)
x
Z2
a
z
k
k
d
y
l0

Z1
plano de
incidencia


E(i)

0


Una línea de propiedades Z0 y , radio de conductores a separados en d y
longitud l0 está terminada en ambos extremos con impedancias Z1 y Z2.
Sobre esta línea incide una onda plana linealmente polarizada de frecuencia
f = /2 con un vector de onda k. La amplitud del campo eléctrico incidente
es E0.
Condición básica para aplicar el modelo:
FIUBA 2008
  2  / k  cf  d  a
25
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Excitación de onda plana
plano de
incidencia

E(i)
x
Z2
a
z
k
k
d
y
l0

Z1
plano de
incidencia


E(i)

0


El plano de incidencia es el plano vertical que contiene al vector de onda k.
En general, la polarización (dirección del campo eléctrico) de la onda
incidente es cualquiera, formando un ángulo  con el plano de incidencia.
En general el campo incidente puede descomponerse en la suma de una polarización vertical,
donde el campo eléctrico incidente se halla contenido en el plano de incidencia, y una polarización
horizontal, donde el campo eléctrico incidente es perpendicular al plano de incidencia.
La forma matemática del campo es:
E
(i )
FIUBA 2008
 E 0e
i ( t  k  r )
26
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Excitación de onda plana
plano de
incidencia

E(i)
x
Z2
a
z
k
k
d
y
l0

plano de
incidencia
Z1


E(i)

0


En el modelo de Agrawal es necesario calcular las fuentes distribuidas y las
fuentes sobre las cargas:
s1
1
s2   
2

d
d
e
i z 
v s 2 ( z ) d z  
V1

2
0
V2
e
i l 0
1
e

2

2
i ( l 0  z  )
v s 2 ( z ) d z  
v s 2 ( z )  E z ( d , z )  E z (0, z )
(e)
(e)

FIUBA 2008
V2 


2 
d
(e)
V 1   E x ( x , 0 ) dx
0
e
i l 0
2
0
d
con:
V1
V2  

(e)
E x ( x , l 0 ) dx
0
27
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Excitación de onda plana
plano de
incidencia

E(i)
x
Z2
a
z
k
k
d
y
l0

Z1
plano de
incidencia


E(i)

0


En este caso el campo exterior coincide con el campo incidente porque no
hay plano de tierra (no hay campo reflejado). La componente z (horizontal a
lo largo de la línea) del campo incidente es:
(i )
Ez
 E 0 cos  sen  cos   sen  sen   e
i ( t  k  r )
mientras que la componente x vertical es:
(i )
Ex
 E 0 cos  cos  e
i ( t  k r )
FIUBA 2008
28
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Excitación de onda plana
plano de
incidencia

E(i)
x
Z2
a
z
k
k
d
y
l0

Z1
plano de
incidencia


E(i)

0


y las fuentes del modelo resultan:
(e)
v s2 ( z)  E z
(e)
(d , z )  E z

( 0 , z )  E 0 cos  sen  cos   sen  sen   e
  ikd sen  E 0 cos  sen  cos   sen  sen   e
 ikd sen 

