Sistemas de Funciones Iteradas
IFS
Carlos Reynoso
UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES
[email protected]
Objetivo
• Presentar un formalismo generativo regido por
álgebra
– Contrastante con las gramáticas de sistemas-L o con las
funciones fractales comunes
• Examinar si hay posibilidad de uso antropológico
• Tomar contacto con algunas experiencias que ya
existen
• Analizar las herramientas y recursos disponibles
Agenda
•
•
•
•
Introducción al álgebra lineal
Transformaciones afines
Máquinas de copia de reducción múltiple
Fractales de Sistemas de Funciones
Iterativas
• Programas y recursos
• Diseños culturales de tipo IFS
• Conclusiones y referencias
Transformaciones afines lineales
Traslación
Escalado
Rotación
Reflexión
Transformaciones afines lineales
Algoritmo de Máquina de Copia
de Reducción Múltiple (MCRM)
• Se reduce la imagen original y se la ubica
en alguna otra parte, iterativamente
Algoritmo de Máquina de Copia
de Reducción Múltiple (MCRM)
• Se reduce la imagen original y se la ubica
en alguna otra parte, iterativamente
Algoritmo de Máquina de Copia
de Reducción Múltiple (MCRM)
Al cabo de algunos pasos, la
imagen original es irrelevante
Distintos objetos iniciales
Distintos objetos iniciales
Reflexión colateral
¿Cuántas iteraciones?
• Para que el objeto inicial sea irrelevante, se
requieren 7 o más iteraciones
• “El mágico número siete, más o menos dos”
(Miller)
• Las iteraciones son en realidad recursivas
• Siete o más recursiones es mucho
• Los objetos culturales más complejos tienen
como mucho cuatro niveles de anidamiento
Sistemas de funciones iteradas
• IFS – Define un conjunto de funciones
contractivas – Cada punto es una copia de la
imagen
• Inventado por John Hutchinson (1981),
popularizado por Michael Barnsley (Fractals
everywhere, disponible)
• Investigación en compresión fractal
• También desarrollos de expansión de imágenes
– Genuine Fractals PrintPro para Adobe Photoshop
Juego del caos
• Algoritmo para generar fractales IFS
• Se toma un punto al azar en el plano y se le aplica
una de las funciones definidas, también al azar,
dibujando el punto correspondiente
• Las imágenes que se forman son tan densas como
iteraciones se especifiquen y probabilidad tenga la
transformación
• Caos = Fractal
– Un IFS es un atractor extraño
– Geométricamente un atractor extraño es un fractal;
dinámicamente es un sistema caótico
Teorema del collage
• Michael Barnsley – El “problema
inverso” de la geometría fractal
– Un problema inverso consiste en obtener
los valores de parámetros a partir de los datos
observados
– Comenzar por la imagen y encontrar el IFS que
converja en él
– Para encontrar un IFS cuyo atractor “se parezca” a una
imagen determinada, se debe localizar un conjunto de
transformaciones afines (mapas de contracción) tal que
la “suma” (o collage) del conjunto se asemeje al
conjunto correspondiente
– Encontrar contracciones tal que cada una de ellas sea
una pequeña pieza del conjunto
Ejemplos de IFS
Tipos de IFS especiales
• IFS en 3 dimensiones
• Flame fractals
–
–
–
–
Algoritmo de Scott Daves, 1992
Extensión de IFS
Histograma de un sistema complejo
Agrega transformaciones no lineales
• IFS para generación y análisis de música
Flame fractals - Binario
Flame fractals - Lineal
Flame fractals - Logarítmico
Flame fractals – Con color
Flame fractals – Con factor gamma
Flame fractals – Con colores vibrantes
Tipos de IFS especiales
• Esponja de Menger
• Versión tridimensional de alfombra de
Sierpiński
– Triángulo de Pascal
• Analogías con polvo de Cantor y otros
fractales
• Estructuras “aireadas” de torre Eiffel
- Uruk
- Diseños catedral de
Anagni (s. XIII)
- Escher, estudios sobre los
patrones del púlpito de la
catedral de Ravello (s. XII,
1923)
China, s. XIV
Coeficientes
binomiales
hasta 8a
potencia
Arquitectura moderna
mauritana en
Casamance, Senegal
(Eglash, p. 219)
Programas para trabajar con IFS
Brazil
• Brazil
– Viejo, pero simple y práctico. Discontinuado.
– No permite operar con matrices – Morphing.
• IFS Fractal Designer
IFSDesign
– Discontinuado e incompatible, pero excelente.
– IFS puro en 2D con actualización de imagen en tiempo real.
– Puramente analógico. No tiene editor de matrices.
• Apophysis
– Para diseño artístico, con componente de azar.
– Editor de matrices en 3D. Flame fractals
Programas para trabajar con IFS
• IFS 3D
– Matrices en tres dimensiones – Sólo estructuras al azar, o a mano.
Texturas polvorosas únicamente. Visualización 3D en tiempo real.
• Visions of Chaos
– Fractales genéricos, con importante módulo de IFS. Altísima
calidad gráfica. Mutaciones, pero no actualización cruzada en
tiempo real. No se pueden tratar ni visualizar los vectores.
– Formato de archivo compatible. Muchos ejemplos.
• XenoDream
– Uno de los programas de fractales más evolucionados. No es
estrictamente de IFS. No tiene matrices.
• Fairy Brush 2, DinoCoomy, Sprouts, Turban shell festive.
Xenodream
(Imágenes)
IFS Construction Kit
• Todavía está en desarrollo.
• Es la elección para trabajar con pleno
control analítico.
• Matrices y vectores, con actualización
cruzada (aunque no rendering en tiempo
real).
• Formato de archivo compatible con Vision
of Chaos, Fractint, Chaos Pro, etc.
IFS Construction Kit
Transformaciones afines:
Transformaciones afines:
Dificultades
• Ejercicio
–
–
–
–
Cargar Helecho importado de Visions of Chaos
Deformar sutilmente los triángulos
Verificar efectos
Ejecutar Billy-Cruz
• Correr Determinista
• Probabilista con probabilidades iguales
• Idem, proporcionales
Parámetros idénticos en distintos programas
IFS Builder 3D
• Desarrollo ruso, reciente
• Incorpora docenas de ejemplares de otros
paquetes
• Excelente reproducción tridimensional,
controlable por código
• No tiene edición analógica por matrices
Janus Fractals
• El más poderoso graficador orientado a IFS
• No incluye manejo de matrices, ni objetos
de vectoriales de control
• Conjunto sobresaliente de tipos fractales
• Edición puramente gráfica
• Excelente representación tridimensional
Janus Fractals
Otros programas
• Fractal DRAW
Go
– No es gratuito, aunque hay una versión de prueba que
pasado un tiempo no deja guardar archivos
– Es vistoso y puede ser útil para diseños figurativos
limitados, pero no posee prestaciones analíticas
– No se pueden situar las formas con precisión
– Imposible migrar las figuras a otro contexto
• IFS Lab
– Prestaciones restringidas.
– Buena herramienta para comprender generación de una
máquina de reducción a partir de un dibujo (teorema del
collage).
Diseños culturales (1/6)
• Mostacillas Zulu – IFS + Simetrías
Diseños culturales (2/6)
• Chonat Getz
– Dra, Universidad de Witwatersrand
– Simulaciones IFS de cestería Zulu
• John Sims
– Ringling School of Design, Florida
– Patrones fractales iterativos en telas rafia
Bakuba
Diseños culturales (3/6)
• Mlomp, Casamance, Senegal (Ron Eglash / Reynoso)
Diseños culturales (4/6)
• Brian Meloon & Julien Sprott –
– Cuantificación de determinismo en música usando IFS
– Música al azar vs Mozart, Sonata en Do*
– *¿279, 309, 330, 545?
Diseños culturales (5/6)
• Rubén Hinojosa Chapel, 2003
– Universitat Pompeu Fabra, Barcelona
– Instrumento interactivo algorítmico en tiempo real
– El núcleo matemático se supone que es IFS, pero no
está elaborado
Diseños culturales (6/6)
• A Musical Generator 3.1
AMuGen
(Posibles) ejemplos arquitectónicos
• Santa Croce, Firenze (Nicoletta Sala)
– Maquiavelo, Miguel Angel, Rossini
Conclusiones (1/2)
• Método para describir de forma compacta algunas
imágenes autosimilares (por ej. patrones de
asentamiento)
• No es una bala de plata para toda ocasión
– Reflexionemos sobre las balas de plata
• No hay heurísticas para otras clases de objetos
fuera del repertorio clásico
Conclusiones (2/2)
• No sirve para imágenes idénticamente repetitivas:
siempre tiene que haber contracción
• Es difícil encontrar un conjunto de contracciones
para un objeto determinado
• Pocas elaboraciones antropológicas del asunto
• A diferencia de sistemas-L no se puede vincular
fácilmente con ideas emic
• Las herramientas de IFS deben complementarse
con sistemas-L y álgebra de grupos (simetrías)
Recursos
• Software de Fractales/IFS, AMuGen 3.1
• Michael Barnsley. Fractals everywhere,
1968
• Peitgen-Jurgens-Saupe. Chaos and fractals,
new frontiers of science, 2a ed., 2004
• Rubén Hinojosa. Realtime algorithmic
music systems from fractal and chaotic
functions, 2003.
¿Preguntas?
Carlos Reynoso
UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES
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