1e
i (  t  kz cos  cos  )
i (  t  kz cos  cos  )
d

V 1   E x ( x , 0 ) dx   E x ( x , 0 ) d   E 0 d cos  cos  e
(e)
(e)
i t
0d
V2  

0
E x ( x , l 0 ) dx   E x ( x , l 0 ) d   E 0 d cos  cos  e
(e)
(e)
FIUBA 2008
i (  t  kl 0 cos  cos  )
29
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Excitación de onda plana – Línea sobre conductor perfecto
z
E(e)
x
H(e)
z
i(z)
Ex C
a
y
S
+
-Hy
v(z)
-
d = 2h
x
E(i)
• i(z) es la corriente en la línea.
Supuestamente retorna por tierra.
• El campo externo es ahora la suma
del campo incidente E(i) y el campo
reflejado E(r).
• El campo incidente puede descomponerse en una polarización normal y
otra contenida en el plano de incidencia.
• La incidencia oblicua satisface las
leyes de Snell.
E(r)
kr
H(i)
• v(z) es la tensión entre la línea y
tierra
H(r)
ki
z
FIUBA 2008
30
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Excitación de onda plana – Línea sobre conductor perfecto
El modelo de Agrawal para este caso difiere del correspondiente a la línea sin
tierra en los valores de los parámetros:
• la inductancia por unidad de longitud es ahora la mitad de la anterior,
• la capacidad por unidad de longitud es ahora el doble de la anterior,
• la fuente distribuida de tensión solamente opera sobre el conductor, ya que
el campo longitudinal es nulo sobre la interfase entre el aire y el suelo
perfecto.
(e)
E
x i(0)
H
(e)
E z (d , z )
(e)
i(l0)
k
v(l0)
v(0)
h
V1
+
Z0 ,
(e)
E x ( x ,0 )
0
vs2(z)z
+
+
Z1
+
z
(e)
E x ( x, l0 )
l0
FIUBA 2008
Z2
V2
+ z
31
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Tensiones y corrientes inducidas por caída de rayos sobre una línea
La caída de rayos cerca de una línea puede crear sobretensiones y
sobrecorrientes destructivas sobre la línea y los circuitos a ella conectados.
La línea se halla a una altura h sobre tierra y
x
Z2
z
a
está terminada en ambos extremos.
h
y
H0
l0
zc
i(x,t)
Z1
yc
(e)
Ex
0
(e)
H
(e)
E
El rayo "cae" verticalmente a una distancia yc
del pie de la línea, a la abscisa zc.
El rayo se modela por un canal de altura H0
por el cual circula la corriente de retorno
i(x,t).
Esta corriente crea una onda cilíndrica que induce tensiones y corrientes sobre
la línea.
Para un suelo conductor perfecto es posible demostrar que el campo eléctrico
de la onda cilíndrica tiene una componente cuasi-estática, una componente de
inducción y una componente de radiación, mientras que el campo magnético
tiene una componente de inducción y una componente de radiación.
FIUBA 2008
32
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Tensiones y corrientes inducidas por caída de rayos sobre una línea
El campo eléctrico vertical y el campo magnético son prácticamente
independientes de la altura del punto de observación (para alturas no mayores
de 30 m), mientras que el campo eléctrico horizontal crece en forma
aproximadamente lineal con la altura desde cero sobre el suelo.
Para suelo imperfecto, sólo la componente horizontal del campo eléctrico se ve
afectada a cortas distancias (menos de unos cientos de metros).
Cooray y Rubinstein han propuesto un modelo en el cual el campo horizontal en
el dominio de la frecuencia a una altura z se puede expresar como la suma del
campo correspondiente al suelo perfecto y un término proporcional al campo
magnético a nivel del suelo multiplicado por un factor complejo relacionado con
el número de onda complejo de la propagación en el suelo:
E ( , z)  E ( , z) 
c 0
0
 r   / i 
H ( , z)
0
0
donde r y  son los parámetros del suelo.
FIUBA 2008
33
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Tensiones y corrientes inducidas por caída de rayos sobre una línea
Los efectos más importantes sobre la línea ocurren en la circulación de
corriente de retorno, que puede alcanzar los 100 kA.
Para calcular los campos se requiere conocer la distribución de corriente a lo
largo del canal del rayo.
La dificultad es que sólo puede medirse la corriente en la base del canal.
El llamado modelo de línea de transmisión modificado (MTL), propuesto por
Uman et al. asimila el canal del rayo a una línea de transmisión ideal donde un
impulso de corriente se propaga a partir del suelo con la velocidad v del arco
de retorno. La distribución de corriente en el canal está definida por:
i ( z , t )  i ( 0 , ) e
z / 
i( z, t)  0
z  vt
z  vt
donde  = t-z/v es un tiempo retardado y  una longitud característica.
Esta es una ecuación de propagación atenuada del frente de corriente a lo
largo del canal a velocidad v. Mediciones de descargas reales llevan a estimar
los valores de v entre 6 y 20  107 m/s y  entre 1.5 y 2 km.
FIUBA 2008
34
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
Tensiones y corrientes inducidas por caída de rayos sobre una línea
Nucci et al. han modelizado la dependencia temporal de la corriente.
La corriente sobre la base del canal puede expresarse mediante la suma de
dos funciones de Heidler:
i ( 0, t )  iH 1 ( 0, t )  iH 2 ( 0, t )
I 01 t  11  1 e
n
iH 1 ( 0, t ) 
1
 t  12
i H 2 (0, t ) 
1  t  11 
n1
i(kA)
1  e

  11

 12
 
  n 12
 1 
11





I 02
2
t  21  n e  t 
n
1  t  21 
2
22
2
1 n1
2  e

  21

 22
 
  n 22
 2 
21





1 n2
Valores típicos:
t(s)
I01 (kA)
I02 (kA)
11 (s)
12 (s)
21 (s)
22 (s) n1 n2
10.7
7.5
0.25
2.5
2.1
230
2
2
El canal se asimila a una antena, cuyo campo se calcula sumando los campos
elementales generados por cada elemento de longitud considerado como un
FIUBA cuasi-estáticos
2008
35
dipolo corto, conservando los términos
y de inducción.
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
EMC-CODES
El Dr. F.M. Tesche ha desarrollado una serie de programas basados en los
modelos que hemos presentado en este capítulo para ilustrar problemas de
acoplamiento y propagación de señales en líneas de transmisión.
• En todos estos programas se trata de una línea horizontal terminada en
ambos extremos por sendas impedancias RLC serie.
• El conductor de la línea puede ser perfecto o tener conductividad finita.
• Sobre la línea puede haber fuentes concentradas o una onda plana incidente
o ambas cosas.
• Estas fuentes pueden ser ondas continuas (CW) o transitorios.
Se instala desde el zip autoextraíble EM-CODES.EXE, que permite grabar los
archivos de instalación en un directorio transitorio. Desde all SETUP.EXE
instala el programa.
URL: www.tesche.com
FIUBA 2008
36
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
EMC-CODES
WINULINE
Analiza la respuesta de una línea de transmisión colocada sobre tierra que es
excitada por fuentes concentradas y/o distribuidas, usando al modelo de
Agrawal. El programa admite excitaciones CW o transitorias.
RISER
Analiza la tensión y corriente sobre una de las cargas en los extremos de la
línea, reemplazando el modelo de Agrawal de fuentes concentradas sobre los
extremos con líneas verticales para mejorar la precisión de los resultados.
LCC o LTLINE
Este programa calcula las tensiones y corrientes sobre las cargas en los
extremos de la línea cuando cae un rayo en las cercanías.
TOTALFLD
Calcula el campo EM total para la incidencia oblicua de una onda plana sobre
un plano de tierra imperfecta. Los campos se calculan sobre y debajo del
plano para ondas incidentes de distinta forma de onda y casos CW y
transitorios.
Se incluyen en la distribución los códigos fuente (en Fortran).
FIUBA 2008
37
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
EMC-CODES - WINULINE silínea
la fuente
abierta,
longitud
es una
cortocircuito,
L,
onda
altura
plana,
h,carga
radio
se puede
adaptada,
a y resistividad
definir
definida
los
Se
elige
suelo
entre
perfecto
el
análisis
o
con
en
pérdidas
el
dominio
(

de
,

la
).
frecuencia
gdiferentes.
g
Se
fuente
eligen
delos
tensión
resultados
concentrada
a
mostrar:
u (onda
plana
ypolarización
corriente
incidente.
La
ángulos
por
el usuario
del
(1/)
vector
del
(R,L,C).
de
conductor
onda
Pueden
tensión
, )ser
y de
Datos de la línea
o ensobre
el dominio
delpuede
tiempo.
totales
fuente
una de
las
ser
cargas
de tensión
orespecto
corriente
o dedel
corriente,
y carga
(concentrada
, llamado
en
eldos
programa)
plano dey
Cargas
en
seuna
define
posición
la abscisa
dadade
deconexión
la línea. a la línea.
incidencia.
Suelo
En estos casos el tipo de resultado depende del tipo de
Excitación
análisis (en el dominio del tiempo o de la frecuencia) que
Campo incidente
se ha seleccionado.
Análisis
También se puede hallar el circuito equivalente Thèvenin
Salida
o Norton que se vería sobre un "puerto" situado en
cualquier punto de la línea.
Una opción importanteExisten
en el Menú
Dataopciones
es Sweep
En esta opción
diversas
deParameters.
ploteo.
se puede repetir los cálculos de una dada configuración barriendo uno de los
parámetros en un rango de valores, lo que permite analizar la respuesta frente a
cambios en la excitación sin relanzar el programa.
Los parámetros que se pueden barrer son: longitud, altura y resistividad de la
línea, la posición de la fuente o el punto de observación a lo largo de la línea,
los ángulos de incidencia y polarización de una onda incidente y los parámetros
del suelo imperfecto.
FIUBA 2008
38
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
EMC-CODES - RISER
Este programa intenta
mejorar la precisión en el
cálculo de la respuesta
sobre las cargas cuando
la línea es iluminada por
una onda incidente. Se
reemplazan las fuentes
terminales del modelo de
Agrawal por líneas de
transmisión verticales
(risers) que dan una
mejor respuesta.
La estructura de datos de
entrada es similar a la de
WINULINE.
FIUBA 2008
39
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
EMC-CODES - LCC
Este programa calcula la
respuesta de una línea a la
caída de un rayo.
La geometría y el modelo
usados para la línea son
similares a los de WINULINE.
Se deben ingresar además
las propiedades del canal
(posición, propiedades físicas
y forma de onda de corriente)
que modela la descarga.
LCC calcula tensión y corriente de las respuestas transitoria y en el dominio de la
frecuencia sobre ambas resistencias de terminación.
FIUBA 2008
40
MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
ACOPLAMIENTO A LINEAS DE TRANSMISION
EMC-CODES - TOTALFLD
Este programa calcula el campo total (incidente + reflejado)
cuando una onda plana incide
sobre una interfase plana
horizontal entre aire y un suelo
imperfecto.
También calcula los campos
transmitidos bajo la interfase.
La forma de onda en el tiempo
puede especificarse.
El programa calcula las respuestas transitoria y en el dominio espectral para las
tres componentes de los campos E y H a la altura del punto de observación.
FIUBA 2008
41
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MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA